Generalizaciones de la derivada

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Cálculo
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
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v t e

En matemáticas , la derivada es una construcción fundamental del cálculo diferencial y admite muchas generalizaciones posibles dentro de los campos del análisis matemático , la combinatoria , el álgebra , la geometría , etc.

La derivada de Fréchet define la derivada para espacios vectoriales normados generales . Brevemente, una función , donde es un subconjunto abierto de , se llama diferenciable de Fréchet en si existe un operador lineal acotado tal que${\displaystyle V,W}$${\displaystyle f:U\to W}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle A:V\to W}$$${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

Las funciones se definen como diferenciables en algún entorno abierto de , en lugar de en puntos individuales, ya que no hacerlo tiende a conducir a muchos contraejemplos patológicos .${\displaystyle x}$

La derivada de Fréchet es bastante similar a la fórmula de la derivada que se encuentra en el cálculo elemental de una variable y simplemente desplaza A hacia el lado izquierdo. Sin embargo, la derivada de Fréchet A denota la función .$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,}$$${\displaystyle t\mapsto f'(x)\cdot t}$

En cálculo multivariable , en el contexto de ecuaciones diferenciales definidas por una función de valor vectorial R ⁿ a R ^m , la derivada de Fréchet A es un operador lineal sobre R considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo, y corresponde a la mejor aproximación lineal de una función. Si existe tal operador, entonces es único y puede representarse mediante una matriz m por n conocida como la matriz jacobiana J _x (ƒ) de la función ƒ en el punto x . Cada entrada de esta matriz representa una derivada parcial , que especifica la tasa de cambio de una coordenada de rango con respecto a un cambio en una coordenada de dominio. Por supuesto, la matriz jacobiana de la composición g _° f es un producto de matrices jacobianas correspondientes: J _x ( g _° f ) = J _{ƒ( x )} ( g )J _x (ƒ). Esta es una declaración de dimensión superior de la regla de la cadena .

Para funciones de valores reales de R ⁿ a R ( campos escalares ), la derivada de Fréchet corresponde a un campo vectorial llamado derivada total . Esta puede interpretarse como el gradiente , pero es más natural utilizar la derivada exterior .

La derivada convectiva tiene en cuenta los cambios debidos a la dependencia del tiempo y al movimiento a través del espacio a lo largo de un campo vectorial, y es un caso especial de la derivada total.

Para funciones con valores vectoriales de R a R ⁿ (es decir, curvas paramétricas ), la derivada de Fréchet corresponde a tomar la derivada de cada componente por separado. La derivada resultante se puede mapear a un vector. Esto es útil, por ejemplo, si la función con valores vectoriales es el vector de posición de una partícula a través del tiempo, entonces la derivada es el vector de velocidad de la partícula a través del tiempo.

En el análisis complejo , los objetos centrales de estudio son las funciones holomorfas , que son funciones de valor complejo en los números complejos donde existe la derivada de Fréchet.

En el cálculo geométrico , la derivada geométrica satisface una forma más débil de la regla de Leibniz (del producto). Especializa la derivada de Fréchet a los objetos del álgebra geométrica. El cálculo geométrico es un formalismo poderoso que ha demostrado abarcar los marcos similares de las formas diferenciales y la geometría diferencial. ^[1]

En el álgebra exterior de formas diferenciales sobre una variedad suave , la derivada exterior es la única función lineal que satisface una versión graduada de la ley de Leibniz y eleva al cuadrado a cero. Es una derivación de grado 1 en el álgebra exterior. En R ³ , el gradiente , el rizo y la divergencia son casos especiales de la derivada exterior. Una interpretación intuitiva del gradiente es que apunta "hacia arriba": en otras palabras, apunta en la dirección del aumento más rápido de la función. Se puede utilizar para calcular derivadas direccionales de funciones escalares o direcciones normales. La divergencia da una medida de cuánta "fuente" o "sumidero" hay cerca de un punto. Se puede utilizar para calcular el flujo mediante el teorema de divergencia . El rizo mide cuánta " rotación " tiene un campo vectorial cerca de un punto.

La derivada de Lie es la tasa de cambio de un campo vectorial o tensorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. En los campos vectoriales, es un ejemplo de corchete de Lie (los campos vectoriales forman el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de la variedad). Es una derivación de grado 0 en el álgebra.

Junto con el producto interior (una derivación de grado -1 del álgebra exterior definida por la contracción con un campo vectorial), la derivada exterior y la derivada de Lie forman una superálgebra de Lie .

En topología diferencial , un campo vectorial puede definirse como una derivación en el anillo de funciones suaves en una variedad , y un vector tangente puede definirse como una derivación en un punto. Esto permite la abstracción de la noción de derivada direccional de una función escalar para variedades generales. Para variedades que son subconjuntos de R ⁿ , este vector tangente concordará con la derivada direccional .

La diferencial o empuje hacia delante de una función entre variedades es la función inducida entre espacios tangentes de esas funciones. Abstrae la matriz jacobiana .

En geometría diferencial , la derivada covariante permite tomar derivadas direccionales de campos vectoriales a lo largo de curvas . Esto extiende la derivada direccional de funciones escalares a secciones de fibrados vectoriales o fibrados principales . En geometría de Riemann , la existencia de una métrica elige una única derivada covariante preferida libre de torsión , conocida como conexión de Levi-Civita . Véase también derivada covariante de calibración para un tratamiento orientado a la física.

La derivada covariante exterior extiende la derivada exterior a formas con valores vectoriales.

Dada una función que es localmente integrable , pero no necesariamente clásicamente diferenciable, se puede definir una derivada débil mediante la integración por partes . Primero definamos las funciones de prueba , que son funciones infinitamente diferenciables y con soporte compacto , y los multiíndices , que son listas de longitud de números enteros con . Aplicado a las funciones de prueba, . Entonces la derivada débil de existe si hay una función tal que para todas las funciones de prueba , tenemos ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx}$

Si existe tal función, entonces , que es única casi en todas partes . Esta definición coincide con la derivada clásica para funciones , y puede extenderse a un tipo de funciones generalizadas llamadas distribuciones , el espacio dual de funciones de prueba. Las derivadas débiles son particularmente útiles en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y dentro de partes del análisis funcional.${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$${\displaystyle u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

En los números reales se puede iterar el proceso de diferenciación, es decir, aplicar derivadas más de una vez, obteniendo derivadas de segundo orden y superiores. También se pueden definir derivadas superiores para funciones de varias variables, estudiadas en el cálculo multivariable . En este caso, en lugar de aplicar repetidamente la derivada, se aplican repetidamente derivadas parciales con respecto a diferentes variables. Por ejemplo, las derivadas parciales de segundo orden de una función escalar de n variables se pueden organizar en una matriz n por n , la matriz hessiana . Uno de los puntos sutiles es que las derivadas superiores no están definidas intrínsecamente, y dependen de la elección de las coordenadas de una manera complicada (en particular, la matriz hessiana de una función no es un tensor ). Sin embargo, las derivadas superiores tienen aplicaciones importantes para el análisis de los extremos locales de una función en sus puntos críticos . Para una aplicación avanzada de este análisis a la topología de variedades , véase la teoría de Morse .

Además de  las derivadas n-ésimas para cualquier número natural n , existen diversas formas de definir derivadas de órdenes fraccionarios o negativos, que se estudian en el cálculo fraccionario . La derivada de orden −1 corresponde a la integral, de ahí el término integraldiferencial .

En el análisis cuaterniónico , las derivadas se pueden definir de manera similar a las funciones reales y complejas. Como los cuaterniones no son conmutativos, el límite del cociente de diferencias produce dos derivadas diferentes: Una derivada izquierda${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]}$

y una derivada derecha

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].}$

La existencia de estos límites son condiciones muy restrictivas. Por ejemplo, si tiene derivadas izquierdas en cada punto de un conjunto abierto conexo , entonces para .${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {H} }$${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle f(q)=a+qb}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$

• La derivada q de una función se define mediante la fórmula Para x distinto de cero, si f es una función diferenciable de x, entonces en el límite cuando q → 1 obtenemos la derivada ordinaria, por lo que la derivada q puede verse como su deformación q . Un gran cuerpo de resultados del cálculo diferencial ordinario, como la fórmula binomial y la expansión de Taylor , tienen q -análogos naturales que se descubrieron en el siglo XIX, pero que permanecieron relativamente oscuros durante gran parte del siglo XX, fuera de la teoría de funciones especiales . El progreso de la combinatoria y el descubrimiento de los grupos cuánticos han cambiado la situación drásticamente, y la popularidad de los q -análogos está en aumento.$${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$
• El operador de diferencia de ecuaciones de diferencia es otro análogo discreto de la derivada estándar.$${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$
• La derivada q, el operador de diferencia y la derivada estándar pueden considerarse como la misma cosa en diferentes escalas de tiempo . Por ejemplo, tomando , podemos tener La derivada q es un caso especial de la diferencia de Hahn , ^[2] La diferencia de Hahn no es solo una generalización de la derivada q sino también una extensión de la diferencia hacia adelante.${\displaystyle \varepsilon =(q-1)x}$$${\displaystyle {\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.}$$
• Observe también que la derivada q no es más que un caso especial de la derivada conocida. Tomemos . Entonces tenemos,${\displaystyle z=qx}$$${\displaystyle \lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$$

En álgebra, se pueden obtener generalizaciones de la derivada imponiendo la regla de diferenciación de Leibniz en una estructura algebraica, como un anillo o un álgebra de Lie .

Una derivación es una función lineal en un anillo o álgebra que satisface la ley de Leibniz (la regla del producto). También se pueden definir derivadas superiores y operadores diferenciales algebraicos . Se estudian en un contexto puramente algebraico en la teoría diferencial de Galois y la teoría de los módulos D , pero también aparecen en muchas otras áreas, donde a menudo coinciden con definiciones menos algebraicas de derivadas.

Por ejemplo, la derivada formal de un polinomio sobre un anillo conmutativo R se define por

${\displaystyle \left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.}$

La aplicación es entonces una derivación del anillo polinomial R [ X ]. Esta definición puede extenderse también a funciones racionales .${\displaystyle f\mapsto f'}$

La noción de derivación se aplica tanto a anillos conmutativos como no conmutativos, e incluso a estructuras algebraicas no asociativas, como las álgebras de Lie.

En la teoría de tipos , muchos tipos de datos abstractos pueden describirse como el álgebra generada por una transformación que mapea estructuras basadas en el tipo nuevamente dentro del tipo. Por ejemplo, el tipo T de árboles binarios que contienen valores de tipo A puede representarse como el álgebra generada por la transformación 1+A×T ² →T. El "1" representa la construcción de un árbol vacío y el segundo término representa la construcción de un árbol a partir de un valor y dos subárboles. El "+" indica que un árbol puede construirse de cualquier manera.

La derivada de un tipo de este tipo es el tipo que describe el contexto de una subestructura particular con respecto a su siguiente estructura externa contenedora. Dicho de otro modo, es el tipo que representa la "diferencia" entre los dos. En el ejemplo del árbol, la derivada es un tipo que describe la información necesaria, dado un subárbol particular, para construir su árbol padre. Esta información es una tupla que contiene un indicador binario de si el hijo está a la izquierda o a la derecha, el valor en el padre y el subárbol hermano. Este tipo se puede representar como 2×A×T, que se parece mucho a la derivada de la transformación que generó el tipo de árbol.

Este concepto de derivada de un tipo tiene aplicaciones prácticas, como la técnica de cremallera utilizada en lenguajes de programación funcional .

Un operador diferencial combina varias derivadas, posiblemente de diferentes órdenes, en una expresión algebraica. Esto es especialmente útil al considerar ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes. Por ejemplo, si f ( x ) es una función dos veces diferenciable de una variable, la ecuación diferencial puede reescribirse en la forma , donde es un operador diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes que actúa sobre funciones de x . La idea clave aquí es que consideramos una combinación lineal particular de derivadas de orden cero, primero y segundo "todas a la vez". Esto nos permite pensar en el conjunto de soluciones de esta ecuación diferencial como una "antiderivada generalizada" de su lado derecho 4 x  − 1, por analogía con la integración ordinaria , y escribir formalmente ${\displaystyle f''+2f'-3f=4x-1}$${\displaystyle L(f)=4x-1}$$${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3}$$$${\displaystyle f(x)=L^{-1}(4x-1).}$$

La combinación de derivadas de distintas variables da como resultado el concepto de operador diferencial parcial . El operador lineal que asigna a cada función su derivada es un ejemplo de operador diferencial en un espacio de funciones . Mediante la transformada de Fourier se pueden definir operadores pseudodiferenciales que permiten el cálculo fraccionario.

Algunos de estos operadores son tan importantes que tienen sus propios nombres:

• El operador de Laplace o Laplaciano sobre R ³ es un operador diferencial parcial de segundo orden Δ dado por la divergencia del gradiente de una función escalar de tres variables, o explícitamente como Se pueden definir operadores análogos para funciones de cualquier número de variables.$${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$
• El operador d'Alembertiano u operador de onda es similar al laplaciano, pero actúa sobre funciones de cuatro variables. Su definición utiliza el tensor métrico indefinido del espacio de Minkowski , en lugar del producto escalar euclidiano de R ³ :$${\displaystyle \square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}$$
• La derivada de Schwarz es un operador diferencial no lineal que describe cómo una función compleja se aproxima mediante una función lineal fraccionaria , de la misma manera que una derivada normal describe cómo una función se aproxima mediante una función lineal.
• Las derivadas de Wirtinger son un conjunto de operadores diferenciales que permiten la construcción de un cálculo diferencial para funciones complejas que es totalmente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales.

En el análisis funcional , la derivada funcional define la derivada con respecto a una función de un funcional en un espacio de funciones. Se trata de una extensión de la derivada direccional a un espacio vectorial de dimensión infinita . Un caso importante es la derivada variacional en el cálculo de variaciones .

La subderivada y el subgradiente son generalizaciones de la derivada a funciones convexas utilizadas en el análisis convexo.

En álgebra conmutativa , las diferenciales de Kähler son derivaciones universales de un anillo o módulo conmutativo . Se pueden utilizar para definir un análogo de la derivada exterior de la geometría diferencial que se aplica a variedades algebraicas arbitrarias , en lugar de solo a variedades suaves.

En el análisis p-ádico , la definición habitual de derivada no es lo suficientemente sólida y, en su lugar, se requiere una diferenciabilidad estricta .

La derivada de Gateaux extiende la derivada de Fréchet a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, incluso en dimensiones finitas. Entre los dos extremos se encuentra la cuasiderivada .

En la teoría de la medida , la derivada de Radon-Nikodym generaliza el jacobiano , utilizado para cambiar variables, a las medidas. Expresa una medida μ en términos de otra medida ν (en determinadas condiciones).

La derivada H es un concepto de derivada que se utiliza en el estudio de los espacios abstractos de Wiener y del cálculo de Malliavin . Se utiliza en el estudio de los procesos estocásticos .

Los laplacianos y las ecuaciones diferenciales que utilizan el laplaciano se pueden definir en fractales . No existe un análogo completamente satisfactorio de la derivada de primer orden o del gradiente. ^[3]

La derivada de Carlitz es una operación similar a la diferenciación habitual pero con el contexto habitual de números reales o complejos cambiados a cuerpos locales de característica positiva en la forma de serie de Laurent formal con coeficientes en algún cuerpo finito F _q (se sabe que cualquier cuerpo local de característica positiva es isomorfo a un cuerpo de serie de Laurent). Junto con análogos adecuadamente definidos para la función exponencial , logaritmos y otros, la derivada se puede utilizar para desarrollar nociones de suavidad, analicidad, integración, serie de Taylor, así como una teoría de ecuaciones diferenciales. ^[4]

Es posible combinar dos o más de las nociones anteriores de extensión o abstracción de la derivada original. Por ejemplo, en la geometría de Finsler se estudian espacios que se parecen localmente a los espacios de Banach . Por lo tanto, se podría querer una derivada con algunas de las características de una derivada funcional y de la derivada covariante .

El cálculo multiplicativo reemplaza la suma por la multiplicación y, por lo tanto, en lugar de tratar el límite de una razón de diferencias, trata el límite de una potenciación de razones. Esto permite el desarrollo de la derivada geométrica y la derivada bigeométrica. Además, al igual que el operador diferencial clásico tiene un análogo discreto, el operador de diferencia, también existen análogos discretos de estas derivadas multiplicativas .

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