Derivada de Schwarz

En matemáticas , la derivada de Schwarz es un operador similar a la derivada que es invariante bajo las transformaciones de Möbius . Así, aparece en la teoría de la recta proyectiva compleja , y en particular, en la teoría de las formas modulares y de las funciones hipergeométricas . Desempeña un papel importante en la teoría de funciones univalentes , aplicaciones conformes y espacios de Teichmüller . Recibe su nombre en honor al matemático alemán Hermann Schwarz .

La derivada schwarziana de una función holomorfa f de una variable compleja z se define por

${\displaystyle (Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

La misma fórmula también define la derivada schwarziana de una función C ³ de una variable real . La notación alternativa

${\displaystyle \{f,z\}=(Sf)(z)}$

Se utiliza con frecuencia.

La derivada schwarziana de cualquier transformación de Möbius

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

es cero. Por el contrario, las transformaciones de Möbius son las únicas funciones con esta propiedad. Por lo tanto, la derivada de Schwarz mide con precisión el grado en el que una función no es una transformación de Möbius. ^[1]

Si g es una transformación de Möbius, entonces la composición g  o  f tiene la misma derivada schwarziana que f ; y por otro lado, la derivada schwarziana de f  o  g está dada por la regla de la cadena

${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$

De manera más general, para cualquier función suficientemente diferenciable f y g

${\displaystyle S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$

Cuando f y g son funciones reales suaves, esto implica que todas las iteraciones de una función con schwarziano negativo (o positivo) seguirán siendo negativas (resp. positivas), un hecho útil en el estudio de la dinámica unidimensional . ^[2]

Introducción de la función de dos variables complejas ^[3]

${\displaystyle F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw}}\right),}$

Su segunda derivada parcial mixta está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}},}$

y la derivada de Schwarz viene dada por la fórmula:

${\displaystyle (Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \sobre \parcial z\,\parcial w}\right\vert _{z=w}.}$

La derivada de Schwarz tiene una fórmula de inversión simple, que intercambia las variables dependiente e independiente.

${\displaystyle (Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)}$

o más explícitamente, . Esto se desprende de la regla de la cadena anterior.${\displaystyle Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0}$

William Thurston interpreta la derivada de Schwarz como una medida de cuánto se desvía un mapa conforme de una transformación de Möbius . ^[1] Sea un mapa conforme en un entorno de Entonces existe una transformación de Möbius única tal que tiene las mismas derivadas de orden 0, 1, 2 en${\estilo de visualización f}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} .}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M,f}$${\displaystyle z_{0}.}$

Ahora, para resolver explícitamente, es suficiente resolver el caso de Sea y resolver para que los primeros tres coeficientes de sean iguales a Reemplazandolo en el cuarto coeficiente, obtenemos .${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z-z_{0})=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}a(z -z_{0})^{3}+\cdots.}$${\estilo de visualización a,}$${\displaystyle z_{0}=0.}$${\displaystyle M^{-1}(z)={}}$${\displaystyle (Az+B)/(Cz+1),}$${\estilo de visualización A, B, C}$$Estilo de visualización M-1$${\estilo de visualización 0,1,0.}$${\displaystyle a=(Sf)(z_{0})}$

Después de una traslación, rotación y escala del plano complejo, en un entorno de cero, hasta el tercer orden, esta función asigna el círculo de radio a la curva paramétrica definida por donde Esta curva es, hasta el cuarto orden, una elipse con semiejes y :${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z)={}}$${\displaystyle z+z^{3}+O(z^{4})}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle (r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta ,r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta ),}$${\displaystyle \theta \en [0,2\pi ].}$${\estilo de visualización r+r^{3}}$${\displaystyle |rr^{3}|}$

$${\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta )^{2}}{(r+r^{3})^{2} }}+{\frac {(r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )^{2}}{(rr^{3})^{2}}}&={\frac { 1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})}{(1-r^{4})^{2}}}\\[5mu]& \rightarrow 1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})\end{aligned}}}$$

como${\displaystyle r\rightarrow 0.}$

Dado que las transformaciones de Möbius siempre asignan círculos a círculos o líneas, la excentricidad mide la desviación de una transformada de Möbius.${\estilo de visualización f}$

Considérese la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden donde es una función de valor real de un parámetro real . Sea , el espacio bidimensional de soluciones. Para , sea la función de evaluación . La función da, para cada punto del dominio de , un subespacio lineal unidimensional de . Es decir, el núcleo define una aplicación de la línea real a la línea proyectiva real . El Schwarziano de esta aplicación está bien definido y, de hecho, es igual a (Ovsienko & Tabachnikov 2005).$${\displaystyle x''(t)+p(t)x(t)=0}$$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle t\in \mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}(x)=x(t)}$${\displaystyle t\mapsto \nombreoperador {ker} (\nombreoperador {ev} _{t})}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización 2p(t)}$

Debido a esta interpretación del schwarziano, si dos difeomorfismos de un intervalo abierto común en tienen el mismo schwarziano, entonces están relacionados (localmente) por un elemento del grupo lineal general que actúa sobre el espacio vectorial bidimensional de soluciones de la misma ecuación diferencial, es decir, una transformación lineal fraccionaria de .${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$

Alternativamente, considere la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden en el plano complejo ^[4]

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.}$

Sean y dos soluciones holomorfas linealmente independientes . Entonces la relación satisface$Estilo de visualización f_{1}(z)$$Estilo de visualización f_{2}(z)}$ ${\displaystyle g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)}$

${\displaystyle (Sg)(z)=2Q(z)}$

sobre el dominio en el que están definidos y , y La inversa también es cierta: si tal g existe, y es holomorfa en un dominio simplemente conexo , entonces se pueden encontrar dos soluciones y , y además, estas son únicas hasta un factor de escala común.$Estilo de visualización f_{1}(z)$$Estilo de visualización f_{2}(z)}$${\displaystyle f_{2}(z)\neq 0.}$$estilo de visualización f_{1}}$$estilo de visualización f_{2}}$

Cuando una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede llevarse a la forma anterior, la Q resultante a veces se denomina valor Q de la ecuación.

Nótese que la ecuación diferencial hipergeométrica gaussiana se puede llevar a la forma anterior y, por lo tanto, los pares de soluciones de la ecuación hipergeométrica se relacionan de esta manera.

Si f es una función holomorfa en el disco unitario, D , entonces W. Kraus (1932) y Nehari (1949) demostraron que una condición necesaria para que f sea univalente es ^[5]

${\displaystyle |S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.}$

Por el contrario, si f ( z ) es una función holomorfa en D que satisface

${\displaystyle |S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},}$

Luego Nehari demostró que f es univalente. ^[6]

En particular, una condición suficiente para la univalencia es ^[7]

${\displaystyle |S(f)|\leq 2.}$

La derivada de Schwarz y la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden asociada se pueden utilizar para determinar la función de Riemann entre el semiplano superior o círculo unitario y cualquier polígono acotado en el plano complejo, cuyos bordes sean arcos circulares o líneas rectas. Para polígonos con bordes rectos, esto se reduce a la función de Schwarz-Christoffel , que se puede derivar directamente sin utilizar la derivada de Schwarz. Los parámetros accesorios que surgen como constantes de integración están relacionados con los valores propios de la ecuación diferencial de segundo orden. Ya en 1890 Felix Klein había estudiado el caso de los cuadriláteros en términos de la ecuación diferencial de Lamé . ^{[8] [9] [10]}

Sea Δ un polígono de arco circular con ángulos en el sentido de las agujas del reloj. Sea f  : H → Δ una función holomorfa que se extiende de forma continua hasta una función entre los límites. Sea que los vértices correspondan a puntos en el eje real. Entonces p ( x ) = S ( f )( x ) tiene un valor real cuando x es real y diferente de todos los puntos a _i . Por el principio de reflexión de Schwarz p ( x ) se extiende a una función racional en el plano complejo con un polo doble en a _i :${\displaystyle \pi \alpha _{1},\ldots ,\pi \alpha _{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha _{i}^{2})}{2(z-a_{i})^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.}$

Los números reales β _i se denominan parámetros accesorios y están sujetos a tres restricciones lineales:

${\displaystyle \sum \beta _{i}=0}$

${\displaystyle \sum 2a_{i}\beta _{i}+\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

que corresponden a la desaparición de los coeficientes de y en la expansión de p ( z ) alrededor de z = ∞ . La aplicación f ( z ) puede entonces escribirse como${\displaystyle z^{-1},z^{-2}}$${\displaystyle z^{-3}}$

${\displaystyle f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},}$

donde y son soluciones holomorfas linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden${\displaystyle u_{1}(z)}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

${\displaystyle u^{\prime \prime }(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.}$

Hay n −3 parámetros accesorios linealmente independientes, que pueden ser difíciles de determinar en la práctica.

Para un triángulo, cuando n = 3 , no hay parámetros accesorios. La ecuación diferencial ordinaria es equivalente a la ecuación diferencial hipergeométrica y f ( z ) es la función del triángulo de Schwarz , que puede escribirse en términos de funciones hipergeométricas .

Para un cuadrilátero los parámetros accesorios dependen de una variable independiente  λ . Escribiendo U ( z ) = q ( z ) u ( z ) para una elección adecuada de q ( z ) , la ecuación diferencial ordinaria toma la forma

${\displaystyle a(z)U^{\prime \prime }(z)+b(z)U^{\prime }(z)+(c(z)+\lambda )U(z)=0.}$

Por lo tanto, las funciones propias de una ecuación de Sturm-Liouville son funciones propias en el intervalo . Según el teorema de separación de Sturm , la no desaparición de las fuerzas λ es el valor propio más bajo.${\displaystyle q(z)u_{i}(z)}$${\displaystyle [a_{i},a_{i+1}]}$${\displaystyle u_{2}(z)}$

El espacio universal de Teichmüller se define como el espacio de aplicaciones cuasiconformales analíticas reales del disco unidad D , o equivalentemente el semiplano superior H , sobre sí mismo, considerándose dos aplicaciones equivalentes si en el límite una se obtiene de la otra por composición con una transformación de Möbius . Identificando D con el hemisferio inferior de la esfera de Riemann , cualquier autoaplicación cuasiconforme f del hemisferio inferior corresponde naturalmente a una aplicación conforme del hemisferio superior sobre sí mismo. De hecho se determina como la restricción al hemisferio superior de la solución de la ecuación diferencial de Beltrami ${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},}$

donde μ es la función medible acotada definida por

${\displaystyle \mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

en el hemisferio inferior, extendido a 0 en el hemisferio superior.

Al identificar el hemisferio superior con D , Lipman Bers utilizó la derivada de Schwarz para definir una función

${\displaystyle g=S({\tilde {f}}),}$

que incorpora el espacio universal de Teichmüller en un subconjunto abierto U del espacio de funciones holomorfas acotadas g en D con la norma uniforme . Frederick Gehring demostró en 1977 que U es el interior del subconjunto cerrado de las derivadas schwarzianas de funciones univalentes. ^{[11] [12] [13]}

Para una superficie compacta de Riemann S de género mayor que 1, su espacio de recubrimiento universal es el disco unidad D sobre el que actúa su grupo fundamental Γ por transformaciones de Möbius. El espacio de Teichmüller de S puede identificarse con el subespacio del espacio de Teichmüller universal invariante bajo Γ . Las funciones holomorfas g tienen la propiedad de que

${\displaystyle g(z)\,dz^{2}}$

es invariante bajo Γ , por lo que se determinan diferenciales cuadráticas en S . De esta manera, el espacio de Teichmüller de S se realiza como un subespacio abierto del espacio vectorial complejo de dimensión finita de diferenciales cuadráticas en S .

La propiedad de transformación

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$

permite interpretar la derivada de Schwarziana como un 1-cociclo continuo o un homomorfismo cruzado del grupo de difeomorfismos del círculo con coeficientes en el módulo de densidades de grado 2 en el círculo. ^[14] Sea F _λ ( S ¹ ) el espacio de densidades tensoriales de grado λ en S ¹ . El grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ , Diff( S ¹ ) , actúa sobre F _λ ( S ¹ ) mediante empujes hacia delante . Si f es un elemento de Diff( S ¹ ) entonces considere la aplicación

${\displaystyle f\to S(f^{-1}).}$

En el lenguaje de la cohomología de grupos, la regla de tipo cadena anterior dice que esta aplicación es un 1-cociclo en Diff( S ¹ ) con coeficientes en F ₂ ( S ¹ ) . De hecho

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} }$

y el 1-cociclo que genera la cohomología es f → S ( f ⁻¹ ) . El cálculo de la 1-cohomología es un caso particular del resultado más general

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \,\,\mathrm {for} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {and} \,\,(0)\,\,\mathrm {otherwise.} }$

Nótese que si G es un grupo y M un G -módulo, entonces la identidad que define un homomorfismo cruzado c de G en M puede expresarse en términos de homomorfismos estándar de grupos: está codificada en un homomorfismo 𝜙 de G en el producto semidirecto tal que la composición de 𝜙 con la proyección sobre G es la función identidad; la correspondencia es mediante la función C ( g ) = ( c ( g ), g ) . Los homomorfismos cruzados forman un espacio vectorial y que contiene como subespacio los homomorfismos cruzados colímite b ( g ) = g ⋅ m − m para m en M . Un argumento de promedio simple muestra que, si K es un grupo compacto y V un espacio vectorial topológico en el que K actúa continuamente, entonces los grupos de cohomología superiores se anulan H ^m ( K , V ) = (0) para m > 0 . En particular para 1-cociclos χ con${\displaystyle M\rtimes G}$${\displaystyle M\rtimes G}$

${\displaystyle \chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),}$

promediando sobre y , utilizando el invariante izquierdo de la medida de Haar en K se obtiene

${\displaystyle \chi (x)=m-x\cdot m,}$

con

${\displaystyle m=\int _{K}\chi (y)\,dy.}$

Así, al promediar, se puede suponer que c satisface la condición de normalización c ( x ) = 0 para x en Rot( S ¹ ) . Nótese que si cualquier elemento x en G satisface c ( x ) = 0 entonces C ( x ) = (0, x ) . Pero entonces, dado que C es un homomorfismo, C ( xgx ⁻¹ ) = C ( x ) C ( g ) C ( x ) ⁻¹ , de modo que c satisface la condición de equivarianza c ( xgx ⁻¹ ) =  x  ⋅  c ( g ) . Por lo tanto, se puede suponer que el cociclo satisface estas condiciones de normalización para Rot( S ¹ ) . De hecho, la derivada de Schwarz se desvanece siempre que x sea una transformación de Möbius correspondiente a SU(1,1) . Los otros dos ciclos 1 analizados a continuación se desvanecen solo en Rot( S ¹ ) ( λ  = 0, 1) .

Existe una versión infinitesimal de este resultado que da un 1-cociclo para Vect( S ¹ ) , el álgebra de Lie de cuerpos vectoriales suaves y, por lo tanto, para el álgebra de Witt , la subálgebra de cuerpos vectoriales polinómicos trigonométricos. De hecho, cuando G es un grupo de Lie y la acción de G sobre M es suave, existe una versión algebraica de Lie del homomorfismo cruzado que se obtiene tomando los homomorfismos correspondientes de las álgebras de Lie (las derivadas de los homomorfismos en la identidad). Esto también tiene sentido para Diff( S ¹ ) y conduce al 1-cociclo

${\displaystyle s\left(f\,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}}\,(d\theta )^{2}}$

que satisface la identidad

${\displaystyle s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).}$

En el caso del álgebra de Lie, las aplicaciones de colímites tienen la forma b ( X ) = X ⋅ m para m en M . En ambos casos, la 1-cohomología se define como el espacio de homomorfismos cruzados módulo colímites. La correspondencia natural entre homomorfismos de grupo y homomorfismos del álgebra de Lie conduce a la "aplicación de inclusión de van Est"

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),}$

De esta manera, el cálculo puede reducirse al de la cohomología del álgebra de Lie . Por continuidad, esto se reduce al cálculo de homomorfismos cruzados 𝜙 del álgebra de Witt en F _λ ( S ¹ ) . Las condiciones de normalización en el homomorfismo cruzado de grupo implican las siguientes condiciones adicionales para 𝜙:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0}$

para x en Rot( S ¹ ) .

Siguiendo las convenciones de Kac y Raina (1987), una base del álgebra de Witt está dada por

${\displaystyle d_{n}=ie^{in\theta }\,{d \over d\theta }}$

de modo que [ d _m , d _n ] = ( m – n ) d _{m + n} . Una base para la complejización de F _λ ( S ¹ ) viene dada por

${\displaystyle v_{n}=e^{in\theta }\,(d\theta )^{\lambda },}$

de modo que

${\displaystyle d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta }\cdot v_{n}=\zeta ^{n}v_{n},}$

para g _ζ en Rot( S ¹ ) = T . Esto fuerza a 𝜙( d _n ) = a _n ⋅ v _n para coeficientes adecuados a _n . La condición de homomorfismo cruzado 𝜙([ X , Y ]) = X 𝜙( Y ) – Y 𝜙( X ) da una relación de recurrencia para a _n :

${\displaystyle (m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.}$

La condición 𝜙( d / d θ) = 0 , implica que a ₀ = 0 . De esta condición y la relación de recurrencia, se sigue que hasta múltiplos escalares, esto tiene una única solución distinta de cero cuando λ es igual a 0, 1 o 2 y solo la solución cero en caso contrario. La solución para λ = 1 corresponde al 1-cociclo del grupo . La solución para λ = 0 corresponde al 1-cociclo del grupo 𝜙 ₀ ( f ) = log  f' . Los 1-cociclos del álgebra de Lie correspondientes para λ = 0, 1, 2 se dan hasta un múltiplo escalar por${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }\,d\theta }$

${\displaystyle \varphi _{\lambda }\left(F{d \over d\theta }\right)={d^{\lambda +1}F \over d\theta ^{\lambda +1}}\,(d\theta )^{\lambda }.}$

Los homomorfismos cruzados dan lugar a su vez a la extensión central de Diff( S ¹ ) y de su álgebra de Lie Vect( S ¹ ) , la llamada álgebra de Virasoro .

El grupo Diff( S ¹ ) y su extensión central también aparecen de forma natural en el contexto de la teoría de Teichmüller y la teoría de cuerdas . ^[15] De hecho, los homeomorfismos de S ¹ inducidos por automapas cuasiconformales de D son precisamente los homeomorfismos cuasisimétricos de S ¹ ; estos son exactamente homeomorfismos que no envían cuatro puntos con razón cruzada 1/2 a puntos con razón cruzada cercana a 1 o 0. Tomando valores de contorno, el Teichmüller universal puede identificarse con el cociente del grupo de homeomorfismos cuasisimétricos QS( S ¹ ) por el subgrupo de transformaciones de Möbius Moeb( S ¹ ) . (También puede realizarse de forma natural como el espacio de cuasicirírculos en C .) Puesto que

${\displaystyle \operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})}$

El espacio homogéneo Diff( S ¹ )/Moeb( S ¹ ) es naturalmente un subespacio del espacio universal de Teichmüller. También es naturalmente una variedad compleja y esta y otras estructuras geométricas naturales son compatibles con las del espacio de Teichmüller. El dual del álgebra de Lie de Diff( S ¹ ) puede identificarse con el espacio de operadores de Hill en S ¹

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),}$

y la acción coadjunta de Diff( S ¹ ) invoca la derivada de Schwarz. La inversa del difeomorfismo f envía el operador de Hill a

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2}\,q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).}$

La derivada de Schwarz y el otro 1-cociclo definido en Diff( S ¹ ) pueden extenderse a biholomorfos entre conjuntos abiertos en el plano complejo. En este caso, la descripción local conduce a la teoría de pseudogrupos analíticos , formalizando la teoría de grupos de dimensión infinita y álgebras de Lie estudiadas por primera vez por Élie Cartan en la década de 1910. Esto está relacionado con las estructuras afines y proyectivas en superficies de Riemann, así como con la teoría de conexiones schwarzianas o proyectivas, discutidas por Gunning, Schiffer y Hawley.

Un pseudogrupo holomorfo Γ en C consiste en una colección de biholomorfismos f entre conjuntos abiertos U y V en C que contiene las funciones identidad para cada abierto U , que es cerrado bajo restricción a abiertos, que es cerrado bajo composición (cuando es posible), que es cerrado bajo toma de inversas y tal que si un biholomorfismo está localmente en Γ , entonces también está en Γ . Se dice que el pseudogrupo es transitivo si, dados z y w en C , hay un biholomorfismo f en Γ tal que f ( z ) = w . Un caso particular de pseudogrupos transitivos son aquellos que son planos , es decir, contienen todas las traslaciones complejas T _b ( z ) = z + b . Sea G el grupo, bajo composición, de transformaciones formales de series de potencias F (z) = a ₁ z + a ₂ z ² + .... con a ₁ ≠ 0 . Un pseudogrupo holomorfo Γ define un subgrupo A de G , es decir, el subgrupo definido por la expansión en serie de Taylor alrededor de 0 (o "jet" ) de elementos f de Γ con f (0) = 0 . A la inversa, si Γ es plano, está determinado de forma única por A : un biholomorfismo f en U está contenido en Γ en si y solo si la serie de potencias de T _{– f ( a )} ∘ f ∘ T _a se encuentra en A para cada a en U : en otras palabras, la serie de potencias formal para f en a está dada por un elemento de A con z reemplazado por z − a ; o, más brevemente, todos los jets de f se encuentran en A . ^[16]

El grupo G tiene un homomorfismo natural sobre el grupo G _k de k -jets obtenido al tomar la serie de potencias truncadas tomada hasta el término z ^k . Este grupo actúa fielmente sobre el espacio de polinomios de grado k (truncando términos de orden superior a k ). Los truncamientos definen de manera similar homomorfismos de G _k sobre G _{k − 1} ; el núcleo consiste en funciones f con f ( z ) = z + bz ^k , por lo que es abeliano. Por lo tanto, el grupo G _k es resoluble, un hecho que también es claro por el hecho de que está en forma triangular para la base de monomios.

Se dice que un pseudogrupo plano Γ está "definido por ecuaciones diferenciales" si hay un entero finito k tal que el homomorfismo de A en G _k es fiel y la imagen es un subgrupo cerrado. Se dice que el k más pequeño de esos es del orden de Γ . Existe una clasificación completa de todos los subgrupos A que surgen de esta manera que satisfacen los supuestos adicionales de que la imagen de A en G _k es un subgrupo complejo y que G ₁ es igual a C * : esto implica que el pseudogrupo también contiene las transformaciones de escala S _a ( z ) = az para a ≠ 0 , es decir, contiene A contiene cada polinomio az con a ≠ 0 .

Las únicas posibilidades en este caso son que k = 1 y A = { az : a ≠ 0 }; o que k = 2 y A = { az /(1− bz ) : a ≠ 0} . El primero es el pseudogrupo definido por el subgrupo afín del grupo complejo de Möbius (las transformaciones az + b fijan ∞ ); el segundo es el pseudogrupo definido por todo el grupo complejo de Möbius.

Esta clasificación puede reducirse fácilmente a un problema algebraico de Lie, ya que el álgebra de Lie formal de G consiste en campos vectoriales formales F ( z ) d / dz con F una serie de potencias formales. Contiene los campos de vectores polinómicos con base d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ 0) , que es una subálgebra del álgebra de Witt. Los corchetes de Lie están dados por [ d _m , d _n ] = ( n − m ) d _{m + n} . Nuevamente, estos actúan sobre el espacio de polinomios de grado ≤ k por diferenciación (puede identificarse con C [[ z ]]/( z ^{k +1} ) ) y las imágenes de d ₀ , ..., d _{k – 1} dan una base del álgebra de Lie de G _k . Nótese que Ad( S _a ) d _n = a ^{– n} d _n . Sea A el álgebra de Lie de A : es isomorfa a una subálgebra del álgebra de Lie de G _k . Contiene d ₀ y es invariante bajo Ad( S _a ) . Puesto que es una subálgebra de Lie del álgebra de Witt, la única posibilidad es que tenga base d ₀ o base d ₀ , d _n para algún n ≥ 1 . Hay elementos de grupo correspondientes de la forma f ( z )= z + bz ^{n +1} + ... . Al componer esto con traslaciones se obtiene T _{– f ( ε )} ∘ f ∘ T _ε ( z ) = cz + dz ² + ... con c , d ≠ 0 . A menos que n = 2 , esto contradice la forma del subgrupo A ; por lo tanto n = 2 . ^[17]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

La derivada de Schwarz está relacionada con el pseudogrupo del grupo complejo de Möbius. De hecho, si f es un bihomolorfismo definido en V , entonces 𝜙 ₂ ( f ) = S ( f ) es una diferencial cuadrática en V . Si g es un bihomolorfismo definido en U y g ( V ) ⊆ U , S ( f ∘ g ) y S ( g ) son diferenciales cuadráticas en U ; además, S ( f ) es una diferencial cuadrática en V , de modo que g _∗ S ( f ) también es una diferencial cuadrática en U . La identidad

${\displaystyle S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)}$

es por tanto el análogo de un 1-cociclo para el pseudogrupo de biholomorfismos con coeficientes en diferenciales cuadráticos holomorfas. De manera similar, y son 1-cociclos para el mismo pseudogrupo con valores en funciones holomorfas y diferenciales holomorfas. En general, el 1-cociclo se puede definir para diferenciales holomorfas de cualquier orden de modo que${\displaystyle \varphi _{0}(f)=\log f^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }}$

${\displaystyle \varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).}$

Aplicando la identidad anterior a los mapas de inclusión j , se sigue que 𝜙( j ) = 0 ; y por lo tanto que si f ₁ es la restricción de f ₂ , de modo que f ₂ ∘ j = f ₁ , entonces 𝜙( f ₁ ) = 𝜙 ( f ₂ ) . Por otra parte, tomando el flujo holomorfico local definido por los campos vectoriales holomorfos —la exponencial de los campos vectoriales— el pseudogrupo holomorfo de biholomorfismos locales es generado por los campos vectoriales holomorfos. Si el 1-cociclo 𝜙 satisface condiciones adecuadas de continuidad o analiticidad, induce un 1-cociclo de campos vectoriales holomorfos, también compatible con la restricción. En consecuencia, define un 1-cociclo sobre campos vectoriales holomorfos sobre C : ^[18]

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).}$

Restringiendo el álgebra de Lie a los cuerpos vectoriales polinómicos con base d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ −1) , estos pueden determinarse utilizando los mismos métodos de cohomología del álgebra de Lie (como en la sección anterior sobre homomorfismos cruzados). Allí el cálculo era para toda el álgebra de Witt actuando sobre densidades de orden k , mientras que aquí es solo para una subálgebra actuando sobre diferenciales holomorfas (o polinómicas) de orden k . Nuevamente, asumiendo que 𝜙 se desvanece en rotaciones de C , hay 1-cociclos distintos de cero, únicos hasta múltiplos escalares. solo para diferenciales de grado 0, 1 y 2 dados por la misma fórmula de derivada

${\displaystyle \varphi _{k}\left(p(z){d \over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},}$

donde p ( z ) es un polinomio.

Los 1-cociclos definen los tres pseudogrupos por 𝜙 _k ( f ) = 0 : esto da el grupo de escala ( k = 0 ); el grupo afín ( k = 1 ); y todo el grupo complejo de Möbius ( k = 2 ). Por lo tanto, estos 1-cociclos son las ecuaciones diferenciales ordinarias especiales que definen el pseudogrupo. Más significativamente, se pueden usar para definir estructuras y conexiones afines o proyectivas correspondientes en superficies de Riemann. Si Γ es un pseudogrupo de aplicaciones suaves en R ⁿ , se dice que un espacio topológico M tiene una Γ -estructura si tiene una colección de gráficos f que son homeomorfismos de conjuntos abiertos V _i en M a conjuntos abiertos U _i en R ⁿ tales que, para cada intersección no vacía, la aplicación natural de f _i ( U _i ∩ U _j ) a f _j ( U _i ∩ U _j ) se encuentra en Γ . Esto define la estructura de una variedad n lisa si Γ consiste en difeomorfismos locales y una superficie de Riemann si n = 2 —de modo que R ² ≡ C —y Γ consiste en biholomorfismos. Si Γ es el pseudogrupo afín, se dice que M tiene una estructura afín; y si Γ es el pseudogrupo de Möbius, se dice que M tiene una estructura proyectiva. Por lo tanto, una superficie de género uno dada como C /Λ para alguna red Λ ⊂ C tiene una estructura afín; y una superficie de género p > 1 dada como el cociente del semiplano superior o disco unitario por un grupo fuchsiano tiene una estructura proyectiva. ^[19]

Gunning en 1966 describe cómo se puede revertir este proceso: para el género p > 1 , la existencia de una conexión proyectiva, definida usando la derivada de Schwarz 𝜙 ₂ y demostrada usando resultados estándar sobre cohomología, se puede usar para identificar la superficie de cobertura universal con el semiplano superior o disco unitario (un resultado similar se aplica para el género 1, usando conexiones afines y 𝜙 ₁ ). ^[19]

Osgood y Stowe (1992) describen una generalización que es aplicable para aplicaciones de variedades conformes , en las que la derivada schwarziana se convierte en un tensor simétrico en la variedad. Sea una variedad suave de dimensión con un tensor métrico suave . Un difeomorfismo suave es conforme si para alguna función suave . El schwarziano se define por donde es la conexión de Levi-Civita de , denota el hessiano con respecto a la conexión, es el operador de Laplace–Beltrami (definido como la traza del hessiano con respecto a ).${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle F:M\to M}$${\displaystyle F^{*}g=e^{2\varphi }g}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle S_{g}(\varphi )=\nabla ^{2}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi -{\frac {1}{n}}\left(\Delta \varphi -g(\nabla \varphi ,\nabla \varphi )\right)}$$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \Delta \varphi }$${\displaystyle g}$

El schwarziano satisface la ley del cociclo Una transformación de Möbius es un difeomorfismo conforme, cuyo factor conforme tiene un schwarziano nulo. La colección de transformaciones de Möbius de es un subgrupo de Lie cerrado del grupo conforme de . Las soluciones de en el espacio euclidiano, con la métrica euclidiana, son precisamente cuando es constante, el factor conforme que da la métrica esférica , o bien un factor conforme para una métrica de Poincaré hiperbólica en la bola o semiespacio o (respectivamente).$${\displaystyle S_{g}(\varphi +\psi )=S_{g}(\varphi )+S_{e^{2\varphi }g}(\psi ).}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{g}(\varphi )=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \log[(1+|\mathbf {x} |^{2})^{-1}]}$${\displaystyle \log |(1-|\mathbf {x} |^{2})^{-1}|}$${\displaystyle \log |x_{n}^{-1}|}$

Otra generalización se aplica a curvas positivas en un Grassmanniano de Lagrange (Ovsienko y Tabachnikov 2005). Supóngase que es un espacio vectorial simpléctico , de dimensión sobre . Fije un par de subespacios lagrangianos complementarios . El conjunto de subespacios lagrangianos que son complementarios a está parametrizado por el espacio de aplicaciones que son simétricas con respecto a ( para todo ). Cualquier subespacio lagrangiano complementario a está dado por para algún tensor de este tipo . Por tanto, una curva se especifica localmente mediante una familia de un parámetro de tensores simétricos. Una curva es positiva si es definida positiva. El Schwarziano de Lagrange se define entonces como Esto tiene la propiedad de que si y solo si hay una transformación simpléctica que relaciona las curvas y .${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A,B\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H:A\to B}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (a,H(a))=\omega (H(a),a)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{a+H(a)|a\in A\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H(u)}$${\displaystyle H'(u)}$$${\displaystyle S(H)=(H')^{-1/2}\left(H'''-{\tfrac {3}{2}}H''(H')^{-1}H''\right)(H')^{-1/2}.}$$${\displaystyle S(H)=S(G)}$${\displaystyle H(u)}$${\displaystyle G(u)}$

El lagrangiano schwarziano está relacionado con una ecuación diferencial de segundo orden donde es un tensor simétrico, que depende de una variable real y es una curva en . Sea el espacio -dimensional de soluciones de la ecuación diferencial. Como es simétrico, la forma en dada por es independiente de , y por lo tanto da una estructura simpléctica. Sea funcional la evaluación. Entonces, para cualquier en el dominio de , el núcleo de es un subespacio lagrangiano de , y por lo tanto el núcleo define una curva en el lagrangiano Grassmanniano de . El lagrangiano schwarziano de esta curva es entonces .$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+Q(t)x=0,}$$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega (x,y)=x(t)\cdot y'(t)-x'(t)\cdot y(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle 2Q(t)}$

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