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La integración de discos , también conocida en cálculo integral como método de discos , es un método para calcular el volumen de un sólido de revolución de un material en estado sólido al integrar a lo largo de un eje "paralelo" al eje de revolución . Este método modela la forma tridimensional resultante como una pila de un número infinito de discos de radio variable y espesor infinitesimal. También es posible utilizar los mismos principios con anillos en lugar de discos (el " método de las arandelas ") para obtener sólidos huecos de revoluciones. Esto contrasta con la integración de capas , que integra a lo largo de un eje perpendicular al eje de revolución.
Si la función a girar es una función de x , la siguiente integral representa el volumen del sólido de revolución:
donde R ( x ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es horizontal (ejemplo: y = 3 o alguna otra constante).
Si la función a girar es una función de y , la siguiente integral obtendrá el volumen del sólido de revolución:
donde R ( y ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es vertical (ejemplo: x = 4 o alguna otra constante).
Para obtener un sólido hueco de revolución (el “método de la arandela”), el procedimiento sería tomar el volumen del sólido de revolución interior y restarlo del volumen del sólido de revolución exterior. Esto se puede calcular en una única integral similar a la siguiente:
donde R O ( x ) es la función que está más alejada del eje de rotación y R I ( x ) es la función que está más cerca del eje de rotación. Por ejemplo, la siguiente figura muestra la rotación a lo largo del eje x de la "hoja" roja encerrada entre las curvas de raíz cuadrada y cuadrática:
El volumen de este sólido es:
Se debe tener cuidado de no evaluar el cuadrado de la diferencia de las dos funciones, sino de evaluar la diferencia de los cuadrados de las dos funciones.
(Esta fórmula sólo funciona para revoluciones alrededor del eje x ).
Para rotar sobre cualquier eje horizontal, simplemente reste el valor de ese eje en cada fórmula. Si h es el valor de un eje horizontal, entonces el volumen es igual a
Por ejemplo, para rotar la región entre y = −2 x + x 2 e y = x a lo largo del eje y = 4 , se integraría de la siguiente manera:
Los límites de integración son los ceros de la primera ecuación menos los de la segunda. Nótese que al integrar a lo largo de un eje distinto del x , el gráfico de la función que está más alejada del eje de rotación puede no ser tan obvio. En el ejemplo anterior, aunque el gráfico de y = x está, con respecto al eje x, más arriba que el gráfico de y = −2 x + x 2 , con respecto al eje de rotación la función y = x es la función interna: su gráfico está más cerca de y = 4 o de la ecuación del eje de rotación en el ejemplo.
La misma idea se puede aplicar tanto al eje y como a cualquier otro eje vertical. Simplemente hay que resolver cada ecuación para x antes de insertarlas en la fórmula de integración.