Derivada simétrica

En matemáticas , la derivada simétrica es una operación que generaliza la derivada ordinaria .

Se define como: [1] [2] límite yo → 0 F ( incógnita + yo ) − F ( incógnita − yo ) 2 yo . {\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}.}

La expresión bajo el límite a veces se denomina cociente de diferencias simétricas . [3] [4] Se dice que una función es simétricamente diferenciable en un punto x si su derivada simétrica existe en ese punto.

Si una función es diferenciable (en el sentido habitual) en un punto, entonces también es simétricamente diferenciable, pero la inversa no es cierta. Un contraejemplo bien conocido es la función de valor absoluto f ( x ) = | x | , que no es diferenciable en x = 0 , pero es simétricamente diferenciable aquí con derivada simétrica 0. Para funciones diferenciables, el cociente de diferencias simétricas proporciona una mejor aproximación numérica de la derivada que el cociente de diferencias habitual. [3]

La derivada simétrica en un punto dado es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha en ese punto, si las dos últimas existen. [1] [2] : 6 

Ni el teorema de Rolle ni el teorema del valor medio son válidos para la derivada simétrica; se han demostrado algunas afirmaciones similares pero más débiles.

Ejemplos

La función de valor absoluto

Gráfica de la función de valor absoluto. Nótese el giro brusco en x = 0 , que conduce a la no diferenciabilidad de la curva en x = 0. Por lo tanto, la función no posee una derivada ordinaria en x = 0. Sin embargo, la derivada simétrica existe para la función en x = 0 .

Para la función de valor absoluto , utilizando la notación para la derivada simétrica, tenemos en ese caso F ( incógnita ) = | incógnita | {\displaystyle f(x)=|x|} F s ( incógnita ) Estilo de visualización f_{s}(x)} incógnita = 0 {\displaystyle x=0} F s ( 0 ) = límite yo → 0 F ( 0 + yo ) − F ( 0 − yo ) 2 yo = límite yo → 0 F ( yo ) − F ( − yo ) 2 yo = límite yo → 0 | yo | − | − yo | 2 yo = límite yo → 0 | yo | − | yo | 2 yo = límite yo → 0 0 2 yo = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\\end{aligned}}}

Por lo tanto, la derivada simétrica de la función de valor absoluto existe en y es igual a cero, aunque su derivada ordinaria no exista en ese punto (debido a un giro "brusco" en la curva en ). incógnita = 0 {\displaystyle x=0} incógnita = 0 {\displaystyle x=0}

Nótese que en este ejemplo existen las derivadas izquierda y derecha en 0, pero son desiguales (una es −1, mientras que la otra es +1); su promedio es 0, como se esperaba.

La funciónincógnita-2

Gráfica de y = 1/ x 2 . Nótese la discontinuidad en x = 0 . Por lo tanto, la función no posee una derivada ordinaria en x = 0 . Sin embargo, la derivada simétrica existe para la función en x = 0 .

Para la función , tenemos F ( incógnita ) = 1 / incógnita 2 {\displaystyle f(x)=1/x^{2}} incógnita = 0 {\displaystyle x=0} F s ( 0 ) = límite yo → 0 F ( 0 + yo ) − F ( 0 − yo ) 2 yo = límite yo → 0 F ( yo ) − F ( − yo ) 2 yo = límite yo → 0 1 / yo 2 − 1 / ( − yo ) 2 2 yo = límite yo → 0 1 / yo 2 − 1 / yo 2 2 yo = límite yo → 0 0 2 yo = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}}

Nuevamente, para esta función la derivada simétrica existe en , mientras que su derivada ordinaria no existe en debido a la discontinuidad en la curva allí. Además, ni la derivada izquierda ni la derecha son finitas en 0, es decir, se trata de una discontinuidad esencial . incógnita = 0 {\displaystyle x=0} incógnita = 0 {\displaystyle x=0}

La función de Dirichlet

La función de Dirichlet , definida como: tiene una derivada simétrica en cada , pero no es simétricamente diferenciable en ningún ; es decir, la derivada simétrica existe en números racionales pero no en números irracionales . F ( incógnita ) = { 1 , si  incógnita  es racional 0 , si  incógnita  es irracional {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{si }}x{\text{ es racional}}\\0,&{\text{si }}x{\text{ es irracional}}\end{cases}}} incógnita ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q}} incógnita ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }

Teorema del valor cuasi-medio

La derivada simétrica no obedece al teorema del valor medio habitual (de Lagrange). Como contraejemplo, la derivada simétrica de f ( x ) = | x | tiene la imagen {−1, 0, 1} , pero las secantes para f pueden tener un rango más amplio de pendientes; por ejemplo, en el intervalo [−1, 2] , el teorema del valor medio exigiría que exista un punto donde la derivada (simétrica) tome el valor . [5] | 2 | − | − 1 | 2 − ( − 1 ) = 1 3 {\displaystyle {\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}}

Un teorema algo análogo al teorema de Rolle , pero con la derivada simétrica, fue establecido en 1967 por C. E. Aull, quien lo llamó teorema cuasi-Rolle. Si f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y f ( a ) = f ( b ) = 0 , entonces existen dos puntos x , y en ( a , b ) tales que f s ( x ) ≥ 0 , y f s ( y ) ≤ 0 . Un lema también establecido por Aull como un trampolín hacia este teorema establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y además f ( b ) > f ( a ) , entonces existe un punto z en ( a , b ) donde la derivada simétrica no es negativa, o con la notación utilizada anteriormente, f s ( z ) ≥ 0 . Análogamente, si f ( b ) < f ( a ) , entonces existe un punto z en ( a , b ) donde f s ( z ) ≤ 0 . [5]

El teorema del valor cuasi-medio para una función simétricamente diferenciable establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existen x , y en ( a , b ) tales que [5] [2] : 7 

F s ( incógnita ) ≤ F ( b ) − F ( a ) b − a ≤ F s ( y ) . {\displaystyle f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\leq f_{s}(y).}

Como aplicación, el teorema del valor cuasi-medio para f ( x ) = | x | en un intervalo que contiene 0 predice que la pendiente de cualquier secante de f está entre −1 y 1.

Si la derivada simétrica de f tiene la propiedad de Darboux , entonces se cumple la (forma del) teorema del valor medio regular (de Lagrange), es decir, existe z en ( a , b ) tal que [5] F s ( el ) = F ( b ) − F ( a ) b − a . {\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.}

En consecuencia, si una función es continua y su derivada simétrica también es continua (por lo tanto tiene la propiedad de Darboux), entonces la función es diferenciable en el sentido habitual. [5]

Generalizaciones

La noción se generaliza a derivadas simétricas de orden superior y también a espacios euclidianos n -dimensionales .

La segunda derivada simétrica

La segunda derivada simétrica se define como [6] [2] : 1  límite yo → 0 F ( incógnita + yo ) − 2 F ( incógnita ) + F ( incógnita − yo ) yo 2 . {\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.}

Si existe la segunda derivada (habitual) , entonces existe la segunda derivada simétrica y es igual a ella. [6] Sin embargo, la segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (ordinaria) no exista. Como ejemplo, considere la función signo , que se define por signo ⁡ ( incógnita ) {\displaystyle \nombre del operador {sgn}(x)} signo ⁡ ( incógnita ) = { − 1 si  incógnita < 0 , 0 si  incógnita = 0 , 1 si  incógnita > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<0,\\0&{\text{si }}x=0,\\1&{\text{si }}x>0.\end{cases}}}

La función signo no es continua en cero y, por lo tanto, no existe la segunda derivada para . Pero sí existe la segunda derivada simétrica para : incógnita = 0 {\displaystyle x=0} incógnita = 0 {\displaystyle x=0} límite yo → 0 signo ⁡ ( 0 + yo ) − 2 signo ⁡ ( 0 ) + signo ⁡ ( 0 − yo ) yo 2 = límite yo → 0 signo ⁡ ( yo ) − 2 ⋅ 0 + ( − signo ⁡ ( yo ) ) yo 2 = límite yo → 0 0 yo 2 = 0. {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.}

Véase también

Referencias

  1. ^ de Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una sola variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
  2. ^ abcd Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de funciones reales . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
  3. ^ de Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Springer. pág. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
  4. ^ Shirley O. Hockett; David Bock (2005). Barron's Cómo prepararse para el cálculo AP . Serie educativa de Barron. pp. 53. ISBN 978-0-7641-2382-5.
  5. ^ abcde Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales . World Scientific. págs. 188-192. ISBN 978-981-02-3544-4.
  6. ^ ab A. Zygmund (2002). Series trigonométricas . Cambridge University Press. págs. 22-23. ISBN 978-0-521-89053-3.
  • AB Kharazishvili (2005). Funciones extrañas en el análisis real (2.ª ed.). CRC Press. pág. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
  • Aull, CE (1967). "La primera derivada simétrica". Am. Math. Mon . 74 (6): 708–711. doi :10.1080/00029890.1967.12000020.
  • "Derivada simétrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Aproximación de la derivada por el cociente de diferencias simétricas (Proyecto de demostraciones de Wolfram)
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