Derivado de Dini

Clase de generalizaciones de la derivada

En matemáticas y, específicamente, en análisis real , las derivadas de Dini (o derivadas de Dini ) son una clase de generalizaciones de la derivada . Fueron introducidas por Ulisse Dini , quien estudió funciones continuas pero no diferenciables.

La derivada de Dini superior , que también se denomina derivada superior derecha , ^[1] de una función continua

f:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}},

se denota por $f " +$ y definido por

f'_{+}(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},

donde $lim sup$ es el límite supremo y el límite es un límite unilateral . La derivada de Dini inferior , $f " -$ , se define por

f'_{-}(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}},

donde $lim inf$ es el límite ínfimo .

Si $f$ está definida en un espacio vectorial , entonces la derivada de Dini superior en $t$ en la dirección $d$ está definida por

f'_{+}(t,d)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.

Si $f$ es localmente Lipschitz , entonces $f " +$ es finito. Si $f$ es diferenciable en $t$ , entonces la derivada de Dini en $t$ es la derivada usual en $t$ .

Observaciones

Las funciones se definen en términos del ínfimo y del supremo para que las derivadas de Dini sean lo más "a prueba de balas" posible, de modo que las derivadas de Dini estén bien definidas para casi todas las funciones, incluso para funciones que no son diferenciables convencionalmente. El resultado del análisis de Dini es que una función es diferenciable en el punto $t$ de la recta real ( $ℝ$ ), solo si todas las derivadas de Dini existen y tienen el mismo valor.

A veces se utiliza la notación $D + f (t) en lugar de$ $f " + (t)$ y se utiliza $D - f (t) en lugar de$ $f " - (t)$ . ^[1]
También,

D^{+}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

y

D_{-}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}

.

Entonces, cuando se utiliza la notación $D$ de las derivadas de Dini, el signo más o menos indica el límite izquierdo o derecho, y la ubicación del signo indica el límite ínfimo o supremo .

Hay dos derivados más de Dini, definidos como

D_{+}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

y

D^{-}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}

.

que son iguales que el primer par, pero con el supremo y el ínfimo invertidos. Para funciones con un comportamiento moderadamente malo, no se necesitan las dos derivadas de Dini adicionales. Para funciones con un comportamiento particularmente malo, si las cuatro derivadas de Dini tienen el mismo valor ( ), entonces la función $f$ es diferenciable en el sentido habitual en el punto $t$ . $D^{+}f(t)=D_{+}f(t)=D^{-}f(t)=D_{-}f(t)$

En los números reales extendidos , cada una de las derivadas de Dini siempre existe; sin embargo, pueden tomar los valores $+\infty$ o $-\infty$ en ocasiones (es decir, las derivadas de Dini siempre existen en el sentido extendido ).

Véase también

Teorema de Denjoy-Young-Saks : teorema matemático sobre las derivadas de Dini
Derivada (generalizaciones) – Construcción fundamental del cálculo diferencialPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
Semidiferenciabilidad

Referencias

^ ab Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.

Lukashenko, TP (2001) [1994], "Derivada de Dini", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Royden, HL (1968). Análisis real (2.ª ed.). MacMillan. ISBN 978-0-02-404150-0.
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com [primera edición publicada por Prentice Hall en 2001]. pp. 301–302. ISBN 978-1-4348-4161-2.

Este artículo incorpora material de Dini derived en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Khalil02-1] Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.