Cálculo geométrico

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Cálculo
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
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v t e

En matemáticas , el cálculo geométrico extiende el álgebra geométrica para incluir la diferenciación y la integración . El formalismo es poderoso y se puede demostrar que reproduce otras teorías matemáticas, incluido el cálculo vectorial , la geometría diferencial y las formas diferenciales . ^[1]

Con un álgebra geométrica dada, sean y vectores y sea una función multivectorial de un vector. La derivada direccional de a lo largo de at se define como${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

siempre que el límite exista para todo , donde el límite se toma para escalar . Esto es similar a la definición habitual de una derivada direccional pero la extiende a funciones que no necesariamente tienen valores escalares.${\displaystyle b}$${\displaystyle \epsilon }$

A continuación, elija un conjunto de vectores base y considere los operadores, denotados , que realizan derivadas direccionales en las direcciones de :${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Luego, utilizando la notación de suma de Einstein , considere el operador:

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

lo que significa

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

donde el producto geométrico se aplica después de la derivada direccional. Más detalladamente:

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Este operador es independiente de la elección del marco y, por lo tanto, puede utilizarse para definir lo que en cálculo geométrico se denomina derivada vectorial :

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

Esto es similar a la definición habitual del gradiente , pero también se extiende a funciones que no tienen necesariamente valores escalares.

La derivada direccional es lineal respecto a su dirección, es decir:

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

De esto se deduce que la derivada direccional es el producto interno de su dirección por la derivada vectorial. Lo único que hay que observar es que la dirección se puede escribir de manera que:${\displaystyle a}$${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

Por esta razón, a menudo se observa .${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$

El orden estándar de operaciones para la derivada vectorial es que actúa sólo sobre la función más cercana a su derecha inmediata. Dadas dos funciones y , entonces, por ejemplo, tenemos${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

Aunque la derivada parcial exhibe una regla del producto , la derivada vectorial solo hereda parcialmente esta propiedad. Consideremos dos funciones y :${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

Como el producto geométrico no es conmutativo con en general, necesitamos una nueva notación para continuar. Una solución es adoptar la notación de punto sobrepuesto , en la que el alcance de una derivada vectorial con un punto sobrepuesto es la función multivectorial que comparte el mismo punto sobrepuesto. En este caso, si definimos${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

Entonces la regla del producto para la derivada vectorial es

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

Sea un multivector de grado . Luego podemos definir un par adicional de operadores, las derivadas interna y externa,${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

En particular, si es de grado 1 (función con valores vectoriales), entonces podemos escribir${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

e identificar la divergencia y el rizo como

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

A diferencia de la derivada vectorial, ni el operador de derivada interior ni el operador de derivada exterior son invertibles.

La derivada con respecto a un vector como se discutió anteriormente se puede generalizar a una derivada con respecto a un multivector general, llamada derivada multivectorial .

Sea una función multivectorial de un multivector. La derivada direccional de con respecto a en la dirección , donde y son multivectores, se define como${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A*\partial _{X}F(X)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {F(X+\epsilon A)-F(X)}{\epsilon }}\ ,}$

donde es el producto escalar . Con una base vectorial y la base dual correspondiente , la derivada multivectorial se define en términos de la derivada direccional como ^[2]${\displaystyle A*B=\langle AB\rangle }$${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \{e^{i}\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}=\partial _{X}=\sum _{i<\dots <j}e^{i}\wedge \cdots \wedge e^{j}(e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{i})*\partial _{X}\ .}$

Esta ecuación simplemente se expresa en términos de componentes en una base recíproca de cuchillas, como se analiza en la sección del artículo Álgebra geométrica#Base dual .${\displaystyle \partial _{X}}$

Una propiedad clave de la derivada multivectorial es que

${\displaystyle \partial _{X}\langle XA\rangle =P_{X}(A)\ ,}$

donde es la proyección de sobre las calificaciones contenidas en .${\displaystyle P_{X}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

La derivada multivectorial encuentra aplicaciones en la teoría de campos lagrangianos .

Sea un conjunto de vectores base que abarcan un espacio vectorial de dimensión . A partir del álgebra geométrica, interpretamos que el pseudoescalar es el volumen con signo del paralelotopo subtendido por estos vectores base. Si los vectores base son ortonormales , entonces este es el pseudoescalar unitario.${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$${\displaystyle n}$

En términos más generales, podemos restringirnos a un subconjunto de los vectores base, donde , para tratar la longitud, el área u otro volumen general de un subespacio en el espacio vectorial de dimensión general. Denotamos estos vectores base seleccionados por . Un volumen general del paralelótopo subtendido por estos vectores base es el multivector de grado .${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$

De manera más general, podemos considerar un nuevo conjunto de vectores proporcionales a los vectores base, donde cada uno de ellos es un componente que escala uno de los vectores base. Somos libres de elegir componentes tan infinitesimalmente pequeños como queramos, siempre que permanezcan distintos de cero. Dado que el producto externo de estos términos puede interpretarse como un -volumen, una forma natural de definir una medida es${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la medida es siempre proporcional a la unidad pseudoescalar de un subespacio de dimensión 1 del espacio vectorial. Compárese la forma de volumen de Riemann en la teoría de formas diferenciales. La integral se toma con respecto a esta medida:${\displaystyle k}$

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

Más formalmente, considere un volumen dirigido del subespacio. Podemos dividir este volumen en una suma de símplices . Sean las coordenadas de los vértices. En cada vértice asignamos una medida como la medida promedio de los símplices que comparten el vértice. Entonces, la integral de con respecto a sobre este volumen se obtiene en el límite de una partición más fina del volumen en símplices más pequeños:${\displaystyle V}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x_{i}).}$

La razón para definir la derivada y la integral del vector como se indica anteriormente es que permiten una fuerte generalización del teorema de Stokes . Sea una función multivectorial de entrada de grado y posición general , lineal en su primer argumento. Entonces, el teorema fundamental del cálculo geométrico relaciona la integral de una derivada sobre el volumen con la integral sobre su frontera:${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

Como ejemplo, supongamos que una función con valores vectoriales y un multivector de grado ( ) . Encontramos que${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

Asimismo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

Así recuperamos el teorema de divergencia ,

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

Una superficie suficientemente lisa en un espacio de dimensión 1 se considera una variedad . A cada punto de la variedad, podemos unir una cuchilla tangente a la variedad. Localmente, actúa como un pseudoescalar del espacio de dimensión 2. Esta cuchilla define una proyección de vectores sobre la variedad:${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

Así como la derivada vectorial se define sobre todo el espacio dimensional, es posible que deseemos definir una derivada intrínseca , definida localmente en la variedad:${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(Nota: El lado derecho de lo anterior puede no estar en el espacio tangente a la variedad. Por lo tanto, no es lo mismo que , que necesariamente sí está en el espacio tangente).${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$

Si es un vector tangente a la variedad, entonces, de hecho, tanto la derivada vectorial como la derivada intrínseca dan la misma derivada direccional:${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

Aunque esta operación es perfectamente válida, no siempre es útil porque no necesariamente está en la variedad. Por lo tanto, definimos la derivada covariante como la proyección forzada de la derivada intrínseca de vuelta a la variedad:${\displaystyle \partial F}$

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

Dado que cualquier multivector general puede expresarse como una suma de una proyección y un rechazo, en este caso

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

Introducimos una nueva función, el tensor de forma , que satisface${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

donde es el producto del conmutador . En una base de coordenadas local que abarca la superficie tangente, el tensor de forma está dado por${\displaystyle \times }$${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

Es importante destacar que, en una variedad general, la derivada covariante no conmuta. En particular, el conmutador está relacionado con el tensor de forma por

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

Es evidente que el término es de interés. Sin embargo, al igual que la derivada intrínseca, no está necesariamente en la variedad. Por lo tanto, podemos definir el tensor de Riemann como la proyección hacia atrás sobre la variedad:${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

Por último, si es de grado , entonces podemos definir las derivadas covariantes interiores y exteriores como${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

y lo mismo para la derivada intrínseca.

En una variedad, localmente podemos asignar una superficie tangente generada por un conjunto de vectores base . Podemos asociar los componentes de un tensor métrico , los símbolos de Christoffel y el tensor de curvatura de Riemann de la siguiente manera:${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

Estas relaciones integran la teoría de la geometría diferencial dentro del cálculo geométrico.

En un sistema de coordenadas local ( ), las diferenciales de coordenadas , ..., forman un conjunto básico de formas unitarias dentro del diagrama de coordenadas . Dado un índice múltiple con para , podemos definir una forma unitaria ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle dx^{1}}$${\displaystyle dx^{n}}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$${\displaystyle 1\leq p\leq k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Alternativamente, podemos introducir un multivector de grado como${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

y una medida

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Aparte de una sutil diferencia en el significado del producto exterior con respecto a las formas diferenciales versus el producto exterior con respecto a los vectores (en el primero los incrementos son covectores, mientras que en el segundo representan escalares), vemos las correspondencias de la forma diferencial

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

su derivado

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

y su dual Hodge

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

Incorporar la teoría de formas diferenciales dentro del cálculo geométrico.

A continuación se muestra un diagrama que resume la historia del cálculo geométrico.

• Macdonald, Alan (2012). Cálculo vectorial y geométrico. Charleston: CreateSpace. ISBN 9781480132450.OCLC 829395829  .