Matemáticas elementales

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Las matemáticas elementales , también conocidas como matemáticas de escuela primaria o secundaria , son el estudio de temas matemáticos que se enseñan comúnmente en los niveles de escuela primaria o secundaria en todo el mundo. Incluye una amplia gama de conceptos y habilidades matemáticas, incluido el sentido numérico , el álgebra , la geometría , la medición y el análisis de datos . Estos conceptos y habilidades forman la base para un estudio matemático más avanzado y son esenciales para el éxito en muchos campos y en la vida cotidiana. El estudio de las matemáticas elementales es una parte crucial de la educación de un estudiante y sienta las bases para el éxito académico y profesional futuro.

El sentido numérico es la comprensión de los números y las operaciones. En la rama "Sentido numérico y numeración", los estudiantes desarrollan una comprensión de los números al aprender diversas formas de representarlos, así como las relaciones entre ellos. ^[2]

Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primos , se estudian en la teoría básica de números , otra parte de las matemáticas elementales.

Enfoque elemental:

Las "habilidades y conceptos de medición" o "sentido espacial" están directamente relacionados con el mundo en el que viven los estudiantes. Muchos de los conceptos que se enseñan a los estudiantes en esta rama también se utilizan en otras materias, como ciencias, estudios sociales y educación física ^[3]. En la rama de medición, los estudiantes aprenden sobre los atributos medibles de los objetos, además del sistema métrico básico.

Enfoque elemental:

La rama de la medición consta de múltiples formas de medición, como afirma Marian Small: "La medición es el proceso de asignar una descripción cualitativa o cuantitativa del tamaño de un objeto en función de un atributo particular". ^[4]

Una fórmula es una entidad construida utilizando los símbolos y reglas de formación de un lenguaje lógico dado . ^[5] Por ejemplo, determinar el volumen de una esfera requiere una cantidad significativa de cálculo integral o su análogo geométrico, el método de agotamiento ; ^[6] pero, habiendo hecho esto una vez en términos de algún parámetro (el radio, por ejemplo), los matemáticos han producido una fórmula para describir el volumen.

Una ecuación es una fórmula de la forma A  =  B , donde A y B son expresiones que pueden contener una o varias variables llamadas incógnitas , y "=" denota la relación binaria de igualdad . Aunque escrita en forma de proposición , una ecuación no es un enunciado que sea verdadero o falso, sino un problema que consiste en encontrar los valores, llamados soluciones , que, al sustituir las incógnitas, dan valores iguales de las expresiones A y B . Por ejemplo, 2 es la única solución de la ecuación x  + 2 = 4, en la que la incógnita es x . ^[7]

Los datos son un conjunto de valores de variables cualitativas o cuantitativas ; reformulados, los datos son piezas individuales de información . En informática (o procesamiento de datos ) los datos se representan en una estructura que suele ser tabular (representada por filas y columnas ), un árbol (un conjunto de nodos con relación padre - hijo ) o un gráfico (un conjunto de nodos conectados ). Los datos suelen ser el resultado de mediciones y se pueden visualizar mediante gráficos o imágenes .

Los datos como concepto abstracto pueden considerarse el nivel más bajo de abstracción , del que se deriva la información y luego el conocimiento .

La geometría bidimensional es una rama de las matemáticas que estudia cuestiones relacionadas con la forma, el tamaño y la posición relativa de figuras bidimensionales. Los temas básicos de las matemáticas elementales incluyen polígonos, círculos, perímetros y áreas.

Un polígono es una forma que está limitada por una cadena finita de segmentos de línea recta que se cierran en un bucle para formar una cadena o circuito cerrado . Estos segmentos se denominan aristas o lados , y los puntos donde se encuentran dos aristas son los vértices (singular: vértice) o esquinas del polígono . El interior del polígono a veces se denomina cuerpo . Un n -gono es un polígono con n lados. Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones.

Un círculo es una forma geométrica bidimensional simple que es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia dada de un punto dado, el centro . La distancia entre cualquiera de los puntos y el centro se llama radio . También se puede definir como el lugar geométrico de un punto equidistante de un punto fijo.

Un perímetro es un camino que rodea una forma bidimensional . El término puede usarse tanto para el camino como para su longitud: se puede considerar como la longitud del contorno de una forma. El perímetro de un círculo o una elipse se denomina circunferencia .

El área es la cantidad que expresa la extensión de una figura o forma bidimensional . Existen varias fórmulas conocidas para las áreas de formas simples, como triángulos , rectángulos y círculos .

Dos cantidades son proporcionales si un cambio en una siempre va acompañado de un cambio en la otra, y si los cambios siempre están relacionados mediante el uso de un multiplicador constante. La constante se llama coeficiente de proporcionalidad o constante de proporcionalidad .

• Si una cantidad es siempre el producto de la otra y una constante, se dice que las dos son directamente proporcionales . x e y son directamente proporcionales si la relación es constante.${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$
• Si el producto de dos cantidades es siempre igual a una constante, se dice que las dos son inversamente proporcionales . x e y son inversamente proporcionales si el producto es constante.${\estilo de visualización xy}$

La geometría analítica es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones de planos , líneas rectas y cuadrados , a menudo en dos y, a veces, en tres dimensiones. Geométricamente, se estudia el plano euclidiano (2 dimensiones) y el espacio euclidiano (3 dimensiones). Como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más sencilla: se ocupa de definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas.

Las transformaciones son formas de desplazar y escalar funciones utilizando diferentes fórmulas algebraicas.

Un número negativo es un número real menor que cero . Estos números se utilizan a menudo para representar la cantidad de una pérdida o ausencia. Por ejemplo, una deuda puede considerarse un activo negativo, o una disminución de cierta cantidad puede considerarse un aumento negativo. Los números negativos se utilizan para describir valores en una escala que va por debajo de cero, como las escalas Celsius y Fahrenheit para la temperatura.

La exponenciación es una operación matemática , escrita como b ⁿ , que involucra dos números, la base b y el exponente (o potencia ) n . Cuando n es un número natural (es decir, un entero positivo ), la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, b ⁿ es el producto de multiplicar n bases:

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

Las raíces son lo opuesto a los exponentes. La raíz n-ésima de un número x (escrito ) es un número r que, cuando se eleva a la potencia n, da  x . Es decir,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=r\iff r^{n}=x,}$

donde n es el grado de la raíz. Una raíz de grado 2 se llama raíz cuadrada y una raíz de grado 3, raíz cúbica . Las raíces de grado superior se denominan mediante números ordinales, como en raíz cuarta , raíz vigésima , etc.

Por ejemplo:

• 2 es una raíz cuadrada de 4, ya que 2 ² = 4.
• −2 también es una raíz cuadrada de 4, ya que (−2) ² = 4.

La construcción con regla y compás, también conocida como construcción con regla y compás, es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando únicamente una regla y un compás idealizados .

Se supone que la regla idealizada, conocida como regla de borde recto , tiene una longitud infinita, no tiene marcas y solo tiene un borde. Se supone que el compás colapsa cuando se lo levanta de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, utilizando un procedimiento de varios pasos, se puede transferir una distancia incluso con un compás colapsable, consulte el teorema de equivalencia de compás ). De manera más formal, las únicas construcciones permisibles son las otorgadas por los primeros tres postulados de Euclides .

Dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro. ^[8] Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , a saber, una traslación , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reposicionarse y reflejarse (pero no cambiar de tamaño) para coincidir exactamente con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en un trozo de papel son congruentes si podemos recortarlas y luego hacerlas coincidir completamente. Se permite dar vuelta el papel.

Dos objetos geométricos se denominan semejantes si ambos tienen la misma forma , o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno puede obtenerse a partir del otro mediante un escalado uniforme (ampliación o contracción), posiblemente con una traslación , rotación y reflexión adicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos puede reescalarse, reposicionarse y reflejarse, de modo que coincida exactamente con el otro objeto. Si dos objetos son semejantes, cada uno es congruente con el resultado de un escalado uniforme del otro.

La geometría sólida era el nombre tradicional de la geometría del espacio euclidiano tridimensional . La estereometría se ocupa de las mediciones de volúmenes de varias figuras sólidas ( figuras tridimensionales ), incluidas pirámides , cilindros , conos , conos truncados , esferas y prismas .

Un número racional es cualquier número que se puede expresar como cociente o fracción p / q de dos números enteros , con el denominador q distinto de cero. ^[9] Como q puede ser igual a 1, todo número entero es un número racional. El conjunto de todos los números racionales se suele denotar con una Q en negrita (o negrita de pizarra ).${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un patrón es una regularidad discernible en el mundo o en un diseño creado por el hombre. Como tal, los elementos de un patrón se repiten de manera predecible. Un patrón geométrico es un tipo de patrón formado por formas geométricas y que, por lo general, se repite como un papel .

Una relación en un conjunto A es una colección de pares ordenados de elementos de A . En otras palabras, es un subconjunto del producto cartesiano A ² = A × A . Las relaciones comunes incluyen la divisibilidad entre dos números y las desigualdades.

Una función ^[10] es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas permisibles con la propiedad de que cada entrada está relacionada con exactamente una salida. Un ejemplo es la función que relaciona cada número real x con su cuadrado x ² . La salida de una función f correspondiente a una entrada x se denota por f ( x ) (léase " f de x "). En este ejemplo, si la entrada es −3, entonces la salida es 9, y podemos escribir f (−3) = 9. Las variables de entrada a veces se denominan argumentos de la función.

La pendiente de una línea es un número que describe tanto la dirección como la inclinación de la línea. ^[11] La pendiente a menudo se denota con la letra m . ^[12]

La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes y los ángulos de los triángulos . El campo surgió durante el siglo III a. C. a partir de aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos. ^[13]

En los Estados Unidos, ha habido una considerable preocupación por el bajo nivel de habilidades en matemáticas elementales por parte de muchos estudiantes, en comparación con los estudiantes de otros países desarrollados. ^[14] El programa No Child Left Behind fue un intento de abordar esta deficiencia, exigiendo que todos los estudiantes estadounidenses fueran evaluados en matemáticas elementales. ^[15]

• Halmos, Paul R. (1970). Teoría de conjuntos ingenua. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6.