Conexión Levi-Civita

En la geometría riemanniana o pseudo-riemanniana (en particular la geometría lorentziana de la relatividad general ), la conexión de Levi-Civita es la única conexión afín en el fibrado tangente de una variedad (es decir, conexión afín ) que preserva la métrica ( pseudo- ) riemanniana y está libre de torsión .

El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que existe una conexión única que satisface estas propiedades.

En la teoría de variedades de Riemann y pseudo-Riemann se suele utilizar el término derivada covariante para la conexión de Levi-Civita. Los componentes (coeficientes de estructura) de esta conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel .

La conexión Levi-Civita debe su nombre a Tullio Levi-Civita , aunque originalmente fue "descubierta" por Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, ^[1] junto con Gregorio Ricci-Curbastro , utilizaron los símbolos de Christoffel ^[2] para definir la noción de transporte paralelo y explorar la relación del transporte paralelo con la curvatura , desarrollando así la noción moderna de holonomía . ^[3]

En 1869, Christoffel descubrió que las componentes de la derivada intrínseca de un campo vectorial, al cambiar el sistema de coordenadas, se transforman en las componentes de un vector contravariante. Este descubrimiento fue el verdadero comienzo del análisis tensorial.

En 1906, LEJ Brouwer fue el primer matemático en considerar el transporte paralelo de un vector para el caso de un espacio de curvatura constante . ^{[4] [5]}

En 1917, Levi-Civita señaló su importancia para el caso de una hipersuperficie inmersa en un espacio euclidiano , es decir, para el caso de una variedad riemanniana incrustada en un espacio ambiental "más grande". ^[1] Interpretó la derivada intrínseca en el caso de una superficie incrustada como el componente tangencial de la derivada usual en el espacio afín ambiental. Las nociones de Levi-Civita de derivada intrínseca y desplazamiento paralelo de un vector a lo largo de una curva tienen sentido en una variedad riemanniana abstracta, aunque la motivación original se basaba en una incrustación específica.${\displaystyle M^{n}\subconjunto \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

En 1918, independientemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtuvo resultados análogos. ^[6] Ese mismo año, Hermann Weyl generalizó los resultados de Levi-Civita. ^{[7] [8]}

• ( M , g ) denota una variedad pseudo-riemanniana .
• TM es el fibrado tangente de M .
• g es la métrica pseudo-Riemanniana de M .
• X , Y , Z son campos vectoriales suaves en M , es decir, secciones suavesde TM .
• [ X , Y ] es el corchete de Lie de X e Y . Es nuevamente un campo vectorial suave.

La métrica g puede tomar hasta dos vectores o campos vectoriales X , Y como argumentos. En el primer caso, la salida es un número, el producto interno (pseudo) de X e Y . En el segundo caso, el producto interno de X _p , Y _p se toma en todos los puntos p en la variedad de modo que g ( X , Y ) define una función suave en M . Los campos vectoriales actúan (por definición) como operadores diferenciales en funciones suaves. En coordenadas locales , la acción se lee${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\parcial }{\parcial x^{i}}}f=X^{i}\parcial _{i}f}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Una conexión afín se denomina conexión Levi-Civita si${\displaystyle \nabla}$

1. conserva la métrica , es decir, .${\displaystyle \nabla g=0}$
2. es libre de torsión , es decir, para cualquier campo vectorial y tenemos , donde es el corchete de Lie de los campos vectoriales y .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$${\estilo de visualización [X,Y]}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$

La condición 1 anterior se denomina a veces compatibilidad con la métrica , y la condición 2 a veces simetría, véase el texto de Do Carmo. ^[9]

Teorema Cada variedad pseudo-riemanniana tiene una conexión de Levi Civita única .${\estilo de visualización (M,g)}$${\displaystyle \nabla}$

Prueba : ^{[10] [11]} Para demostrar la unicidad, desentrañe la definición de la acción de una conexión sobre tensores para encontrar

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g (Y,\nabla _{X}Z)}$.

Por lo tanto, se puede escribir la condición que preserva la métrica como${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$.

Por la simetría de ,${\estilo de visualización g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X) ){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g( \nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)}$.

Por lo tanto, por ausencia de torsión, el lado derecho es igual a

${\displaystyle 2g(\nabla _ {X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$.

Así, la fórmula de Koszul

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}}$

se cumple. Por lo tanto, si existe una conexión de Levi-Civita, debe ser única, porque es arbitraria, no es degenerada y el lado derecho no depende de . ${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \nabla}$

Para demostrar la existencia, nótese que para un campo vectorial dado y , el lado derecho de la expresión de Koszul es lineal sobre funciones suaves en el campo vectorial , no solo lineal real. Por lo tanto, por la no degeneración de , el lado derecho define de manera única un nuevo campo vectorial, que se denota sugestivamente como en el lado izquierdo. Al sustituir la fórmula de Koszul, ahora se comprueba que para todos los campos vectoriales y todas las funciones ,${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \nabla_{X}Y}$${\estilo de visualización X, Y, Z}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle g(\nabla _ {X}(Y_ {1}+Y_ {2}),Z)=g(\nabla _ {X}Y_ {1},Z)+g(\nabla _ {X} Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _ {X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _ {X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _ {X}Y,Z)-g(\nabla _ {Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Por lo tanto, la expresión de Koszul define, de hecho, una conexión, y esta conexión es compatible con la métrica y está libre de torsión, es decir, es una conexión de Levi-Civita.

Con pequeñas variaciones, la misma prueba muestra que existe una conexión única que es compatible con la métrica y tiene torsión prescrita.

Sea una conexión afín en el fibrado tangente. Elija coordenadas locales con campos vectoriales de base de coordenadas y escriba para . Los símbolos de Christoffel de con respecto a estas coordenadas se definen como${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle \parcial _{1},\ldots ,\parcial _{n}}$${\displaystyle \nabla _{j}}$${\displaystyle \nabla _ {\partial _ {j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Los símbolos de Christoffel definen inversamente la conexión en el entorno de coordenadas porque${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&= X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k} )\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j} (Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{ \bigl (}\parcial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

eso es,

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Una conexión afín es compatible con una métrica si y solo si${\displaystyle \nabla}$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

es decir, si y sólo si

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Una conexión afín ∇ está libre de torsión si y solo si

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

es decir, si y sólo si

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

es simétrico en sus dos índices inferiores.

Como se comprueba tomando para , campos de vectores de coordenadas (o se calcula directamente), la expresión de Koszul de la conexión de Levi-Civita derivada anteriormente es equivalente a una definición de los símbolos de Christoffel en términos de la métrica como${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

donde como es habitual son los coeficientes del tensor métrico dual, es decir, las entradas de la inversa de la matriz .${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle g_{kl}}$

La conexión de Levi-Civita (como cualquier conexión afín) también define una derivada a lo largo de las curvas , a veces denotada por D .

Dada una curva suave γ en ( M , g ) y un campo vectorial V a lo largo de γ su derivada está definida por

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Formalmente, D es la conexión de retroceso γ *∇ en el fibrado de retroceso γ * TM .

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la curva γ misma. Si se anula, la curva se denomina geodésica de la derivada covariante. Formalmente, la condición se puede reformular como la desaparición de la conexión de pullback aplicada a :${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Si la derivada covariante es la conexión de Levi-Civita de una determinada métrica, entonces las geodésicas para la conexión son precisamente aquellas geodésicas de la métrica que están parametrizadas proporcionalmente a su longitud de arco.

En general, el transporte paralelo a lo largo de una curva con respecto a una conexión define isomorfismos entre los espacios tangentes en los puntos de la curva. Si la conexión es una conexión de Levi-Civita, entonces estos isomorfismos son ortogonales , es decir, conservan los productos internos en los distintos espacios tangentes.

Las imágenes a continuación muestran el transporte paralelo inducido por la conexión de Levi-Civita asociada a dos métricas de Riemann diferentes en el plano perforado . La curva a lo largo de la cual se realiza el transporte paralelo es el círculo unitario. En coordenadas polares , la métrica de la izquierda es la métrica euclidiana estándar , mientras que la métrica de la derecha es . La primera métrica se extiende a todo el plano, pero la segunda métrica tiene una singularidad en el origen:${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$.

Advertencia: Se trata de un transporte paralelo en el plano perforado a lo largo del círculo unitario, no de un transporte paralelo en el círculo unitario. De hecho, en la primera imagen, los vectores quedan fuera del espacio tangente al círculo unitario.

Sea ⟨ , ⟩ el producto escalar usual en R ³ . Sea S ² la esfera unitaria en R ³ . El espacio tangente a S ² en un punto m se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de R ³ que consiste en todos los vectores ortogonales a m . De ello se deduce que un campo vectorial Y en S ² puede verse como una función Y  : S ² → R ³ , que satisface${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Denotemos como d _m Y la diferencial de la función Y en el punto m . Entonces tenemos:

De hecho, esta conexión es la conexión de Levi-Civita para la métrica en S ² heredada de R ³ . De hecho, se puede comprobar que esta conexión preserva la métrica.

Si la métrica en una clase conforme se reemplaza por la métrica reescalada conformemente de la misma clase , entonces la conexión de Levi-Civita se transforma de acuerdo con la regla ^[12] donde es el campo vectorial gradiente de es decir, el campo vectorial -dual a , en coordenadas locales dadas por . De hecho, es trivial verificar que está libre de torsión. Para verificar la metricidad, suponga que es constante. En ese caso,${\displaystyle g}$${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle d\gamma }$${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$${\displaystyle g(Y,Y)}$$${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

Como aplicación, considere nuevamente la esfera unitaria, pero esta vez bajo proyección estereográfica , de modo que la métrica (en coordenadas complejas de Fubini–Study ) es: Esto muestra la métrica de la esfera como conformemente plana, con la métrica euclidiana , con . Tenemos , y entonces Con el gradiente euclidiano , tenemos Estas relaciones, junto con sus conjugados complejos, definen los símbolos de Christoffel para la biesfera.${\displaystyle z,{\bar {z}}}$$${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$

• Conexión Weitzenböck

• Boothby, William M. (1986). Introducción a las variedades diferenciables y a la geometría de Riemann . Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial . John Wiley e hijos. ISBN 0-470-49647-9.Ver Tomo I pag. 158

• "Conexión Levi-Civita", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: La conexión entre Levi y Civita
• PlanetMath: La conexión entre Levi y Civita
• Conexión Levi-Civita en el Atlas Manifold