Prueba de raíz

Criterio de convergencia de una serie infinita

En matemáticas , la prueba de la raíz es un criterio para la convergencia (una prueba de convergencia ) de una serie infinita . Depende de la cantidad

lim sup n | a n | n , {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

donde están los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero diverge si es mayor que uno. Es particularmente útil en relación con las series de potencias . a n {\displaystyle a_{n}}

Explicación de la prueba de raíz

Diagrama de decisión para la prueba de raíz

La prueba de la raíz fue desarrollada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy , quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse (1821). [1] Por lo tanto, a veces se la conoce como prueba de la raíz de Cauchy o prueba radical de Cauchy . Para una serie

n = 1 a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

La prueba de raíz utiliza el número

C = lim sup n | a n | n , {\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente +∞. Nótese que si

lim n | a n | n , {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

converge, entonces es igual a C y puede usarse en la prueba de raíz.

La prueba raíz establece que:

  • si C < 1 entonces la serie converge absolutamente ,
  • si C > 1 entonces la serie diverge ,
  • Si C = 1 y el límite se aproxima estrictamente desde arriba, entonces la serie diverge,
  • de lo contrario la prueba no es concluyente (la serie puede divergir, converger absolutamente o converger condicionalmente ).

Hay algunas series para las cuales C = 1 y la serie converge, por ejemplo , y hay otras para las cuales C = 1 y la serie diverge, por ejemplo . 1 / n 2 {\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}} 1 / n {\displaystyle \textstyle \sum 1/n}

Aplicación a series de potencias

Esta prueba se puede utilizar con una serie de potencias.

f ( z ) = n = 0 c n ( z p ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}

donde los coeficientes c n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por a n = c n ( zp ) n . A continuación, se aplica la prueba de la raíz a a n como se indicó anteriormente. Nótese que a veces una serie como esta se denomina serie de potencias "alrededor de p ", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo o disco más grande centrado en p tal que la serie convergerá para todos los puntos z estrictamente en el interior (la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente debe comprobarse por separado).

Un corolario de la prueba de la raíz aplicada a una serie de potencias es el teorema de Cauchy-Hadamard : el radio de convergencia es exactamente el que garantiza que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0. 1 / lim sup n | c n | n , {\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}

Prueba

La prueba de la convergencia de una serie Σ a n es una aplicación de la prueba de comparación .

Si para todo nN ( N algún número natural fijo ) tenemos , entonces . Como la serie geométrica converge, también lo hace según la prueba de comparación. Por lo tanto, Σ a n converge de manera absoluta. | a n | n k < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1} | a n | k n < 1 {\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1} n = N k n {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}} n = N | a n | {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}

Si para un número infinito de n , entonces a n no converge a 0, por lo tanto la serie es divergente. | a n | n > 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}

Demostración del corolario : Para una serie de potencias Σ a n = Σ c n ( z  −  p ) n , vemos por lo anterior que la serie converge si existe una N tal que para todo nN tenemos

| a n | n = | c n ( z p ) n | n < 1 , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}

equivalente a

| c n | n | z p | < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}

para todo nN , lo que implica que para que la serie converja debemos tener para todo n suficientemente grande . Esto es equivalente a decir | z p | < 1 / | c n | n {\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}

| z p | < 1 / lim sup n | c n | n , {\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}

Así que ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando R 1 / lim sup n | c n | n . {\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}

| a n | n = | c n ( z p ) n | n = 1 , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}

(ya que los puntos > 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que

R = 1 / lim sup n | c n | n . {\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}

Ejemplos

Ejemplo 1:

i = 1 2 i i 9 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}

Aplicando la prueba de la raíz y utilizando el hecho de que lim n n 1 / n = 1 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}

C = lim n | 2 n n 9 | n = lim n 2 n n n 9 n = lim n 2 ( n 1 / n ) 9 = 2 {\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}

Dado que la serie diverge. [2] C = 2 > 1 , {\displaystyle C=2>1,}

Ejemplo 2:

n = 0 1 2 n / 2 = 1 + 1 + 1 2 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }

La prueba de raíz muestra convergencia porque

r = lim sup n | a n | n = lim sup n | a 2 n | 2 n = lim sup n | 1 / 2 n | 2 n = 1 2 < 1. {\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}

Este ejemplo muestra cómo la prueba de la raíz es más sólida que la prueba de la razón . La prueba de la razón no es concluyente para esta serie, ya que si es par, mientras que si es impar, , por lo tanto, el límite no existe. n {\displaystyle n} a n + 1 / a n = 1 {\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1} n {\displaystyle n} a n + 1 / a n = 1 / 2 {\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2} lim n | a n + 1 / a n | {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}

Jerarquía de pruebas de raíz

La jerarquía de pruebas de raíz [3] [4] se construye de manera similar a la jerarquía de pruebas de razón (ver Sección 4.1 de prueba de razón , y más específicamente la Subsección 4.1.4 allí).

Para una serie con términos positivos tenemos las siguientes pruebas de convergencia/divergencia. n = 1 a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

Sea un número entero, y sea el iterador número uno del logaritmo natural , es decir, y para cualquier , . K 1 {\displaystyle K\geq 1} ln ( K ) ( x ) {\displaystyle \ln _{(K)}(x)} K {\displaystyle K} ln ( 1 ) ( x ) = ln ( x ) {\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)} 2 k K {\displaystyle 2\leq k\leq K} ln ( k ) ( x ) = ln ( k 1 ) ( ln ( x ) ) {\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}

Supongamos que , cuando es grande, se puede presentar en la forma a n n {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}} n {\displaystyle n}

a n n = 1 + 1 n + 1 n i = 1 K 1 1 k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n k = 1 K ln ( k ) ( n ) . {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}

(Se supone que la suma vacía es 0).

  • La serie converge, si lim inf n ρ n > 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
  • La serie diverge, si lim sup n ρ n < 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
  • De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Prueba

Desde entonces tenemos a n n = e 1 n ln a n {\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}

e 1 n ln a n = 1 + 1 n + 1 n i = 1 K 1 1 k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n k = 1 K ln ( k ) ( n ) . {\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}

De esto,

ln a n = n ln ( 1 + 1 n + 1 n i = 1 K 1 1 k = 1 i ln ( k ) ( n ) + ρ n n k = 1 K ln ( k ) ( n ) ) . {\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}

De la expansión de Taylor aplicada al lado derecho, obtenemos:

ln a n = 1 i = 1 K 1 1 k = 1 i ln ( k ) ( n ) ρ n k = 1 K ln ( k ) ( n ) + O ( 1 n ) . {\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}

Por eso,

a n = { e 1 + O ( 1 / n ) 1 ( n k = 1 K 2 ln ( k ) n ) ln ( K 1 ) ρ n n , K 2 , e 1 + O ( 1 / n ) 1 n ρ n , K = 1. {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}

(El producto vacío se establece en 1.)

El resultado final se desprende de la prueba integral de convergencia .

Véase también

Referencias

  1. ^ Bottazzini, Umberto (1986), El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass, Springer-Verlag, págs. 116-117, ISBN 978-0-387-96302-0Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
  2. ^ Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Cálculo: trascendentales tempranos . Addison Wesley. pág. 571.
  3. ^ Abramov, Vyacheslav M. (2022). "Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas" (PDF) . Revista de análisis clásico . 19 (2): 117--125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09.
  4. ^ Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andrei; Nornberg, Gabrielle; Venzke, Cristiane (2012). "Una jerarquía de pruebas de convergencia relacionadas con la prueba de Cauchy" (PDF) . Revista Internacional de Análisis Matemático . 6 (37--40): 1847--1869.
  • Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Sucesiones y series infinitas . Dover publications, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60153-6.
  • Whittaker, ET y Watson, GN (1963). "§ 2.35". Un curso de análisis moderno (cuarta edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.

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