Mnemotecnia en trigonometría

En trigonometría , es común utilizar mnemotecnia para ayudar a recordar las identidades trigonométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas .

Las razones del seno , coseno y tangente en un triángulo rectángulo se pueden recordar representándolas como cadenas de letras, por ejemplo, SOH-CAH-TOA en español:

Seno = Opuesto ÷ Hipotenusa​

Coseno = Adyacente ÷ Hipotenusa​

Tangente = Opuesto ÷ Adyacente​

Una forma de recordar las letras es pronunciarlas fonéticamente (es decir, / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , similar a Krakatoa ). ^[1]

Otro método es expandir las letras en una oración, como "Algunos caballos viejos mastican manzanas alegremente a lo largo de su vejez", "Algún viejo hippy atrapó a otro hippy viajando con ácido", o "Estudiar nuestra tarea siempre puede ayudar a obtener logros". El orden puede cambiarse, como en "Tommy en un barco suyo atrapó un arenque" (tangente, seno, coseno) o "El viejo coronel del ejército y su hijo a menudo tienen hipo" (tangente, coseno, seno) o "Ven y tómate unas naranjas para ayudar a superar la amnesia" (coseno, seno, tangente). ^{[2] [3]} Las comunidades en círculos chinos pueden optar por recordarlo como TOA-CAH-SOH, que también significa 'mujer de pies grandes' ( chino :大腳嫂; Pe̍h-ōe-jī : tōa-kha-só ) en hokkien . ^{[ cita requerida ]}

Una forma alternativa de recordar las letras de Sin, Cos y Tan es memorizar las sílabas Oh, Ah, Oh-Ah (es decir , / oʊ ə ˈ oʊ . ə / ) para O/H, A/H, O/A. ^[4] Los mnemónicos más largos para estas letras incluyen "Oscar Has A Hold On Angie" y "Oscar Had A Heap of Apples". ^[2]

Todos los estudiantes toman cálculo es una regla mnemotécnica para el signo de cada función trigonométrica en cada cuadrante del plano. Las letras ASTC indican cuáles de las funciones trigonométricas son positivas, comenzando en el primer cuadrante superior derecho y avanzando en sentido contrario a las agujas del reloj a través de los cuadrantes 2 a 4. ^[5]

• Cuadrante 1 (ángulos de 0 a 90 grados, o de 0 a π/2 radianes): todas las funciones trigonométricas son positivas en este cuadrante.
• Cuadrante 2 (ángulos de 90 a 180 grados, o π/2 a π radianes): Las funciones seno y cosecante son positivas en este cuadrante.
• Cuadrante 3 (ángulos de 180 a 270 grados, o π a 3π/2 radianes): Las funciones tangente y cotangente son positivas en este cuadrante.
• Cuadrante 4 (ángulos de 270 a 360 grados, o 3π/2 a 2π radianes): las funciones coseno y secante son positivas en este cuadrante.

Otros mnemotécnicos incluyen:

• Todas las estaciones a la central ^[6 ]
• Todos los gatos tontos [ ⁶ ]
• Añade azúcar al café ^[ 6 ]​​
• Todos los profesores de ciencias están locos ^[7 ]
• Una clase de trigonometría inteligente ^[ 8 ]
• Todas las escuelas torturan a niños ^[5 ]
• Un curso de trígono horrible y apestoso [ 5 ^]

Otras reglas mnemotécnicas fáciles de recordar son las leyes ACTS y CAST . Estas tienen la desventaja de no ir secuencialmente de los cuadrantes 1 a 4 y no reforzar la convención de numeración de los cuadrantes.

• CAST todavía va en sentido antihorario, pero comienza en el cuadrante 4 y pasa por los cuadrantes 4, 1, 2 y luego 3.
• ACTS todavía comienza en el cuadrante 1, pero continúa en el sentido de las agujas del reloj pasando por los cuadrantes 1, 4, 3 y luego 2.

Los senos y cosenos de los ángulos comunes 0°, 30°, 45°, 60° y 90° siguen el patrón con n = 0, 1, ..., 4 para seno y n = 4, 3, ..., 0 para coseno, respectivamente: ^[9]${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{2}}}$

${\estilo de visualización \theta}$	${\displaystyle \sin \theta}$	${\displaystyle \cos \theta}$	${\displaystyle \tan \theta =\sin \theta {\Big /}\cos \theta }$
0° = 0 radianes	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {azul}{0}}}}{2}}=\;\;0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {rojo}{4}}}}{2}}=\;\;1}$	${\displaystyle \;\;0\;\;{\Grande /}\;\;1\;\;=\;\;0}$
30° = ⁠π/6⁠ radianes	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {verde azulado}{1}}}}{2}}=\;\,{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {naranja}{3}}}}{2}}}$	${\displaystyle \;\,{\frac {1}{2}}\;{\Big /}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$
45° = ⁠π/4⁠ radianes	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {verde}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {verde}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big /}{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\;\;1}$
60° = ⁠π/3⁠ radianes	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {naranja}{3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {verde azulado}{1}}}}{2}}=\;{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}{\Big /}\;{\frac {1}{2}}\;\,={\sqrt {3}}}$
90° = ⁠π/2⁠ radianes	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {rojo}{4}}}}{2}}=\;\,1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {azul}{0}}}}{2}}=\;\,0}$	${\displaystyle \;\;1\;\;{\Grande /}\;\;0\;\;=}$indefinido

Otra regla mnemotécnica permite leer rápidamente todas las identidades básicas. El diagrama hexagonal se puede construir con un poco de reflexión: ^[10]

1. Dibuje tres triángulos que apunten hacia abajo y se toquen en un único punto. Esto se parece a un trébol de refugio antiaéreo .
2. Escribe un 1 en el medio donde se tocan los tres triángulos.
3. Escribe las funciones sin "co" en los tres vértices externos izquierdos (de arriba a abajo: seno , tangente , secante )
4. Escribe las cofunciones en los tres vértices externos derechos correspondientes ( co seno, co tangente, co secante)

Comenzando en cualquier vértice del hexágono resultante:

• El vértice inicial es igual a uno sobre el vértice opuesto. Por ejemplo,${\displaystyle \sin A={\frac {1}{\csc A}}}$
• En el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, el vértice inicial es igual al siguiente vértice dividido por el vértice siguiente. Por ejemplo,${\displaystyle \sin A={\frac {\cos A}{\cot A}}={\frac {\tan A}{\sec A}}}$
• La esquina inicial es igual al producto de sus dos vecinos más cercanos. Por ejemplo,${\displaystyle \sin A=\cos A\cdot \tan A}$
• La suma de los cuadrados de los dos elementos de la parte superior de un triángulo es igual al cuadrado del elemento de la parte inferior. Estas son las identidades trigonométricas pitagóricas :

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1^{2}=1\ }$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

Aparte del último punto, los valores específicos para cada identidad se resumen en esta tabla:

Función de inicio	... es igual a ⁠1/opuesto⁠	... es igual a ⁠primero/segundo⁠ en el sentido de las agujas del reloj	... es igual a ⁠primero/segundo⁠ en sentido contrario a las agujas del reloj/antihorario	... es igual al producto de dos vecinos más cercanos
${\displaystyle \tan A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\cot A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\sin A}{\cos A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\sec A}{\csc A}}}$	${\displaystyle =\sin A\cdot \sec A}$
${\displaystyle \sin A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\csc A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\cos A}{\cot A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\tan A}{\sec A}}}$	${\displaystyle =\cos A\cdot \tan A}$
${\displaystyle \cos A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\seg A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\cot A}{\csc A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\sin A}{\tan A}}}$	${\displaystyle =\sin A\cdot \cot A}$
${\displaystyle \cot A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\tan A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\csc A}{\sec A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\cos A}{\sin A}}}$	${\displaystyle =\cos A\cdot \csc A}$
${\displaystyle \csc A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\sin A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\sec A}{\tan A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\cot A}{\cos A}}}$	${\displaystyle =\cot A\cdot \sec A}$
${\displaystyle \sec A}$	${\displaystyle ={\frac {1}{\cos A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\tan A}{\sin A}}}$	${\displaystyle ={\frac {\csc A}{\cot A}}}$	${\displaystyle =\csc A\cdot \tan A}$

• Lista de identidades trigonométricas