derivada q

En matemáticas , en el área de combinatoria y cálculo cuántico , la derivada q , o derivada de Jackson , es un análogo q de la derivada ordinaria , introducida por Frank Hilton Jackson . Es la inversa de la integración q de Jackson . Para otras formas de derivada q, véase Chung et al. (1994).

La derivada q de una función f ( x ) se define como ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

También se suele escribir como . La derivada q también se conoce como derivada de Jackson .${\displaystyle D_{q}f(x)}$

Formalmente, en términos del operador de desplazamiento de Lagrange en variables logarítmicas, equivale al operador

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \sobre d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

que va a la derivada simple, como .${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle q\to 1}$

Es manifiestamente lineal,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Tiene una regla del producto análoga a la regla del producto derivado ordinario, con dos formas equivalentes

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

De manera similar, satisface una regla del cociente,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

También existe una regla similar a la regla de la cadena para las derivadas ordinarias. Sea . Entonces${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

La función propia de la derivada q es la exponencial q e _q ( x ).

La diferenciación Q se parece a la diferenciación ordinaria, con diferencias curiosas. Por ejemplo, la derivada q del monomio es: ^[2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

donde es el corchete q de n . Nótese que entonces la derivada ordinaria se recupera en este límite.${\displaystyle [n]_{q}}$${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

La n -ésima q -derivada de una función puede expresarse como: ^[3]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

siempre que la derivada n -ésima ordinaria de f exista en x = 0. Aquí, es el símbolo q -Pochhammer y es el q -factorial . Si es analítica podemos aplicar la fórmula de Taylor a la definición de para obtener${\displaystyle (q;q)_{n}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

A continuación se muestra un análogo q de la expansión de Taylor de una función en torno a cero: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

Se conoce la siguiente representación para derivadas de orden superior : ^{[4] [5]}${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$es el coeficiente binomial. Cambiando el orden de suma como , obtenemos la siguiente fórmula: ^{[4] [6]}${\displaystyle q}$${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

Las derivadas de orden superior se utilizan para la fórmula de Taylor y la fórmula de Rodrigues ( la fórmula utilizada para construir polinomios ortogonales [ ^4] ).${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

El cálculo postcuántico es una generalización de la teoría del cálculo cuántico y utiliza el siguiente operador: ^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Wolfgang Hahn introdujo el siguiente operador (diferencia de Hahn): ^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Cuando este operador se reduce a derivada y cuando se reduce a diferencia hacia delante, es una herramienta eficaz para construir familias de polinomios ortogonales e investigar algunos problemas de aproximación. ^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \omega \to 0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \beta }$-derivada es un operador definido de la siguiente manera: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

En la definición, es un intervalo dado, y es cualquier función continua que aumenta estrictamente de manera monótona (es decir, ). Cuando entonces este operador es -derivada, y cuando este operador es diferencia de Hahn.${\displaystyle I}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$${\displaystyle \beta (t)=qt}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

El cálculo q se ha utilizado en el aprendizaje automático para diseñar funciones de activación estocástica. ^[16]

• Derivada (generalizaciones)
• Integración de Jackson
• Q-exponencial
• Polinomios de diferencia Q
• Cálculo cuántico
• Entropía de Tsallis