Regla integral de Leibniz

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v t e

En cálculo , la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral, llamada así en honor a Gottfried Wilhelm Leibniz , establece que para una integral de la forma donde y los integrandos son funciones dependientes de la derivada de esta integral se puede expresar como donde la derivada parcial indica que dentro de la integral, solo se considera la variación de con al tomar la derivada. ^[1]$${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x}$

En el caso especial donde las funciones y son constantes y con valores que no dependen de esto se simplifica a:${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle a(x)=a}$${\displaystyle b(x)=b}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

Si es constante y , que es otra situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración repetida de Cauchy ), la regla integral de Leibniz se convierte en:${\displaystyle a(x)=a}$${\displaystyle b(x)=x}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$$

Este importante resultado puede, bajo ciertas condiciones, usarse para intercambiar los operadores diferenciales integrales y parciales , y es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de esto es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que puede diferenciarse para generar los momentos de una variable aleatoria . Si la regla integral de Leibniz se aplica o no es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .

El lado derecho también puede escribirse utilizando la notación de Lagrange como:${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Las versiones más fuertes del teorema solo requieren que la derivada parcial exista casi en todas partes , y no que sea continua. ^[2] Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar utilizando el teorema fundamental del cálculo . El (primer) teorema fundamental del cálculo es solo el caso particular de la fórmula anterior donde es constante y no depende de${\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle b(x)=x,}$${\displaystyle f(x,t)=f(t)}$${\displaystyle x.}$

Si se toman como constantes tanto los límites superior como inferior, la fórmula adopta la forma de una ecuación de operador : donde es la derivada parcial con respecto a y es el operador integral con respecto a en un intervalo fijo . Es decir, está relacionada con la simetría de las derivadas segundas , pero involucra integrales además de derivadas. Este caso también se conoce como la regla integral de Leibniz.$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$$${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$${\displaystyle t}$

Los siguientes tres teoremas básicos sobre el intercambio de límites son esencialmente equivalentes:

• el intercambio de una derivada y una integral (diferenciación bajo el signo integral; es decir, regla integral de Leibniz);
• el cambio de orden de las derivadas parciales;
• el cambio de orden de integración (integración bajo el signo integral; es decir, teorema de Fubini ).

Una regla integral de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en un espacio tridimensional es ^{[3] [4]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$$

dónde:

• F ( r , t ) es un campo vectorial en la posición espacial r en el tiempo t ,
• Σ es una superficie limitada por la curva cerrada ∂Σ ,
• d A es un elemento vectorial de la superficie Σ ,
• d s es un elemento vectorial de la curva ∂Σ ,
• v es la velocidad de movimiento de la región Σ ,
• ∇⋅ es la divergencia vectorial ,
• × es el producto vectorial ,
• Las integrales dobles son integrales de superficie sobre la superficie Σ , y la integral de línea es sobre la curva límite ∂Σ .

La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla es más conocida en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema de transporte de Reynolds :$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$$

donde es una función escalar, D ( t ) y ∂ D ( t ) denotan una región conectada que varía en el tiempo de R ³ y su límite, respectivamente, es la velocidad euleriana del límite (ver coordenadas lagrangianas y eulerianas ) y d Σ = n dS es el componente normal unitario del elemento de superficie .${\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{b}}$

El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial , específicamente formas diferenciales , derivadas exteriores , productos de cuña y productos interiores . Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es ^[4] donde Ω( t ) es un dominio de integración variable en el tiempo, ω es una p -forma, es el campo vectorial de la velocidad, denota el producto interior con , d _x ω es la derivada exterior de ω con respecto a las variables espaciales solamente y es la derivada temporal de ω .$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}$${\displaystyle i_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

La fórmula anterior se puede deducir directamente del hecho de que la derivada de Lie interactúa bien con la integración de formas diferenciales para la variedad espaciotemporal , donde la derivada exterior del espaciotiempo de es y la superficie tiene un campo de velocidad del espaciotiempo . Como solo tiene componentes espaciales, la derivada de Lie se puede simplificar utilizando la fórmula mágica de Cartan , que, después de integrar sobre y utilizar el teorema de Stokes generalizado en el segundo término, se reduce a los tres términos deseados.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$$${\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega }$${\displaystyle \Omega (t)}$${\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}}$$${\displaystyle \Omega (t)}$

Sea un subconjunto abierto de , y un espacio de medida . Supongamos que cumple las siguientes condiciones: ^{[5] [6] [2]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }$

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$es una función integrable de Lebesgue de para cada .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x\in X}$
2. Para casi todos , la derivada parcial existe para todos .${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle x\in X}$
3. Existe una función integrable tal que para todo y casi todo .${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Entonces, para todos ,${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$$

La prueba se basa en el teorema de convergencia dominada y el teorema del valor medio (detalles a continuación).

Primero demostramos el caso de límites de integración constantes a y b .

Utilizamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada x y h , tales que h > 0 y tanto x como x + h están dentro de [ x ₀ , x ₁ ] , tenemos:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

Nótese que las integrales en cuestión están bien definidas ya que es continua en el rectángulo cerrado y, por lo tanto, también uniformemente continua allí; por lo tanto, sus integrales por dt o dx son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente, esto se debe a que para funciones uniformemente continuas, uno puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica a continuación).${\displaystyle f_{x}(x,t)}$${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$

Por lo tanto:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}$$

Donde hemos definido: (podemos reemplazar x ₀ aquí por cualquier otro punto entre x ₀ y x )$${\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$

F es diferenciable con derivada , por lo que podemos tomar el límite donde h tiende a cero. Para el lado izquierdo, este límite es:${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Para el lado derecho, obtenemos: Y así demostramos el resultado deseado:$${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue , podemos utilizar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para las integrales de Riemann ) para demostrar que el límite puede pasar por el signo de la integral.

Obsérvese que esta prueba es más débil en el sentido de que sólo muestra que f _x ( x , t ) es integrable según Lebesgue, pero no que es integrable según Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f ( x , t ) es integrable según Riemann, entonces también lo es f _x ( x , t ) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable según Lebesgue).

Dejar

$${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.}$$

( 1 )

Por la definición de la derivada,

$${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}$$

( 2 )

Sustituya la ecuación ( 1 ) en la ecuación ( 2 ). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia y 1/ h es una constante, por lo que$${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora demostramos que el límite puede pasar por el signo integral.

Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido por el teorema de convergencia acotada (un corolario del teorema de convergencia dominada ). Para cada δ > 0, considérese el cociente de diferencias Para t fijo, el teorema del valor medio implica que existe z en el intervalo [ x , x + δ ] tal que La continuidad de f _x ( x , t ) y la compacidad del dominio juntas implican que f _x ( x , t ) está acotado. La aplicación anterior del teorema del valor medio da por tanto un límite uniforme (independiente de ) en . Los cocientes de diferencias convergen puntualmente a la derivada parcial f _x suponiendo que la derivada parcial existe.$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$

El argumento anterior muestra que para cada secuencia { δ _n } → 0, la secuencia está uniformemente acotada y converge puntualmente a f _x . El teorema de convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medida finita está uniformemente acotada y converge puntualmente, entonces el paso del límite por debajo de la integral es válido. En particular, el límite y la integral pueden intercambiarse para cada secuencia { δ _n } → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 puede pasarse por el signo de la integral. ${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$

Si en cambio sólo sabemos que existe una función integrable tal que , entonces y el teorema de convergencia dominada nos permite mover el límite dentro de la integral.${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$${\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}$

Para una función continua de valor real g de una variable real , y funciones diferenciables de valor real y de una variable real, ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Esto se desprende de la regla de la cadena y del primer teorema fundamental del cálculo . Defina y (el límite inferior solo tiene que ser un número en el dominio de )$${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$${\displaystyle g}$

Entonces, se puede escribir como una composición : . La regla de la cadena implica que Por el primer teorema fundamental del cálculo , . Por lo tanto, sustituyendo este resultado anterior, obtenemos la ecuación deseada:${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$$${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$$${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Nota: Esta forma puede ser particularmente útil si la expresión a diferenciar tiene la forma: Debido a que no depende de los límites de integración, se puede sacar de debajo del signo integral, y la forma anterior se puede usar con la regla del producto , es decir,$${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}$$${\displaystyle h(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}$$

Conjunto donde a y b son funciones de α que presentan incrementos Δ a y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Entonces,$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio , , donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integral de la fórmula para Δ φ anterior, lo que da como resultado${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Dividamos por Δ α y sea Δ α → 0. Nótese que ξ ₁ → a y ξ ₂ → b . Podemos pasar el límite por el signo integral: nuevamente por el teorema de convergencia acotada. Esto produce la forma general de la regla integral de Leibniz,$${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

La forma general de la regla integral de Leibniz con límites variables se puede derivar como consecuencia de la forma básica de la regla integral de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo . Supóngase que está definida en un rectángulo en el plano, para y . Además, supóngase que y la derivada parcial son ambas funciones continuas en este rectángulo. Supóngase que son funciones diferenciables con valores reales definidas en , con valores en (es decir, para cada ). Ahora, establezcamos y ${\displaystyle f}$${\displaystyle x-t}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle f}$${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$$${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$$${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

Entonces, por propiedades de las integrales definidas , podemos escribir$${\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}$$

Puesto que todas las funciones son diferenciables (véase la observación al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable , se deduce que es diferenciable, y su derivada está dada por la fórmula: Ahora, note que para cada , y para cada , tenemos que , porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , mantenemos fijo en la expresión ; por lo tanto, se aplica la forma básica de la Regla Integral de Leibniz con límites de integración constantes. Luego, por el primer teorema fundamental del cálculo , tenemos que ; porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , la primera variable es fija, por lo que el teorema fundamental puede efectivamente aplicarse.${\displaystyle F,a,b}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

Sustituyendo estos resultados en la ecuación anterior obtenemos: como se desea.${\displaystyle G'(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$

Hay un punto técnico en la prueba anterior que vale la pena señalar: aplicar la regla de la cadena a requiere que ya sea diferenciable . Aquí es donde usamos nuestras suposiciones sobre . Como se mencionó anteriormente, las derivadas parciales de están dadas por las fórmulas y . Como es continua, su integral también es una función continua, ^[7] y como también es continua, estos dos resultados muestran que ambas derivadas parciales de son continuas. Dado que la continuidad de las derivadas parciales implica la diferenciabilidad de la función, ^[8] es de hecho diferenciable.${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

En el instante t la superficie Σ en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide . La función puede escribirse como con independiente del tiempo. Las variables se desplazan a un nuevo marco de referencia unido a la superficie en movimiento, con origen en . Para una superficie que se traslada rígidamente, los límites de integración son entonces independientes del tiempo, por lo que: donde los límites de integración que confinan la integral a la región Σ ya no dependen del tiempo, por lo que la diferenciación pasa por la integración para actuar solo sobre el integrando: con la velocidad de movimiento de la superficie definida por${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas unido a la superficie en movimiento. Una vez hallada la derivada, las variables pueden volver al marco de referencia original. Observamos que (véase el artículo sobre el rotacional ) y que el teorema de Stokes iguala la integral de superficie del rotacional sobre Σ con una integral de línea sobre ∂Σ :$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea d s . Para establecer este signo, por ejemplo, supongamos que el campo F apunta en la dirección z positiva , y la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva . El recorrido positivo de ∂Σ es entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z ). Entonces, la integral en el lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Supongamos que Σ se traslada en la dirección x positiva a la velocidad v . Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y , digamos d s , barre un área v t × d s en el tiempo t . Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, v t × d s apunta en la dirección z negativa en el lado izquierdo de ∂Σ (donde d s apunta hacia abajo), y en la dirección z positiva en el lado derecho de ∂Σ (donde d s apunta hacia arriba), lo que tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s . En consecuencia, el signo de la integral de línea se toma como negativo.

Si v es una constante, cuál es el resultado citado. Esta prueba no considera la posibilidad de que la superficie se deforme al moverse.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$

Lema. Uno tiene:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

Demostración. A partir de la demostración del teorema fundamental del cálculo ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}$$y$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

Supóngase que a y b son constantes, y que f ( x ) implica un parámetro α que es constante en la integración pero puede variar para formar integrales diferentes. Supóngase que f ( x , α ) es una función continua de x y α en el conjunto compacto {( x , α ) : α ₀ ≤ α ≤ α ₁ y a ≤ x ≤ b }, y que la derivada parcial f _α ( x , α ) existe y es continua. Si se define: entonces se puede diferenciar con respecto a α diferenciando bajo el signo integral, es decir,$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Por el teorema de Heine-Cantor es uniformemente continua en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δ α tal que para todos los valores de x en [ a , b ],$${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

Por otro lado,$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, φ ( α ) es una función continua.

De manera similar, si existe y es continua, entonces para todo ε > 0 existe Δ α tal que:${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$$${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

Por lo tanto, donde$${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$$${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

Ahora, ε → 0 como Δ α → 0, entonces$${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Ésta es la fórmula que nos propusimos demostrar.

Ahora, supongamos que a y b son funciones de α que toman incrementos Δ a y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Entonces,$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio , donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integral de la fórmula para Δ φ anterior, lo que da como resultado${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Dividiendo por Δ α , dejando Δ α → 0, notando ξ ₁ → a y ξ ₂ → b y usando la derivación anterior para los rendimientos$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.

Considere la función$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$$

La función bajo el signo integral no es continua en el punto ( x , α ) = (0, 0), y la función φ ( α ) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ ( α ) se acerca a ± π /2 cuando α → 0 ^± .

Si diferenciamos φ ( α ) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos para α ≠0. Esto se puede integrar (con respecto a α ) para encontrar$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$$${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$