La prueba de Abel

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${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
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v t e

En matemáticas , la prueba de Abel (también conocida como criterio de Abel ) es un método para comprobar la convergencia de una serie infinita . La prueba recibe su nombre del matemático Niels Henrik Abel , quien la demostró en 1826. ^[1] Existen dos versiones ligeramente diferentes de la prueba de Abel: una se utiliza con series de números reales y la otra se utiliza con series de potencias en análisis complejo . La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones que dependen de parámetros .

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$es una serie convergente,
2. ${\displaystyle b_{n}}$es una secuencia monótona, y
3. ${\displaystyle b_{n}}$está delimitado.

Entonces también es convergente.${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$

Es importante entender que esta prueba es principalmente pertinente y útil en el contexto de series no absolutamente convergentes . Para series absolutamente convergentes, este teorema, aunque cierto, es casi evidente por sí mismo. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \sum a_{n}}$

Este teorema se puede demostrar directamente mediante la suma por partes .

Una prueba de convergencia estrechamente relacionada, también conocida como prueba de Abel , se puede utilizar a menudo para establecer la convergencia de una serie de potencias en el límite de su círculo de convergencia . Específicamente, la prueba de Abel establece que si una secuencia de números reales positivos es decreciente monótonamente (o al menos que para todo n mayor que algún número natural m , tenemos ) con${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

entonces la serie de potencias

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

converge en todas partes en el círculo unitario cerrado , excepto cuando z = 1. La prueba de Abel no se puede aplicar cuando z = 1, por lo que la convergencia en ese único punto debe investigarse por separado. Nótese que la prueba de Abel implica en particular que el radio de convergencia es al menos 1. También se puede aplicar a una serie de potencias con radio de convergencia R ≠ 1 mediante un simple cambio de variables ζ = z / R . ^[2] Nótese que la prueba de Abel es una generalización del Criterio de Leibniz al tomar z = −1.

Prueba de la prueba de Abel: supongamos que z es un punto en el círculo unitario, z ≠ 1. Para cada , definimos${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

Al multiplicar esta función por (1 − z ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

El primer sumando es constante, el segundo converge uniformemente a cero (ya que, por supuesto, la sucesión converge a cero). Solo queda demostrar que la serie converge. Lo demostraremos demostrando que converge incluso de forma absoluta: donde la última suma es una suma telescópica convergente. El valor absoluto se anula porque, por supuesto, la sucesión es decreciente.${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})}$${\displaystyle (a_{n})}$

Por lo tanto, la sucesión converge (incluso de manera uniforme) en el disco unitario cerrado. Si , podemos dividir por (1 − z ) y obtener el resultado.${\displaystyle (1-z)f_{n}(z)}$${\displaystyle z\not =1}$

Otra forma de obtener el resultado es aplicar la prueba de Dirichlet . En efecto, para se cumple , por lo que se cumplen los supuestos de la prueba de Dirichlet.${\displaystyle z\neq 1,\ |z|=1}$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right|\leq {\frac {2}{|z-1|}}}$

La prueba de convergencia uniforme de Abel es un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones o una integración impropia de funciones que dependen de parámetros . Está relacionada con la prueba de Abel para la convergencia de una serie ordinaria de números reales, y la demostración se basa en la misma técnica de suma por partes .

La prueba es la siguiente. Sea { g _n } una secuencia uniformemente acotada de funciones continuas de valores reales en un conjunto E tal que g _{n +1} ( x ) ≤  g _n ( x ) para todo x  ∈  E y enteros positivos n , y sea { f _n } una secuencia de funciones de valores reales tales que la serie Σ f _n ( x ) converge uniformemente en E . Entonces Σ f _n ( x ) g _n ( x ) converge uniformemente en E .

• Gino Moretti, Funciones de una variable compleja , Prentice-Hall, Inc., 1964
• Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W. "Prueba de convergencia uniforme de Abel". MathWorld .

• Prueba (para series reales) en PlanetMath.org