Derivado exterior

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En una variedad diferenciable , la derivada exterior extiende el concepto de diferencial de una función a formas diferenciales de grado superior. La derivada exterior fue descrita por primera vez en su forma actual por Élie Cartan en 1899. El cálculo resultante, conocido como cálculo exterior , permite una generalización natural e independiente de la métrica del teorema de Stokes , el teorema de Gauss y el teorema de Green a partir del cálculo vectorial.

Si se piensa que una forma k diferencial mide el flujo a través de un paralelotopo k infinitesimal en cada punto de la variedad, entonces se puede pensar que su derivada exterior mide el flujo neto a través del límite de un paralelotopo ( k + 1) en cada punto.

La derivada exterior de una forma diferencial de grado k (también forma diferencial k , o simplemente forma k para abreviar) es una forma diferencial de grado k + 1 .

Si f es una función suave (una forma 0 ), entonces la derivada exterior de f es la diferencial de f . Es decir, df es la única forma 1 tal que para cada campo vectorial suave X , df  ( X ) = d _X f , donde d _X f es la derivada direccional de f en la dirección de X .              

El producto exterior de las formas diferenciales (denotado con el mismo símbolo ∧ ) se define como su producto exterior puntual .

Hay una variedad de definiciones equivalentes de la derivada exterior de una forma k general .

La derivada exterior se define como la única función ℝ -lineal de las formas k a las formas ( k + 1) que tiene las siguientes propiedades:

• El operador aplicado a la forma -es el diferencial de${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$
• Si y son dos formas, entonces para cualquier elemento de campo${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta }$${\displaystyle a,b}$
• Si es una forma y es una forma, entonces ( regla del producto graduado )${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle l}$${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$
• Si es una forma -, entonces (lema de Poincaré)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(d\alpha )=0}$

Si y son dos -formas (funciones), entonces a partir de la tercera propiedad para la cantidad , o simplemente , se recupera la conocida regla del producto . La tercera propiedad se puede generalizar, por ejemplo, si es una -forma, es una -forma y es una -forma, entonces${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle d(f\wedge g)}$${\displaystyle d(fg)}$${\displaystyle d(fg)=df\,g+gdf}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+l}\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}$

Alternativamente, se puede trabajar completamente en un sistema de coordenadas local ( x ¹ , ..., x ⁿ ) . Las diferenciales de coordenadas dx ¹ , ..., dx ⁿ forman una base del espacio de formas unitarias, cada una asociada con una coordenada. Dado un multiíndice I = ( i ₁ , ..., i _k ) con 1 ≤ i _p ≤ n para 1 ≤ p ≤ k (y denotando dx ^{i ₁} ∧ ... ∧ dx ^{i _k} con dx ^I ), la derivada exterior de una forma k (simple)

${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

sobre ℝ ⁿ se define como

${\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

(utilizando la convención de suma de Einstein ). La definición de la derivada exterior se extiende linealmente a una forma k general (que se puede expresar como una combinación lineal de formas simples básicas )${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}$

donde cada uno de los componentes del multiíndice I se ejecuta sobre todos los valores en {1, ..., n } . Nótese que siempre que j es igual a uno de los componentes del multiíndice I entonces dx ^j ∧ dx ^I = 0 (ver Producto exterior ).

La definición de la derivada exterior en coordenadas locales se desprende de la definición anterior en términos de axiomas. En efecto, con la forma k φ como se definió anteriormente,

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}}$

Aquí, hemos interpretado g como una forma 0 y luego hemos aplicado las propiedades de la derivada exterior.

Este resultado se extiende directamente a la forma k general ω como

${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

En particular, para una forma 1 ω , los componentes de dω en coordenadas locales son

${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$

Precaución : Existen dos convenciones con respecto al significado de . La mayoría de los autores actuales ^{[ cita requerida ]} tienen la convención de que ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}$

mientras que en textos más antiguos como Kobayashi y Nomizu o Helgason

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}$

Como alternativa, se puede dar una fórmula explícita ^[1] para la derivada exterior de una forma k ω , cuando se combina con k + 1 campos vectoriales arbitrarios suaves V ₀ , V ₁ , ..., V _k :

${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$

donde [ V _i , V _j ] denota el corchete de Lie y un sombrero denota la omisión de ese elemento:

${\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}$

En particular, cuando ω es una forma 1 tenemos que dω ( X , Y ) = d _X ( ω ( Y )) − d _Y ( ω ( X )) − ω ([ X , Y ]) .

Nota: Con las convenciones de, por ejemplo, Kobayashi-Nomizu y Helgason, la fórmula difiere en un factor de ⁠1/k +1:​

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}$

Ejemplo 1. Consideremos σ = u  dx ¹ ∧ dx ² sobre una base de 1 -forma dx ¹ , ..., dx ⁿ para un campo escalar u . La derivada externa es:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$

La última fórmula, donde la suma comienza en i = 3 , se deduce fácilmente de las propiedades del producto exterior , es decir, dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 .

Ejemplo 2. Sea σ = u  dx + v  dy una forma 1 definida sobre ℝ ² . Aplicando la fórmula anterior a cada término (considere x ¹ = x y x ² = y ) tenemos la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}$

Si M es una variedad n -dimensional compacta, orientable y suave con borde, y ω es una forma ( n − 1) en M , entonces la forma generalizada del teorema de Stokes establece que

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega }$

Intuitivamente, si uno piensa que M está dividido en regiones infinitesimales y se suma el flujo a través de los límites de todas las regiones, todos los límites interiores se cancelan, quedando el flujo total a través del límite de M.

Una forma k ω se llama cerrada si dω = 0 ; las formas cerradas son el núcleo de d . ω se llama exacta si ω = dα para alguna ( k − 1) -forma α ; las formas exactas son la imagen de d . Como d ² = 0 , toda forma exacta es cerrada. El lema de Poincaré establece que en una región contráctil, lo inverso es cierto.

Como la derivada exterior d tiene la propiedad de que d ² = 0 , puede usarse como diferencial (colímite) para definir la cohomología de De Rham en una variedad. La k -ésima cohomología de De Rham (grupo) es el espacio vectorial de las k -formas cerradas módulo las k -formas exactas; como se señaló en la sección anterior, el lema de Poincaré establece que estos espacios vectoriales son triviales para una región contráctil, para k > 0 . Para variedades suaves , la integración de formas da un homomorfismo natural de la cohomología de De Rham a la cohomología singular sobre ℝ . El teorema de De Rham muestra que esta función es en realidad un isomorfismo, una generalización de largo alcance del lema de Poincaré. Como lo sugiere el teorema de Stokes generalizado, la derivada exterior es el "dual" de la función límite en símplices singulares.

La derivada exterior es natural en el sentido técnico: si f  : M → N es una función suave y Ω ^k es el funtor suave contravariante que asigna a cada variedad el espacio de k -formas en la variedad, entonces el siguiente diagrama conmuta 

entonces d (  f ^∗ ω ) =   f ^∗ dω , donde f ^∗ denota el retroceso de f . Esto se deduce de que f ^∗ ω (·) , por definición, es ω (  f _∗ (·)) , siendo f _∗ el avance de f . Por lo tanto, d es una transformación natural de Ω ^k a Ω ^{k +1} .       

La mayoría de los operadores de cálculo vectorial son casos especiales o tienen relaciones estrechas con la noción de diferenciación exterior.

Una función suave f  : M → ℝ en una variedad diferenciable real M es una forma 0. La derivada exterior de esta forma 0 es la forma 1 df . 

Cuando se define un producto interno ⟨·,·⟩ , el gradiente ∇ f  de una función f se define como el único vector en V tal que su producto interno con cualquier elemento de V es la derivada direccional de f a lo largo del vector, es decir tal que    

${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

Eso es,

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}$

donde ♯ denota el isomorfismo musical ♯  : V ^∗ → V mencionado anteriormente que es inducido por el producto interno.

La forma 1 df  es una sección del fibrado cotangente , que da una aproximación lineal local a f en el espacio cotangente en cada punto.  

Un campo vectorial V = ( v ₁ , v ₂ , ..., v _n ) en ℝ ⁿ tiene una forma ( n − 1) correspondiente

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$

donde denota la omisión de ese elemento.${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$

(Por ejemplo, cuando n = 3 , es decir, en el espacio tridimensional, la forma 2 ω _V es localmente el triple producto escalar con V ). La integral de ω _V sobre una hipersuperficie es el flujo de V sobre esa hipersuperficie.

La derivada exterior de esta ( n − 1) -forma es la n -forma

${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$

Un campo vectorial V en ℝ ⁿ también tiene una forma 1 correspondiente

${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}$

Localmente, η _V es el producto escalar con V . La integral de η _V a lo largo de una trayectoria es el trabajo realizado contra − V a lo largo de esa trayectoria.

Cuando n = 3 , en el espacio tridimensional, la derivada exterior de la forma 1 η _V es la forma 2

${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$

Los operadores de cálculo vectorial estándar se pueden generalizar para cualquier variedad pseudoriemanniana y escribir en notación libre de coordenadas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$

donde ⋆ es el operador de estrella de Hodge , ♭ y ♯ son los isomorfismos musicales , f es un campo escalar y F es un campo vectorial .  

Nótese que la expresión para el rizo requiere que ♯ actúe sobre ⋆ d ( F ^♭ ) , que es una forma de grado n − 2 . Una generalización natural de ♯ a k -formas de grado arbitrario permite que esta expresión tenga sentido para cualquier n .

• Cartan, Élie (1899). "Sur surees expresiones différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 3 (en francés). 16 . París: Gauthier-Villars: 239–332. doi : 10.24033/asens.467 . ISSN  0012-9593. JFM  30.0313.04 . Consultado el 2 de febrero de 2016 .
• Conlon, Lawrence (2001). Variedades diferenciables . Basilea, Suiza: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
• Darling, RWR (1994). Formas diferenciales y conexiones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
• Flanders, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
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• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: “La derivada no es lo que crees que es”. Aleph Zero . 3 de noviembre de 2020 – vía YouTube .