Fórmula de aproximación del seno de Bhāskara I

En matemáticas , la fórmula de aproximación de senos de Bhāskara I es una expresión racional en una variable para el cálculo de los valores aproximados de los senos trigonométricos descubiertos por Bhāskara I (c. 600 - c. 680), un matemático indio del siglo VII . ^[1] Esta fórmula se da en su tratado titulado Mahabhaskariya . No se sabe cómo llegó Bhāskara I a su fórmula de aproximación. Sin embargo, varios historiadores de las matemáticas han propuesto diferentes hipótesis en cuanto al método que Bhāskara podría haber utilizado para llegar a su fórmula. La fórmula es elegante y simple, y permite el cálculo de valores razonablemente precisos de senos trigonométricos sin el uso de la geometría. ^[2]

La fórmula se encuentra en los versículos 17-19 del capítulo VII del Mahabhaskariya de Bhāskara I. A continuación se ofrece una traducción de los versículos: ^[3]

(Ahora) enunciaré brevemente la regla (para hallar el bhujaphala y el kotiphala , etc.) sin hacer uso de las diferencias de Rseno 225, etc. Restar los grados de un bhuja (o koti ) de los grados de un semicírculo (es decir, 180 grados). Luego multiplicar el resto por los grados del bhuja o koti y anotar el resultado en dos lugares. En un lugar restar el resultado de 40500. Por un cuarto del resto (así obtenido), dividir el resultado en el otro lugar multiplicado por el anthyaphala (es decir, el radio epicíclico). De este modo se obtiene el bahuphala (o kotiphala ) entero para el sol, la luna o los planetas estelares. Así también se obtienen los Rseno directos e inversos.

(La referencia "Rsine-differences 225" es una alusión a la tabla de senos de Aryabhata ).

En notaciones matemáticas modernas, para un ángulo x en grados, esta fórmula da ^[3]

${\displaystyle \sin x^{\circ}\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}.}$

La fórmula de aproximación del seno de Bhāskara I se puede expresar utilizando la medida de ángulos en radianes de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}$

Para un entero positivo n esto toma la siguiente forma: ^[4]

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}$

La fórmula adquiere una forma aún más simple cuando se expresa en términos del coseno en lugar del seno. Si se utiliza la medida en radianes para los ángulos de a y se pone , se obtiene${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}$

${\displaystyle \cos y\approx {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}$

Para expresar la fórmula anterior con la constante se puede utilizar${\displaystyle \tau =2\pi ,}$

${\displaystyle \cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}.}$

Casi todos los astrónomos y matemáticos posteriores de la India han dado formas equivalentes de la fórmula de Bhāskara I. Por ejemplo, el Brhma-Sphuta-Siddhanta (versos 23-24, capítulo XIV) de  Brahmagupta (598-668 d. C. ) ^[3] da la fórmula en la siguiente forma:

${\displaystyle R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.}$

Además, Bhāskara II (1114-1185 EC ) ha dado esta fórmula en su Lilavati (Kshetra-vyavahara, Soka No. 48) de la siguiente forma:

${\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}={\frac {5760Rx-32Rx^{2}}{162000-720x+4x^{2}}}}$

La fórmula es aplicable para valores de x ° en el rango de 0° a 180°. La fórmula es notablemente precisa en este rango. Los gráficos de sen  x y la fórmula de aproximación son visualmente indistinguibles y son casi idénticos. Una de las figuras adjuntas muestra el gráfico de la función de error, es decir, la función

${\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}$

en el uso de la fórmula. Muestra que el error absoluto máximo en el uso de la fórmula es de alrededor de 0,0016. A partir de un gráfico del valor porcentual del error absoluto, está claro que el error relativo máximo es inferior al 1,8%. La fórmula de aproximación proporciona así valores suficientemente precisos de senos para la mayoría de los fines prácticos. Sin embargo, no fue suficiente para los requisitos computacionales más precisos de la astronomía. La búsqueda de fórmulas más precisas por parte de los astrónomos indios finalmente condujo al descubrimiento de las expansiones de series de potencias de sen  x y cos  x por Madhava de Sangamagrama (c. 1350 - c. 1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala .

Bhāskara no había indicado ningún método por el cual llegara a su fórmula. Los historiadores han especulado sobre varias posibilidades. Hasta el momento no se ha obtenido ninguna respuesta definitiva. Más allá de su importancia histórica por ser un excelente ejemplo de los logros matemáticos de los antiguos astrónomos indios, la fórmula también tiene importancia desde una perspectiva moderna. Los matemáticos han intentado derivar la regla utilizando conceptos y herramientas modernos. Se han sugerido alrededor de media docena de métodos, cada uno basado en un conjunto separado de premisas. ^{[2] [3]} La mayoría de estas derivaciones utilizan solo conceptos elementales.

Sea la circunferencia de un círculo medida en grados y sea el radio R del círculo medido también en grados . Eligiendo un diámetro fijo AB y un punto arbitrario P en el círculo y dejando caer la perpendicular PM a AB , podemos calcular el área del triángulo APB de dos maneras. Igualando las dos expresiones para el área se obtiene (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . Esto da

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.}$

Si x es la longitud del arco AP , la longitud del arco BP es 180 − x . Estos arcos son mucho más grandes que las cuerdas respectivas. Por lo tanto, se obtiene

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}.}$

Ahora se buscan dos constantes α y β tales que

${\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta .}$

En realidad, no es posible obtener dichas constantes. Sin embargo, se pueden elegir valores para α y β de modo que la expresión anterior sea válida para dos valores elegidos de la longitud de arco x . Si se eligen 30° y 90° como estos valores y se resuelven las ecuaciones resultantes, se obtiene inmediatamente la fórmula de aproximación del seno de Bhāskara I. ^{[2] [3]}

Suponiendo que x está en radianes, se puede buscar una aproximación a sen  x en la siguiente forma:

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}.}$

Las constantes a , b , c , p , q y r (sólo cinco de ellas son independientes) se pueden determinar asumiendo que la fórmula debe ser exactamente válida cuando x = 0, π/6, π/2, π, y asumiendo además que tiene que satisfacer la propiedad de que sin( x ) = sin(π −  x ). ^{[2] [3]} Este procedimiento produce la fórmula expresada utilizando la medida de ángulos en radianes .

La parte de la gráfica de seno  x en el rango de 0° a 180° "parece" parte de una parábola que pasa por los puntos (0, 0) y (180, 0). La forma general de una parábola de este tipo es

${\displaystyle kx(180-x).}$

La parábola que también pasa por (90, 1) (que es el punto correspondiente al valor sin(90°) = 1) es

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}$

La parábola que también pasa por (30, 1/2) (que es el punto correspondiente al valor sin(30°) = 1/2) es

${\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}$

Estas expresiones sugieren un denominador variable que toma el valor 90 × 90 cuando x  = 90 y el valor 2 × 30 × 150 cuando x  = 30. El hecho de que esta expresión también deba ser simétrica respecto de la línea x  = 90 descarta la posibilidad de elegir una expresión lineal en  x . Los cálculos que involucran x (180 −  x ) podrían sugerir inmediatamente que la expresión podría tener la forma

${\displaystyle 8100a+bx(180-x).}$

Un poco de experimentación (o planteando y resolviendo dos ecuaciones lineales en a y b ) dará como resultado los valores a  = 5/4, b  = −1/4. Estos dan la fórmula de aproximación del seno de Bhāskara I. ^[4]

Karel Stroethoff (2014) ofrece un argumento similar, pero más simple, para la elección de Bhāskara I. También proporciona una aproximación análoga para el coseno y extiende la técnica a polinomios de segundo y tercer orden. ^[5]

• Tabla de senos de Aryabhata
• Tabla de senos de Madhava
• Fórmula de interpolación de Brahmagupta

1. RC.Gupta, Sobre la derivación de la fórmula de Bhāskara I para el seno, Ganita Bharati 8 (1-4) (1986), 39–41.
2. T. Hayashi, Una nota sobre la aproximación racional de Bhāskara I al seno, Historia Sci. No. 42 (1991), 45–48.
3. K. Stroethoff, Aproximación de Bhāskara para el seno, The Mathematics Enthusiast, Vol. 11, No. 3 (2014), 485–492.