Integral de funciones inversas

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Teorema fundamental Límites Continuidad Teorema de Rolle Teorema del valor medio Teorema de la función inversa
Diferencial Definiciones Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

En matemáticas , las integrales de funciones inversas se pueden calcular mediante una fórmula que expresa las antiderivadas de la inversa de una función continua e invertible , en términos de y una antiderivada de . Esta fórmula fue publicada en 1905 por Charles-Ange Laisant . ^[1]${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

Sean y dos intervalos de . Supongamos que es una función continua e invertible. Del teorema del valor intermedio se deduce que es estrictamente monótona . En consecuencia, aplica intervalos a intervalos, por lo que es una función abierta y, por lo tanto, un homeomorfismo. Dado que y la función inversa son continuas, tienen antiderivadas por el teorema fundamental del cálculo .${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I_{1}\to I_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}:I_{2}\to I_{1}}$

Laisant demostró que si es una antiderivada de , entonces las antiderivadas de son:${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,}$

donde es un número real arbitrario. Nótese que no se supone que sea diferenciable.${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{-1}}$

En su artículo de 1905, Laisant dio tres pruebas.

En primer lugar, bajo la hipótesis adicional de que es diferenciable , se puede diferenciar la fórmula anterior, lo que completa la prueba inmediatamente. ${\displaystyle f^{-1}}$

Su segunda demostración fue geométrica. Si y , el teorema puede escribirse: ${\displaystyle f(a)=c}$${\displaystyle f(b)=d}$

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

La figura de la derecha es una prueba sin palabras de esta fórmula. Laisant no analiza las hipótesis necesarias para que esta prueba sea rigurosa, pero se puede demostrar si se supone que es estrictamente monótona (pero no necesariamente continua, y mucho menos diferenciable). En este caso, tanto y son integrables por Riemann y la identidad se deduce de una biyección entre las sumas Darboux inferior/superior de y las sumas Darboux superior/inferior de . ^{[2] [3]} La versión antiderivada del teorema se deduce entonces del teorema fundamental del cálculo en el caso en que también se supone que es continua. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

La tercera prueba de Laisant utiliza la hipótesis adicional de que es diferenciable. A partir de , se multiplica por e integra ambos lados. El lado derecho se calcula mediante la integración por partes para que sea , y se aplica la fórmula.${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$${\displaystyle f'(x)}$${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$

También se puede pensar de la siguiente manera cuando es diferenciable. Como es continua en cualquier , es diferenciable en absoluto por el teorema fundamental del cálculo. Como es invertible, su derivada se anularía en como máximo un número contable de puntos. Ordena estos puntos por . Como es una composición de funciones diferenciables en cada intervalo , se podría aplicar la regla de la cadena para ver que es una antiderivada para . Afirmamos que también es diferenciable en cada uno de y no se vuelve ilimitada si es compacta. En tal caso es continua y acotada. Por continuidad y el teorema fundamental del cálculo, donde es una constante, es una extensión diferenciable de . Pero es continua ya que es la composición de funciones continuas. Por lo tanto, lo es por diferenciabilidad. Por lo tanto, . Ahora se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo para calcular .${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F:=\int _{0}^{x}f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=g}$${\displaystyle \int _{I_{2}}f^{-1}}$

Sin embargo, se puede demostrar que este teorema se cumple incluso si o no es diferenciable: ^{[3] [4]} basta, por ejemplo, utilizar la integral de Stieltjes en el argumento anterior. Por otra parte, aunque las funciones monótonas generales son diferenciables casi en todas partes, la demostración de la fórmula general no se sigue, a menos que sea absolutamente continua . ^[4]${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}}$

También es posible comprobar que para cada en , la derivada de la función es igual a . ^{[ cita requerida ]} En otras palabras:${\displaystyle y}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

Para ello, basta aplicar el teorema del valor medio entre y , teniendo en cuenta que es monótona.${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle f}$

1. Supongamos que , por lo tanto . La fórmula anterior da inmediatamente${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$$${\displaystyle \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.}$$
2. De manera similar, con y ,${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y)}$ $${\displaystyle \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$$
3. Con y ,${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$ $${\displaystyle \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.}$$

Al parecer, este teorema de integración fue descubierto por primera vez en 1905 por Charles-Ange Laisant , ^[1] quien "no podía creer que este teorema fuera nuevo", y esperaba que su uso se extendiera a partir de entonces entre estudiantes y profesores. Este resultado fue publicado de forma independiente en 1912 por un ingeniero italiano, Alberto Caprilli, en un opúsculo titulado "Nuove formole d'integrazione". ^[5] Fue redescubierto en 1955 por Parker, ^[6] y por varios matemáticos que lo siguieron. ^[7] Sin embargo, todos ellos suponen que f o f ⁻¹ es diferenciable . La versión general del teorema , libre de este supuesto adicional, fue propuesta por Michael Spivak en 1965, como un ejercicio de cálculo , ^[2] y una demostración bastante completa siguiendo las mismas líneas fue publicada por Eric Key en 1994. ^[3] Esta demostración se apoya en la propia definición de la integral de Darboux , y consiste en mostrar que las sumas Darboux superiores de la función f están en correspondencia 1-1 con las sumas Darboux inferiores de f ⁻¹ . En 2013, Michael Bensimhoun, estimando que el teorema general era todavía insuficientemente conocido, dio otras dos demostraciones: ^[4] La segunda demostración, basada en la integral de Stieltjes y en sus fórmulas de integración por partes y de cambio homeomorfo de variables , es la más adecuada para establecer fórmulas más complejas.

El teorema anterior se generaliza de la manera obvia a las funciones holomorfas: sean y dos conjuntos abiertos y simplemente conexos de , y supongamos que es un biholomorfismo . Entonces y tienen antiderivadas, y si es una antiderivada de , la antiderivada general de es${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

Como todas las funciones holomorfas son diferenciables, la prueba es inmediata mediante diferenciación compleja.

• Integración por partes
• Transformación de Legendre
• Desigualdad de Young para productos