Expresión algebraica

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En matemáticas , una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes (generalmente, números algebraicos ), variables y las operaciones algebraicas básicas : suma (+), resta (-), multiplicación (×), división (÷), potencias de números enteros y raíces ( potencias fraccionarias ). ^{[1] [2] [3] [ se necesita una mejor fuente ]} . Por ejemplo, ⁠ ⁠${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , lo siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Una ecuación algebraica es una ecuación que involucra polinomios , para la cual las expresiones algebraicas pueden ser soluciones .

Si restringes tu conjunto de constantes a números , cualquier expresión algebraica puede llamarse expresión aritmética . Sin embargo, las expresiones algebraicas se pueden usar en objetos más abstractos, como en Álgebra abstracta . Si restringes tus constantes a números enteros , el conjunto de números que se pueden describir con una expresión algebraica se denomina Números algebraicos . ^{[ contradictorio ]}

Por el contrario, los números trascendentales como π y e no son algebraicos, ya que no se derivan de constantes enteras ni de operaciones algebraicas. Por lo general, π se construye como una relación geométrica y la definición de e requiere un número infinito de operaciones algebraicas. De manera más general, las expresiones que son algebraicamente independientes de sus constantes y/o variables se denominan trascendentales .

El álgebra tiene su propia terminología para describir partes de una expresión:

Por convención, las letras al principio del alfabeto (por ejemplo, ) se utilizan normalmente para representar constantes , y las que están hacia el final del alfabeto (por ejemplo, y ) se utilizan para representar variables . ^[4] Por lo general, se escriben en cursiva. ^[5]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$

Por convención, los términos con la mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escribe a la izquierda de . Cuando un coeficiente es uno, normalmente se omite (por ejemplo, se escribe ). ^[6] Asimismo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo, se escribe ), ^[7] y, cuando el exponente es cero, el resultado siempre es 1 (por ejemplo, se escribe , ya que siempre es ). ^[8]${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 3x^{1}}$${\displaystyle 3x}$${\displaystyle 3x^{0}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle 1}$

Las raíces de una expresión polinómica de grado n , o equivalentemente las soluciones de una ecuación polinómica , siempre se pueden escribir como expresiones algebraicas si n < 5 (véase fórmula cuadrática , función cúbica y ecuación cuártica ). Una solución de una ecuación de este tipo se denomina solución algebraica . Pero el teorema de Abel-Ruffini establece que no existen soluciones algebraicas para todas esas ecuaciones (solo para algunas de ellas) si n 5.${\displaystyle \geq }$

Dados dos polinomios ⁠ ⁠${\displaystyle P(x)}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle Q(x)}$ , su cociente se llama expresión racional o simplemente fracción racional . ^{[9] [10] [11]} Una expresión racional se llama propia si , e impropia en caso contrario. Por ejemplo, la fracción es propia y las fracciones y son impropias. Cualquier fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio (posiblemente constante) y una fracción racional propia. En el primer ejemplo de fracción impropia se tiene${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}$${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

donde el segundo término es una fracción racional propia. La suma de dos fracciones racionales propias también es una fracción racional propia. El proceso inverso de expresar una fracción racional propia como la suma de dos o más fracciones se llama resolverla en fracciones parciales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Aquí, los dos términos de la derecha se llaman fracciones parciales.

Una fracción irracional es aquella que contiene la variable bajo un exponente fraccionario. ^[12] Un ejemplo de fracción irracional es

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

El proceso de transformar una fracción irracional en una fracción racional se conoce como racionalización . Toda fracción irracional en la que los radicales son monomios se puede racionalizar hallando el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces y sustituyendo la variable por otra variable con el mínimo común múltiplo como exponente. En el ejemplo dado, el mínimo común múltiplo es 6, por lo tanto podemos sustituir para obtener${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

La siguiente tabla resume cómo las expresiones algebraicas se comparan con varios otros tipos de expresiones matemáticas según el tipo de elementos que pueden contener, según convenciones comunes pero no universales.

Una expresión algebraica racional (o expresión racional ) es una expresión algebraica que se puede escribir como un cociente de polinomios , como x ² + 4 x + 4 . Una expresión algebraica irracional es una que no es racional, como √ x + 4 .

• Función algebraica
• Expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Expresión (matemáticas)
• Precálculo
• Término (lógica)

• James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas. Springer. pág. 8. ISBN 9780412990410.

• Weisstein, Eric W. "Expresión algebraica". MathWorld .