Convergencia absoluta

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En matemáticas , se dice que una serie infinita de números converge absolutamente (o es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, se dice que una serie real o compleja converge absolutamente si para algún número real De manera similar , se dice que una integral impropia de una función converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si Una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente .${\displaystyle \textstyle \sum _ {n=0}^{\infty}a_ {n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$${\displaystyle \textstyle L.}$${\displaystyle \textstyle \int _ {0}^{\infty }f(x)\,dx,}$${\displaystyle \textstyle \int _ {0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

La convergencia absoluta es importante para el estudio de las series infinitas, porque su definición garantiza que una serie tendrá algunos comportamientos "agradables" de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen. Por ejemplo, los reordenamientos no cambian el valor de la suma, lo que no es necesariamente cierto para las series condicionalmente convergentes.

Al sumar un número finito de términos, la suma es asociativa y conmutativa , lo que significa que la agrupación y la reorganización no alteran la suma final. Por ejemplo, es igual a ambos y . Sin embargo, la asociatividad y la conmutatividad no necesariamente se cumplen para sumas infinitas. Un ejemplo es la serie armónica alternada${\estilo de visualización (1+2)+3}$${\estilo de visualización 1+(2+3)}$${\estilo de visualización (3+2)+1}$

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$

cuyos términos son fracciones que alternan en signo. Esta serie es convergente y se puede evaluar utilizando la serie de Maclaurin para la función , que converge para todos los que satisfacen :${\displaystyle \ln(1+x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle -1<x\leq 1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

Sustituyendo se obtiene que la suma original es igual a . La suma también se puede reorganizar de la siguiente manera:${\displaystyle x=1}$${\estilo de visualización \ln 2}$

${\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

En esta reorganización, el recíproco de cada número impar se agrupa con el recíproco del doble de su valor, mientras que los recíprocos de cada múltiplo de 4 se evalúan por separado. Sin embargo, la evaluación de los términos dentro de los paréntesis da como resultado

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

o la mitad de la serie original. La violación de la asociatividad y conmutatividad de la adición revela que la serie armónica alternada es condicionalmente convergente . De hecho, la suma de los valores absolutos de cada término es , o la serie armónica divergente . Según el teorema de series de Riemann , cualquier serie condicionalmente convergente se puede permutar de modo que su suma sea cualquier número real finito o de modo que diverja. Cuando se reordena una serie absolutamente convergente, su suma siempre se conserva.${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cpuntos }$

Una suma de números reales o números complejos es absolutamente convergente si la suma de los valores absolutos de los términos converge .${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }|a_ {n}|}$

La misma definición se puede utilizar para series cuyos términos no son números sino elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario . En ese caso, en lugar de utilizar el valor absoluto , la definición requiere que el grupo tenga una norma , que es una función positiva de valor real en un grupo abeliano (escrito de forma aditiva , con elemento identidad 0) tal que:${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$${\estilo de visualización G}$

1. La norma del elemento identidad de es cero:${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. Por cada implica${\displaystyle x\en G,}$ ${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0.}$
3. Para cada${\displaystyle x\en G,}$ ${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. Para cada${\displaystyle x,y\en G,}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

En este caso, la función induce la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología ) en${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$${\displaystyle G.}$

Entonces, una serie con valores es absolutamente convergente si${\displaystyle G}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

En particular, estas afirmaciones se aplican utilizando la norma ( valor absoluto ) en el espacio de números reales o números complejos.${\displaystyle |x|}$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una familia (posiblemente incontable ) en entonces esta familia es absolutamente sumable si ^[1]${\displaystyle X}$${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$es sumable en (es decir, si el límite de la red converge en donde es el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigido por inclusión y ), y${\displaystyle X}$${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \subseteq }$${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. para cada seminorma continua de la familia es sumable en${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Si es un espacio normable y si es una familia absolutamente sumable, entonces necesariamente todas las colecciones de , excepto una colección contable, son 0.${\displaystyle X}$${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\alpha }}$

Las familias absolutamente sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .

Si es completa con respecto a la métrica , entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. La prueba es la misma que para las series de valores complejos: utilice la completitud para derivar el criterio de Cauchy para la convergencia (una serie es convergente si y solo si sus colas pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en la norma) y aplique la desigualdad triangular.${\displaystyle G}$${\displaystyle d,}$

En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach , la convergencia absoluta implica convergencia. La inversa también es cierta: si la convergencia absoluta implica convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.

Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se denomina convergente condicional . Un ejemplo de una serie convergente condicional es la serie armónica alternada . Muchas pruebas estándar para la divergencia y la convergencia, incluidas en particular la prueba de la razón y la prueba de la raíz , demuestran la convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia. ^[a]

Supongamos que es convergente. Entonces, equivalentemente, es convergente, lo que implica que y convergen por comparación término a término de términos no negativos. Basta con mostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de y para entonces, la convergencia de se seguiría, por la definición de la convergencia de series de valores complejos.${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

La discusión anterior muestra que sólo necesitamos demostrar que la convergencia de implica la convergencia de${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\textstyle \sum a_{k}.}$

Sea convergente. Como tenemos Dado que es convergente, es una sucesión monótona acotada de sumas parciales y también debe converger. Observando que es la diferencia de series convergentes, concluimos que también es una serie convergente, como se deseaba.${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$$${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

Aplicando el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos demostrar este hecho como una implicación simple de la desigualdad triangular . ^[2] Por el criterio de Cauchy , converge si y solo si para cualquier existe tal que para cualquier Pero la desigualdad triangular implica que de modo que para cualquier que es exactamente el criterio de Cauchy para${\textstyle \sum |a_{i}|}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$${\displaystyle n>m\geq N.}$${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$${\displaystyle n>m\geq N,}$${\textstyle \sum a_{i}.}$

El resultado anterior se puede generalizar fácilmente a cada espacio de Banach. Sea una serie absolutamente convergente en Como es una secuencia de Cauchy de números reales, para cualquier número natural suficientemente grande se cumple:${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$${\textstyle \sum x_{n}}$${\displaystyle X.}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle m>n}$$${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

Por la desigualdad triangular para la norma ǁ⋅ǁ , se obtiene inmediatamente: lo que significa que es una secuencia de Cauchy en por lo tanto la serie es convergente en ^[3]$${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$

Cuando una serie de números reales o complejos es absolutamente convergente, cualquier reordenamiento o reordenamiento de los términos de esa serie seguirá convergiendo al mismo valor. Este hecho es una de las razones por las que las series absolutamente convergentes son útiles: demostrar que una serie es absolutamente convergente permite emparejar o reordenar los términos de maneras convenientes sin cambiar el valor de la suma.

El teorema de reordenamiento de Riemann muestra que lo contrario también es cierto: toda serie real o de valores complejos cuyos términos no pueden reordenarse para dar un valor diferente es absolutamente convergente.

El término convergencia incondicional se utiliza para referirse a una serie en la que cualquier reordenamiento de sus términos sigue convergendo al mismo valor. Para cualquier serie con valores en un grupo abeliano normado , siempre que sea completa, toda serie que converge de forma absoluta también converge de forma incondicional.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Expresado de manera más formal:

Para series con coeficientes más generales, la recíproca es más complicada. Como se dijo en la sección anterior, para series de valores reales y complejos, la convergencia incondicional siempre implica convergencia absoluta. Sin embargo, en el caso más general de una serie con valores en cualquier grupo abeliano normado , la recíproca no siempre se cumple: pueden existir series que no sean absolutamente convergentes, pero sí incondicionalmente convergentes.${\displaystyle G}$

Por ejemplo, en el espacio de Banach ℓ ^∞ , una serie que es incondicionalmente convergente pero no absolutamente convergente es:$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

donde es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente. ^[4]${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Para cualquiera podemos elegir alguno tal que:${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

Sea donde es el número natural más pequeño tal que la lista incluye todos los términos (y posiblemente otros).$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

Finalmente, para cualquier entero sea tal que y por lo tanto${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

Esto demuestra que es:$${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

QED

El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge de manera absoluta. Es decir, supongamos que$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

El producto de Cauchy se define como la suma de términos donde:${\displaystyle c_{n}}$$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

Si la suma o la suma convergen absolutamente entonces${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

Una generalización de la convergencia absoluta de una serie es la convergencia absoluta de una suma de una función sobre un conjunto. Podemos considerar primero un conjunto numerable y una función. Daremos a continuación una definición de la suma de sobre escrita como${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

En primer lugar, cabe señalar que, como todavía no se ha especificado ninguna enumeración (o "indexación") particular de , la serie no puede entenderse mediante la definición más básica de una serie. De hecho, para ciertos ejemplos de y la suma de sobre puede no estar definida en absoluto, ya que alguna indexación puede producir una serie condicionalmente convergente. ${\displaystyle X}$${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Por lo tanto, definimos únicamente en el caso en que exista alguna biyección tal que sea absolutamente convergente. Nótese que aquí, "absolutamente convergente" utiliza la definición más básica, aplicada a una serie indexada. En este caso, el valor de la suma de sobre ^[5] se define por ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

Nótese que debido a que la serie es absolutamente convergente, entonces cada reordenamiento es idéntico a una elección diferente de biyección. Dado que todas estas sumas tienen el mismo valor, entonces la suma de sobre está bien definida. ${\displaystyle g.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

De manera aún más general, podemos definir la suma de cuando es incontable. Pero primero definamos qué significa que la suma sea convergente.${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Sea un conjunto cualquiera, numerable o incontable, y una función. Decimos que la suma de sobre converge absolutamente si ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

Existe un teorema que establece que, si la suma de sobre es absolutamente convergente, entonces toma valores distintos de cero en un conjunto que es, como máximo, numerable. Por lo tanto, la siguiente es una definición coherente de la suma de sobre cuando la suma es absolutamente convergente. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

Nótese que la serie final utiliza la definición de una serie sobre un conjunto contable.

Algunos autores definen una suma iterada como absolutamente convergente si la serie iterada ^[6] Esto es de hecho equivalente a la convergencia absoluta de Es decir, si la suma de sobre converge absolutamente, como se definió anteriormente, entonces la suma iterada converge absolutamente, y viceversa.${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

Se dice que la integral de una función real o compleja converge absolutamente si también se dice que es absolutamente integrable . La cuestión de la integrabilidad absoluta es intrincada y depende de si se considera la integral de Riemann , Lebesgue o Kurzweil-Henstock (de calibre); en el caso de la integral de Riemann, también depende de si solo consideramos la integrabilidad en su sentido propio ( y ambas acotadas ), o permitimos el caso más general de integrales impropias.${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

Como propiedad estándar de la integral de Riemann, cuando es un intervalo acotado , toda función continua es acotada e integrable (de Riemann), y dado que continua implica continua, toda función continua es absolutamente integrable. De hecho, dado que es Riemann integrable en si es (correctamente) integrable y es continua, se sigue que es correctamente Riemann integrable si es. Sin embargo, esta implicación no se cumple en el caso de integrales impropias. Por ejemplo, la función es impropiamente Riemann integrable en su dominio no acotado, pero no es absolutamente integrable: De hecho, de manera más general, dada cualquier serie se puede considerar la función escalonada asociada definida por Entonces converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge según el comportamiento correspondiente de${\displaystyle A=[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$${\displaystyle f}$${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

La situación es diferente para la integral de Lebesgue, que no maneja dominios acotados e ilimitados de integración por separado ( ver abajo ). El hecho de que la integral de sea ilimitada en los ejemplos anteriores implica que tampoco es integrable en el sentido de Lebesgue. De hecho, en la teoría de integración de Lebesgue, dado que es medible , es (Lebesgue) integrable si y solo si es (Lebesgue) integrable. Sin embargo, la hipótesis de que es medible es crucial; no es generalmente cierto que las funciones absolutamente integrables en sean integrables (simplemente porque pueden no ser mensurables): sea un subconjunto no medible y considere donde es la función característica de Entonces no es medible Lebesgue y por lo tanto no integrable, pero es una función constante y claramente integrable.${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S\subset [a,b]}$${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$${\displaystyle \chi _{S}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

Por otra parte, una función puede ser integrable según el método de Kurzweil-Henstock (integrable según el método de gauge) pero no lo es. Esto incluye el caso de funciones integrables según el método de Riemann de forma incorrecta.${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$

En un sentido general, en cualquier espacio de medida, la integral de Lebesgue de una función de valor real se define en términos de sus partes positivas y negativas, por lo que los hechos:${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$integrable implica integrable${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$medible, integrable implica integrable${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$

están esencialmente incorporadas en la definición de la integral de Lebesgue. En particular, al aplicar la teoría a la medida de conteo en un conjunto se recupera la noción de suma no ordenada de series desarrollada por Moore-Smith utilizando (lo que ahora se llaman) redes. Cuando es el conjunto de números naturales, la integrabilidad de Lebesgue, la suma no ordenada y la convergencia absoluta coinciden.${\displaystyle S,}$${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

Finalmente, todo lo anterior es válido para integrales con valores en un espacio de Banach. La definición de una integral de Riemann con valores de Banach es una modificación evidente de la habitual. Para la integral de Lebesgue es necesario evitar la descomposición en partes positivas y negativas con el enfoque analítico más funcional de Daniell , obteniendo la integral de Bochner .

• Valor principal de Cauchy  : método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas
• Convergencia condicional  : una propiedad de las series infinitas
• Convergencia de series de Fourier  : problema matemático en el análisis armónico clásico
• Teorema de Fubini  : condiciones para cambiar el orden de integración en el cálculo
• Modos de convergencia (índice anotado)  – Índice anotado de varios modos de convergencia
• Radio de convergencia  – Dominio de convergencia de series de potencias
• Teorema de la serie de Riemann  : Las series incondicionalmente convergentes convergen absolutamente
• Convergencia incondicional  : convergencia independiente del orden de una secuencia
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