Introducción al análisis infinitorum

Introductio in analysin infinitorum ( en latín : ^[1] Introducción al análisis del infinito ) es una obra de dos volúmenes de Leonhard Euler que sienta las bases del análisis matemático . Escrita en latín y publicada en 1748, la Introductio contiene 18 capítulos en la primera parte y 22 capítulos en la segunda. Tiene los números de Eneström E101 y E102. ^{[2] [3]}

El capítulo 1 trata sobre los conceptos de variables y funciones . Los capítulos 2 y 3 tratan sobre la transformación de funciones. El capítulo 4 presenta las series infinitas a través de funciones racionales .

Según Henk Bos ,

La Introducción pretende ser un estudio de los conceptos y métodos del análisis y la geometría analítica, como paso previo al estudio del cálculo diferencial e integral. [Euler] hizo de este estudio un ejercicio magistral para introducir el máximo número posible de análisis sin recurrir a la diferenciación o la integración. En particular, introdujo las funciones trascendentales elementales, el logaritmo, la función exponencial, las funciones trigonométricas y sus inversas sin recurrir al cálculo integral, lo que no fue tarea fácil, ya que el logaritmo se vinculaba tradicionalmente a la cuadratura de la hipérbola y las funciones trigonométricas a la longitud del arco del círculo. ^[4]

Euler logró esta hazaña introduciendo la exponenciación a ^x para una constante arbitraria a en los números reales positivos . Observó que la representación de x de esta manera no es una función algebraica , sino más bien una función trascendental . Para a > 1, estas funciones son monótonas crecientes y forman biyecciones de la línea real con números reales positivos. Entonces, cada base a corresponde a una función inversa llamada logaritmo en base a , en el capítulo 6. En el capítulo 7, Euler introduce e como el número cuyo logaritmo hiperbólico es 1. La referencia aquí es a Gregoire de Saint-Vincent , quien realizó una cuadratura de la hipérbola y = 1/ x a través de la descripción del logaritmo hiperbólico. La sección 122 etiqueta al logaritmo en base e como "logaritmo natural o hiperbólico... ya que la cuadratura de la hipérbola puede expresarse a través de estos logaritmos". Aquí también da la serie exponencial:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z ^{3} \sobre 6}+{z^{4} \sobre 24}+\cdots }$

En el capítulo 8, Euler se prepara para abordar las funciones trigonométricas clásicas como "cantidades trascendentales que surgen del círculo". Utiliza el círculo unitario y presenta la fórmula de Euler . El capítulo 9 considera los factores trinomiales en polinomios . El capítulo 16 se ocupa de las particiones , un tema de la teoría de números . Las fracciones continuas son el tema del capítulo 18.

Las conferencias de Carl Benjamin Boyer en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 compararon la influencia de la Introductio de Euler con la de los Elementos de Euclides , llamando a los Elementos el libro de texto más importante de los tiempos antiguos, y a la Introductio "el libro de texto más importante de los tiempos modernos". ^[5] Boyer también escribió:

El análisis de Euler se acerca a la disciplina ortodoxa moderna, el estudio de funciones mediante procesos infinitos, especialmente mediante series infinitas.

Es dudoso que cualquier otra obra esencialmente didáctica incluya una porción tan grande de material original como el que sobrevive en los cursos universitarios actuales... Puede ser leído con relativa facilidad por el estudiante moderno... El prototipo de los libros de texto modernos.

La primera traducción al inglés fue la de John D. Blanton, publicada en 1988. ^[6] La segunda, de Ian Bruce, está disponible en línea. ^[7] V. Frederick Rickey ha recopilado una lista de las ediciones de Introductio . ^[8]

• Reseña de JC Scriba (2007) de la reimpresión de 1983 de la edición alemana de 1885 MR 715928

• Doru Stefanescu, Sr. 1025504
• Marco Panza (2007 ) MR2384380
• Ricardo Quintero Zazueta (1999) Señor 1823258
• Ernst Hairer y Gerhard Wanner (1996) Análisis por su historia , capítulo 1, págs. 1 a 79, Textos de pregrado en matemáticas #70, ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751