Diferenciabilidad estricta

En matemáticas , la diferenciabilidad estricta es una modificación de la noción habitual de diferenciabilidad de funciones que resulta especialmente adecuada para el análisis p-ádico . En resumen, la definición se vuelve más restrictiva al permitir que ambos puntos utilizados en el cociente de diferencias se "muevan".

El escenario más simple en el que se puede considerar la diferenciabilidad estricta es el de una función de valor real definida en un intervalo I de la recta real. La función f : I  →  R se dice que es estrictamente diferenciable en un punto a  ∈  I si

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,a)}{\frac {f(x)-f(y)}{xy}}}$

existe, donde debe considerarse como límite en , y por supuesto requiere .${\displaystyle (x,y)\to (a,a)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x\neq y}$

Una función estrictamente diferenciable es obviamente diferenciable, pero la inversa es errónea, como se puede ver en el contraejemplo.

${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\tfrac {1}{x}},\ f(0)=0,~x_{n}={\tfrac {1}{(n+{ \frac {1}{2}})\pi }},\ y_{n}=x_{n+1}.}$

Sin embargo, se tiene la equivalencia de diferenciabilidad estricta en un intervalo I y de ser de clase diferenciable (es decir, continuamente diferenciable).$Estilo de visualización C^{1}(I)}$

En analogía con la derivada de Fréchet , la definición anterior se puede generalizar al caso en que R se reemplaza por un espacio de Banach E (tal como ), y se requiere la existencia de una función lineal continua L tal que${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(x)-f(y)=L(xy)+\operatorname {o} \limita _{(x,y)\to (a,a)}(|xy|)}$

donde se define de forma natural en E  ×  E .${\displaystyle o(\cdot )}$

En el contexto p -ádico, la definición habitual de la derivada no tiene ciertas propiedades deseables. Por ejemplo, es posible que una función que no sea constante localmente tenga derivada cero en todas partes. Un ejemplo de esto lo proporciona la función F : Z _p → Z _p , donde Z _p es el anillo de números enteros p-ádicos , definido por

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}p^{2}&{\text{si }}x\equiv p{\pmod {p^{3}}}\\p^{4}&{\text{si }}x\equiv p^{2}{\pmod {p^{5}}}\\p^{6}&{\text{si }}x\equiv p^{3}{\pmod {p^{7}}}\\\vdots &\vdots \\0&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}}$

Se comprueba que la derivada de F , según la definición usual de la derivada, existe y es cero en todas partes, incluso en x = 0. Es decir, para cualquier x en Z _p ,

${\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=0.}$

Sin embargo, F no es localmente constante en el origen.

El problema con esta función es que los cocientes de diferencia

${\displaystyle {\frac {F(y)-F(x)}{yx}}}$

no se aproximan a cero para x e y cercanas a cero. Por ejemplo, tomando x = p ⁿ − p ^{2 n} e y = p ⁿ , tenemos

${\displaystyle {\frac {F(y)-F(x)}{yx}}={\frac {p^{2n}-0}{p^{n}-(p^{n}-p^{2n})}}=1,}$

que no se aproxima a cero. La definición de diferenciabilidad estricta evita este problema al imponer una condición directamente sobre los cocientes de diferencias.

Sea K una extensión completa de Q _p (por ejemplo K = C _p ), y sea X un subconjunto de K sin puntos aislados. Entonces se dice que una función F  : X → K es estrictamente diferenciable en x  =  a si el límite

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,a)}{\frac {F(y)-F(x)}{yx}}}$

existe.

• Alain M. Robert (2000). Un curso de análisis p -ádico . Springer. ISBN 0-387-98669-3.