Distribución beta

Beta

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Notación	Beta( α , β )
Parámetros	α > 0 forma ( real ) β > 0 forma ( real )
Apoyo	${\displaystyle x\in [0,1]\!}$o${\displaystyle x\in (0,1)\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$ donde y es la función Gamma .${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$${\displaystyle \Gamma }$
CDF	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$ (la función beta incompleta regularizada )
Significar	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!}$ (ver apartado: Media geométrica) ¿Dónde está la función digamma?${\displaystyle \psi }$
Mediana	${\displaystyle {\begin{matrix}I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta ){\text{ (in general) }}\\[0.5em]\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta >1\end{matrix}}}$
Modo	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}$para α , β > 1 cualquier valor en para α , β = 1${\displaystyle (0,1)}$ {0, 1} (bimodal) para α , β < 1 0 para α ≤ 1, β ≥ 1, α ≠ β 1 para α ≥ 1, β ≤ 1, α ≠ β
Diferencia	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}$ (ver función trigamma y ver sección: Varianza geométrica)
Oblicuidad	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Exceso de curtosis	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Entropía	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]{}+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
CF	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}$(ver Función hipergeométrica confluente )
Información de Fisher	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}$ Ver sección: Matriz de información de Fisher
Método de momentos	${\displaystyle \alpha =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)E[X]}$ ${\displaystyle \beta =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])}$

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución beta es una familia de distribuciones de probabilidad continuas definidas en el intervalo [0, 1] o (0, 1) en términos de dos parámetros positivos , denotados por alfa ( α ) y beta ( β ), que aparecen como exponentes de la variable y su complemento a 1, respectivamente, y controlan la forma de la distribución.

La distribución beta se ha aplicado para modelar el comportamiento de variables aleatorias limitadas a intervalos de longitud finita en una amplia variedad de disciplinas. La distribución beta es un modelo adecuado para el comportamiento aleatorio de porcentajes y proporciones.

En la inferencia bayesiana , la distribución beta es la distribución de probabilidad previa conjugada para las distribuciones de Bernoulli , binomial , binomial negativa y geométrica .

La formulación de la distribución beta que se analiza aquí también se conoce como distribución beta de primer tipo , mientras que la distribución beta de segundo tipo es un nombre alternativo para la distribución beta prima . La generalización a múltiples variables se denomina distribución de Dirichlet .

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución beta, para o , y parámetros de forma , , es una función de potencia de la variable y de su reflejo como sigue:${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (1-x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

donde es la función gamma . La función beta , , es una constante de normalización para garantizar que la probabilidad total sea 1. En las ecuaciones anteriores hay una realización —un valor observado que realmente ocurrió— de una variable aleatoria .${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \mathrm {B} }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Varios autores, incluidos NL Johnson y S. Kotz , ^[1] utilizan los símbolos y (en lugar de y ) para los parámetros de forma de la distribución beta, que recuerdan a los símbolos utilizados tradicionalmente para los parámetros de la distribución de Bernoulli , porque la distribución beta se aproxima a la distribución de Bernoulli en el límite cuando ambos parámetros de forma y se aproximan al valor de cero.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

A continuación, se presenta una variable aleatoria con distribución beta y parámetros y que se denotará por: ^{[2] [3]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

Otras notaciones para variables aleatorias distribuidas en beta utilizadas en la literatura estadística son ^[4] y ^[5] .${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}$

donde es la función beta incompleta y es la función beta incompleta regularizada .${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$

La distribución beta también puede ser reparametrizada en términos de su media μ (0 < μ < 1) y la suma de los dos parámetros de forma ν = α + β > 0 ( ^[3] p. 83). Denotando por αPosterior y βPosterior los parámetros de forma de la distribución beta posterior resultante de aplicar el teorema de Bayes a una función de verosimilitud binomial y una probabilidad previa, la interpretación de la suma de ambos parámetros de forma como tamaño de muestra = ν = α ·Posterior + β ·Posterior solo es correcta para la probabilidad previa de Haldane Beta(0,0). Específicamente, para la previa de Bayes (uniforme) Beta(1,1) la interpretación correcta sería tamaño de muestra = α ·Posterior + β  Posterior − 2, o ν = (tamaño de muestra) + 2. Para un tamaño de muestra mucho mayor que 2, la diferencia entre estas dos previas se vuelve insignificante. (Ver la sección Inferencia bayesiana para más detalles.) ν = α + β se conoce como el "tamaño de muestra" de una distribución beta, pero uno debe recordar que es, estrictamente hablando, el "tamaño de muestra" de una función de verosimilitud binomial solo cuando se utiliza una distribución previa Haldane Beta(0,0) en el teorema de Bayes.

Esta parametrización puede ser útil en la estimación de parámetros bayesianos. Por ejemplo, se puede administrar una prueba a un número de individuos. Si se supone que la puntuación de cada persona (0 ≤ θ ≤ 1) se extrae de una distribución beta a nivel de población, entonces una estadística importante es la media de esta distribución a nivel de población. Los parámetros de media y tamaño de muestra están relacionados con los parámetros de forma α y β a través de ^[3].

α = μν , β = (1 − μ ) ν

Bajo esta parametrización , se puede colocar una probabilidad previa no informativa sobre la media y una probabilidad previa vaga (como una distribución exponencial o gamma ) sobre los reales positivos para el tamaño de la muestra, si son independientes y los datos y/o creencias previos lo justifican.

Las distribuciones beta cóncavas , que tienen , se pueden parametrizar en términos de moda y "concentración". La moda, , y la concentración, , se pueden utilizar para definir los parámetros de forma habituales de la siguiente manera: ^[6]${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$${\displaystyle \omega ={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$${\displaystyle \kappa =\alpha +\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\omega (\kappa -2)+1\\\beta &=(1-\omega )(\kappa -2)+1\end{aligned}}}$

Para que la moda, , esté bien definida, necesitamos , o equivalentemente . Si en cambio definimos la concentración como , la condición se simplifica a y la densidad beta en y puede escribirse como:${\displaystyle 0<\omega <1}$${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$${\displaystyle \kappa >2}$${\displaystyle c=\alpha +\beta -2}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \alpha =1+c\omega }$${\displaystyle \beta =1+c(1-\omega )}$

${\displaystyle f(x;\omega ,c)={\frac {x^{c\omega }(1-x)^{c(1-\omega )}}{\mathrm {B} {\bigl (}1+c\omega ,1+c(1-\omega ){\bigr )}}}}$

donde escala directamente las estadísticas suficientes , y . Nótese también que en el límite, , la distribución se vuelve plana.${\displaystyle c}$${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \log(1-x)}$${\displaystyle c\to 0}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones (acopladas) dado en las secciones anteriores como las ecuaciones para la media y la varianza de la distribución beta en términos de los parámetros originales α y β , se pueden expresar los parámetros α y β en términos de la media ( μ ) y la varianza (var):

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\alpha +\beta ={\frac {\mu (1-\mu )}{\mathrm {var} }}-1,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0,{\text{ therefore: }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\alpha &=\mu \nu =\mu \left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\beta &=(1-\mu )\nu =(1-\mu )\left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu ).\end{aligned}}}$

Esta parametrización de la distribución beta puede llevar a una comprensión más intuitiva que la basada en los parámetros originales α y β . Por ejemplo, expresando la moda, la asimetría, el exceso de curtosis y la entropía diferencial en términos de la media y la varianza:

Una distribución beta con los dos parámetros de forma α y β se admite en el rango [0,1] o (0,1). Es posible alterar la ubicación y la escala de la distribución introduciendo dos parámetros adicionales que representan los valores mínimos, a , y máximos c ( c > a ), de la distribución, ^[1] mediante una transformación lineal que sustituye la variable adimensional x en términos de la nueva variable y (con soporte [ a , c ] o ( a , c )) y los parámetros a y c :

${\displaystyle y=x(c-a)+a,{\text{ therefore }}x={\frac {y-a}{c-a}}.}$

La función de densidad de probabilidad de la distribución beta de cuatro parámetros es igual a la distribución de dos parámetros, escalada por el rango ( c  −  a ), (de modo que el área total bajo la curva de densidad es igual a una probabilidad de uno), y con la variable "y" desplazada y escalada de la siguiente manera:

${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,a,c)={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{c-a}}={\frac {\left({\frac {y-a}{c-a}}\right)^{\alpha -1}\left({\frac {c-y}{c-a}}\right)^{\beta -1}}{(c-a)B(\alpha ,\beta )}}={\frac {(y-a)^{\alpha -1}(c-y)^{\beta -1}}{(c-a)^{\alpha +\beta -1}B(\alpha ,\beta )}}.}$

Que una variable aleatoria Y tenga una distribución beta con cuatro parámetros α, β, a y c se denotará por:

${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta ,a,c).}$

Algunas medidas de ubicación central se escalan (por ( c  −  a )) y se desplazan (por a ), de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}&=\mu _{X}(c-a)+a\\&=\left({\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)(c-a)+a={\frac {\alpha c+\beta a}{\alpha +\beta }}\\[8pt]{\text{mode}}(Y)&={\text{mode}}(X)(c-a)+a\\&=\left({\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\right)(c-a)+a={\frac {(\alpha -1)c+(\beta -1)a}{\alpha +\beta -2}}\ ,\qquad {\text{ if }}\alpha ,\beta >1\\[8pt]{\text{median}}(Y)&={\text{median}}(X)(c-a)+a\\&=\left(I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\right)(c-a)+a\end{aligned}}}$

Nota: la media geométrica y la media armónica no se pueden transformar mediante una transformación lineal como sí lo hacen la media, la mediana y la moda.

Los parámetros de forma de Y se pueden escribir en términos de su media y varianza como

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {(a-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\beta &=-{\frac {(c-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\end{aligned}}}$

Las medidas de dispersión estadística se escalan (no es necesario desplazarlas porque ya están centradas en la media) por el rango ( c  −  a ), linealmente para la desviación media y no linealmente para la varianza:

${\displaystyle {\text{(mean deviation around mean)}}(Y)=}$

${\displaystyle ({\text{(mean deviation around mean)}}(X))(c-a)={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}(c-a)}$

${\displaystyle {\text{var}}(Y)={\text{var}}(X)(c-a)^{2}={\frac {\alpha \beta (c-a)^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$

Dado que la asimetría y el exceso de curtosis son cantidades adimensionales (como momentos centrados en la media y normalizados por la desviación estándar ), son independientes de los parámetros a y c , y por lo tanto iguales a las expresiones dadas anteriormente en términos de X (con soporte [0,1] o (0,1)):

${\displaystyle {\text{skewness}}(Y)={\text{skewness}}(X)={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$

${\displaystyle {\text{kurtosis excess}}(Y)={\text{kurtosis excess}}(X)={\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$

La moda de una variable aleatoria distribuida beta X con α , β > 1 es el valor más probable de la distribución (correspondiente al pico en la PDF), y se da mediante la siguiente expresión: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$

Cuando ambos parámetros son menores que uno ( α , β < 1), este es el antimodo: el punto más bajo de la curva de densidad de probabilidad. ^[7]

Si α = β , la expresión para la moda se simplifica a 1/2, lo que demuestra que para α = β > 1 la moda (o antimoda cuando α , β < 1 ), está en el centro de la distribución: es simétrica en esos casos. Consulte la sección Formas de este artículo para obtener una lista completa de casos de moda, para valores arbitrarios de α y β . Para varios de estos casos, el valor máximo de la función de densidad ocurre en uno o ambos extremos. En algunos casos, el valor (máximo) de la función de densidad que ocurre en el extremo es finito. Por ejemplo, en el caso de α = 2, β = 1 (o α = 1, β = 2), la función de densidad se convierte en una distribución de triángulo rectángulo que es finita en ambos extremos. En varios otros casos, hay una singularidad en un extremo, donde el valor de la función de densidad se acerca al infinito. Por ejemplo, en el caso α = β = 1/2, la distribución beta se simplifica para convertirse en la distribución arcoseno . Existe un debate entre los matemáticos sobre algunos de estos casos y sobre si los extremos ( x = 0 y x = 1) pueden llamarse modos o no. ^{[8] [2]}

• Si los extremos son parte del dominio de la función de densidad
• Si una singularidad puede alguna vez ser llamada un modo
• ¿Los casos con dos máximos deben llamarse bimodales?

La mediana de la distribución beta es el único número real para el cual se obtiene la función beta incompleta regularizada . No existe una expresión general en forma cerrada para la mediana de la distribución beta para valores arbitrarios de α y β . A continuación se presentan expresiones en forma cerrada para valores particulares de los parámetros α y β : ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle x=I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}}$

• Para casos simétricos α = β , mediana = 1/2.
• Para α = 1 y β > 0, mediana (este caso es la imagen especular de la distribución de la función de potencia [0,1])${\displaystyle =1-2^{-1/\beta }}$
• Para α > 0 y β = 1, mediana = (en este caso se trata de la distribución de la función de potencia [0,1] ^[8] )${\displaystyle 2^{-1/\alpha }}$
• Para α = 3 y β = 2, la mediana = 0,6142724318676105..., la solución real de la ecuación cuártica 1 − 8 x ³ + 6 x ⁴ = 0, que se encuentra en [0,1].
• Para α = 2 y β = 3, mediana = 0,38572756813238945... = 1−mediana(Beta(3, 2))

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{median}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{median}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{median}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{median}}=0.\end{aligned}}}$

Una aproximación razonable del valor de la mediana de la distribución beta, tanto para α como para β mayores o iguales a uno, viene dada por la fórmula ^[9]

${\displaystyle {\text{median}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.}$

Cuando α, β ≥ 1, el error relativo (el error absoluto dividido por la mediana) en esta aproximación es menor que 4% y tanto para α ≥ 2 como para β ≥ 2 es menor que 1%. El error absoluto dividido por la diferencia entre la media y la moda es igualmente pequeño:

El valor esperado (media) ( μ ) de una variable aleatoria de distribución beta X con dos parámetros α y β es una función únicamente de la relación β / α de estos parámetros: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$

Si en la expresión anterior se toma α = β , se obtiene μ = 1/2 , lo que demuestra que para α = β la media está en el centro de la distribución: es simétrica. Además, se pueden obtener los siguientes límites a partir de la expresión anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para β / α → 0, o para α / β → ∞, la media se encuentra en el extremo derecho, x = 1. Para estas razones límite, la distribución beta se convierte en una distribución degenerada de un punto con un pico de función delta de Dirac en el extremo derecho, x = 1 , con probabilidad 1 y probabilidad cero en el resto. Hay una probabilidad del 100 % (certeza absoluta) concentrada en el extremo derecho, x = 1 .

De manera similar, para β / α → ∞, o para α / β → 0, la media se ubica en el extremo izquierdo, x = 0. La distribución beta se convierte en una distribución degenerada de 1 punto con un pico de función delta de Dirac en el extremo izquierdo, x = 0, con probabilidad 1 y probabilidad cero en todos los demás lugares. Hay una probabilidad del 100 % (certeza absoluta) concentrada en el extremo izquierdo, x = 0. A continuación se muestran los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se acerca a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\mu =\lim _{\alpha \to \infty }\mu =1\\\lim _{\alpha \to 0}\mu =\lim _{\beta \to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$

Mientras que para distribuciones unimodales típicas (con modas ubicadas centralmente, puntos de inflexión a ambos lados de la moda y colas más largas) (con Beta( α ,  β ) tal que α , β > 2 ) se sabe que la media de la muestra (como una estimación de la ubicación) no es tan robusta como la mediana de la muestra, lo opuesto es el caso de distribuciones bimodales uniformes o "en forma de U" (con Beta( α ,  β ) tal que α , β ≤ 1 ), con las modas ubicadas en los extremos de la distribución. Como señalan Mosteller y Tukey ( ^[10] p. 207) "el promedio de las dos observaciones extremas utiliza toda la información de la muestra. Esto ilustra cómo, para distribuciones de cola corta, las observaciones extremas deberían tener más peso". Por el contrario, se deduce que la mediana de las distribuciones bimodales "en forma de U" con modas en el borde de la distribución (con Beta( α ,  β ) tal que α , β ≤ 1 ) no es robusta, ya que la mediana de la muestra excluye las observaciones de muestra extremas de la consideración. Una aplicación práctica de esto ocurre, por ejemplo, para los paseos aleatorios , ya que la probabilidad para el momento de la última visita al origen en un paseo aleatorio se distribuye como la distribución de arcoseno Beta(1/2, 1/2): ^{[5] [11]} la media de un número de realizaciones de un paseo aleatorio es un estimador mucho más robusto que la mediana (que es una estimación de medida de muestra inapropiada en este caso).

El logaritmo de la media geométrica G _X de una distribución con variable aleatoria X es la media aritmética de ln( X ), o, equivalentemente, su valor esperado:

${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$

Para una distribución beta, la integral del valor esperado da:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$

donde ψ es la función digamma .

Por lo tanto, la media geométrica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es la exponencial de las funciones digamma de α y β como sigue:

${\displaystyle G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}}$

Mientras que para una distribución beta con parámetros de forma iguales α = β, se deduce que asimetría = 0 y moda = media = mediana = 1/2, la media geométrica es menor que 1/2: 0 < G _X < 1/2 . La razón de esto es que la transformación logarítmica pondera fuertemente los valores de X cercanos a cero, ya que ln( X ) tiende fuertemente hacia el infinito negativo a medida que X se acerca a cero, mientras que ln( X ) se aplana hacia cero a medida que X → 1 .

A lo largo de una línea α = β , se aplican los siguientes límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$

A continuación se presentan los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}}$

El gráfico adjunto muestra la diferencia entre la media y la media geométrica para los parámetros de forma α y β desde cero hasta 2. Además del hecho de que la diferencia entre ellos se acerca a cero a medida que α y β se acercan al infinito y que la diferencia se hace grande para los valores de α y β que se acercan a cero, se puede observar una evidente asimetría de la media geométrica con respecto a los parámetros de forma α y β. La diferencia entre la media geométrica y la media es mayor para valores pequeños de α en relación con β que cuando se intercambian las magnitudes de β y α.

NLJohnson y S. Kotz ^[1] sugieren la aproximación logarítmica a la función digamma ψ ( α ) ≈ ln( α  − 1/2) que da como resultado la siguiente aproximación a la media geométrica:

${\displaystyle G_{X}\approx {\frac {\alpha \,-{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

Los valores numéricos para el error relativo en esta aproximación son los siguientes: [ ( α = β = 1): 9,39 % ]; [ ( α = β =2): 1,29% ]; [ ( α = 2, β = 3): 1,51% ]; [ ( α = 3, β = 2): 0,44% ]; [ ( α = β = 3): 0,51% ]; [ ( α = β = 4): 0,26% ]; [ ( α = 3, β = 4): 0,55% ]; [ ( α = 4, β = 3): 0,24% ].

De manera similar, se puede calcular el valor de los parámetros de forma necesarios para que la media geométrica sea igual a 1/2. Dado el valor del parámetro β , ¿cuál sería el valor del otro parámetro,  α , necesario para que la media geométrica sea igual a 1/2?. La respuesta es que (para β > 1 ), el valor de α necesario tiende hacia β + 1/2 cuando β → ∞ . Por ejemplo, todas estas parejas tienen la misma media geométrica de 1/2: [ β = 1, α = 1.4427 ], [ β = 2, α = 2.46958 ], [ β = 3, α = 3.47943 ], [ β = 4, α = 4.48449 ], [ β = 5, α = 5.48756 ], [ β = 10, α = 10,4938 ], [ β = 100, α = 100,499 ].

La propiedad fundamental de la media geométrica, que puede demostrarse falsa para cualquier otra media, es

${\displaystyle G\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {G(X_{i})}{G(Y_{i})}}}$

Esto hace que la media geométrica sea la única media correcta cuando se promedian resultados normalizados , es decir, resultados que se presentan como proporciones de valores de referencia. ^[12] Esto es relevante porque la distribución beta es un modelo adecuado para el comportamiento aleatorio de los porcentajes y es particularmente adecuada para el modelado estadístico de proporciones. La media geométrica juega un papel central en la estimación de máxima verosimilitud, véase la sección "Estimación de parámetros, máxima verosimilitud". En realidad, cuando se realiza la estimación de máxima verosimilitud, además de la media geométrica G _X basada en la variable aleatoria X, también aparece naturalmente otra media geométrica: la media geométrica basada en la transformación lineal –– (1 − X ) , la imagen especular de X , denotada por G _{(1− X )} :

${\displaystyle G_{(1-X)}=e^{\operatorname {E} [\ln(1-X)]}=e^{\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )}}$

A lo largo de una línea α = β , se aplican los siguientes límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{(1-X)}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{(1-X)}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$

A continuación se presentan los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{(1-X)}=0\\\lim _{\alpha \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }G_{(1-X)}=1\end{aligned}}}$

Tiene el siguiente valor aproximado:

${\displaystyle G_{(1-X)}\approx {\frac {\beta -{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

Aunque tanto G _X como G _{(1− X )} son asimétricas, en el caso de que ambos parámetros de forma sean iguales α = β , las medias geométricas son iguales: G _X = G _{(1− X )} . Esta igualdad se desprende de la siguiente simetría que se muestra entre ambas medias geométricas:

${\displaystyle G_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=G_{(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$

La inversa de la media armónica ( H _X ) de una distribución con variable aleatoria X es la media aritmética de 1/ X o, equivalentemente, su valor esperado. Por lo tanto, la media armónica ( H _X ) de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{X}&={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{x}}\,dx}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{x\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx}}\\&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\alpha >1{\text{ and }}\beta >0\\\end{aligned}}}$

La media armónica ( H _X ) de una distribución beta con α < 1 no está definida, porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1] para un parámetro de forma α menor que la unidad.

Dejando α = β en la expresión anterior se obtiene

${\displaystyle H_{X}={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}},}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

A continuación se presentan los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}H_{X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\alpha \to 1}H_{X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{X}=0\\&\lim _{\beta \to 0}H_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{X}=1\end{aligned}}}$

La media armónica desempeña un papel en la estimación de máxima verosimilitud para el caso de cuatro parámetros, además de la media geométrica. En realidad, al realizar la estimación de máxima verosimilitud para el caso de cuatro parámetros, además de la media armónica H _X basada en la variable aleatoria X , también aparece naturalmente otra media armónica: la media armónica basada en la transformación lineal (1 −  X ), la imagen especular de X , denotada por H _{1 −  X} :

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]}}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1,{\text{ and }}\alpha >0.}$

La media armónica ( H _{(1 −  X )} ) de una distribución beta con β < 1 no está definida, porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1] para un parámetro de forma β menor que la unidad.

Dejando α = β en la expresión anterior se obtiene

${\displaystyle H_{(1-X)}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}},}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

A continuación se presentan los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Aunque tanto H _X como H _{1− X} son asimétricas, en el caso de que ambos parámetros de forma sean iguales α = β , las medias armónicas son iguales: H _X ​​= H _{1− X} . Esta igualdad se desprende de la siguiente simetría que se muestra entre ambas medias armónicas:

${\displaystyle H_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=H_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )){\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

La varianza (el segundo momento centrado en la media) de una variable aleatoria de distribución beta X con parámetros α y β es: ^{[1] [13]}

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$

Dejando α = β en la expresión anterior se obtiene

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}},}$

mostrando que para α = β la varianza disminuye monótonamente a medida que α = β aumenta. Fijando α = β = 0 en esta expresión, se encuentra la varianza máxima var( X ) = 1/4 ^[1] que solo ocurre al acercarse al límite, en α = β = 0 .

La distribución beta también puede parametrizarse en términos de su media μ (0 < μ < 1) y tamaño de muestra ν = α + β ( ν > 0 ) (ver subsección Media y tamaño de muestra):

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0\\\beta &=(1-\mu )\nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$

Utilizando esta parametrización , se puede expresar la varianza en términos de la media μ y el tamaño de la muestra ν de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {\mu (1-\mu )}{1+\nu }}}$

Dado que ν = α + β > 0 , se deduce que var( X ) < μ (1 − μ ) .

Para una distribución simétrica, la media está en el medio de la distribución, μ = 1/2 , y por lo tanto:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(1+\nu )}}{\text{ if }}\mu ={\tfrac {1}{2}}}$

Además, los siguientes límites (con sólo la variable indicada acercándose al límite) se pueden obtener a partir de las expresiones anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to 0}\operatorname {var} (X)=\mu (1-\mu )\end{aligned}}}$

El logaritmo de la varianza geométrica, ln(var _GX ), de una distribución con variable aleatoria X es el segundo momento del logaritmo de X centrado en la media geométrica de X , ln( G _X ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var} _{GX}&=\operatorname {E} \left[(\ln X-\ln G_{X})^{2}\right]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} \left[\ln X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(\ln X)^{2}\right]-(\operatorname {E} [\ln X])^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln X]\end{aligned}}}$

y por lo tanto, la varianza geométrica es:

${\displaystyle \operatorname {var} _{GX}=e^{\operatorname {var} [\ln X]}}$

En la matriz de información de Fisher , y la curvatura de la función de verosimilitud logarítmica , aparecen el logaritmo de la varianza geométrica de la variable  reflejada 1 − X y el logaritmo de la covarianza geométrica entre X y 1 −  X :

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var_{G(1-X)}} &=\operatorname {E} [(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})^{2}]\\&=\operatorname {E} [(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])^{2}]\\&=\operatorname {E} [(\ln(1-X))^{2}]-(\operatorname {E} [\ln(1-X)])^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {var_{G(1-X)}} &=e^{\operatorname {var} [\ln(1-X)]}\\&\\\ln \operatorname {cov_{G{X,1-X}}} &=\operatorname {E} [(\ln X-\ln G_{X})(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} [\ln X])(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])]\\&=\operatorname {E} \left[\ln X\ln(1-X)\right]-\operatorname {E} [\ln X]\operatorname {E} [\ln(1-X)]\\&=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {cov} _{G{X,(1-X)}}&=e^{\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]}\end{aligned}}}$

Para una distribución beta, se pueden derivar momentos logarítmicos de orden superior utilizando la representación de una distribución beta como proporción de dos distribuciones gamma y diferenciando a través de la integral. Se pueden expresar en términos de funciones poligamma de orden superior. Véase la sección § Momentos de variables aleatorias transformadas logarítmicamente. La varianza de las variables logarítmicas y la covarianza de ln  X y ln(1− X ) son:

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

donde la función trigamma , denotada ψ ₁ (α), es la segunda de las funciones poligamma , y ​​se define como la derivada de la función digamma :

${\displaystyle \psi _{1}(\alpha )={\frac {d^{2}\ln \Gamma (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}={\frac {d\,\psi (\alpha )}{d\alpha }}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}=\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,1-X}=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

Los gráficos adjuntos muestran las varianzas geométricas logarítmicas y la covarianza geométrica logarítmica en función de los parámetros de forma α y β . Los gráficos muestran que las varianzas geométricas logarítmicas y la covarianza geométrica logarítmica son cercanas a cero para los parámetros de forma α y β mayores que 2, y que las varianzas geométricas logarítmicas aumentan rápidamente de valor para los valores de los parámetros de forma α y β menores que la unidad. Las varianzas geométricas logarítmicas son positivas para todos los valores de los parámetros de forma. La covarianza geométrica logarítmica es negativa para todos los valores de los parámetros de forma, y ​​alcanza grandes valores negativos para α y β menores que la unidad.

A continuación se presentan los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\infty \\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=0\\&\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\psi _{1}(\alpha )\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\alpha )\end{aligned}}}$

Límites con dos parámetros variables:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\infty \\&\lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=-\infty \end{aligned}}}$

Aunque tanto ln(var _GX ) como ln(var _{G (1 −  X )} ) son asimétricas, cuando los parámetros de forma son iguales, α = β, se tiene: ln(var _GX ) = ln(var _G(1−X) ). Esta igualdad se desprende de la siguiente simetría que se muestra entre ambas varianzas geométricas logarítmicas:

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$

La covarianza geométrica logarítmica es simétrica:

${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha ))}$

La desviación absoluta media alrededor de la media para la distribución beta con parámetros de forma α y β es: ^[8]

${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}}$

La desviación absoluta media alrededor de la media es un estimador más robusto de la dispersión estadística que la desviación estándar para distribuciones beta con colas y puntos de inflexión a cada lado de la moda, distribuciones Beta( α ,  β ) con α , β > 2, ya que depende de las desviaciones lineales (absolutas) en lugar de las desviaciones cuadradas de la media. Por lo tanto, el efecto de desviaciones muy grandes de la media no está tan ponderado.

Utilizando la aproximación de Stirling a la función Gamma , NLJohnson y S.Kotz ^[1] derivaron la siguiente aproximación para valores de los parámetros de forma mayores que la unidad (el error relativo para esta aproximación es solo −3,5% para α = β = 1, y disminuye a cero cuando α → ∞, β → ∞):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{mean abs. dev. from mean}}{\text{standard deviation}}}&={\frac {\operatorname {E} [|X-E[X]|]}{\sqrt {\operatorname {var} (X)}}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(1+{\frac {7}{12(\alpha +\beta )}}{}-{\frac {1}{12\alpha }}-{\frac {1}{12\beta }}\right),{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.\end{aligned}}}$

En el límite α → ∞, β → ∞, la razón entre la desviación absoluta media y la desviación estándar (para la distribución beta) se vuelve igual a la razón de las mismas medidas para la distribución normal: . Para α = β = 1 esta razón es igual a , de modo que de α = β = 1 a α, β → ∞ la razón disminuye en un 8,5%. Para α = β = 0 la desviación estándar es exactamente igual a la desviación absoluta media alrededor de la media. Por lo tanto, esta razón disminuye en un 15% de α = β = 0 a α = β = 1, y en un 25% de α = β = 0 a α, β → ∞ . Sin embargo, para distribuciones beta sesgadas tales que α → 0 o β → 0, la relación entre la desviación estándar y la desviación absoluta media se acerca al infinito (aunque cada una de ellas, individualmente, se acerca a cero) porque la desviación absoluta media se acerca a cero más rápido que la desviación estándar.${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Utilizando la parametrización en términos de media μ y tamaño de muestra ν = α + β > 0:

α = μν, β = (1−μ)ν

La desviación absoluta media alrededor de la media se puede expresar en términos de la media μ y el tamaño de la muestra ν de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\mu ^{\mu \nu }(1-\mu )^{(1-\mu )\nu }}{\nu \mathrm {B} (\mu \nu ,(1-\mu )\nu )}}}$

Para una distribución simétrica, la media está en el medio de la distribución, μ = 1/2, y por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2^{1-\nu }}{\nu \mathrm {B} ({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {\nu }{2}})}}&={\frac {2^{1-\nu }\Gamma (\nu )}{\nu (\Gamma ({\tfrac {\nu }{2}}))^{2}}}\\\lim _{\nu \to 0}\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&={\tfrac {1}{2}}\\\lim _{\nu \to \infty }\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&=0\end{aligned}}}$

Además, los siguientes límites (con sólo la variable indicada acercándose al límite) se pueden obtener a partir de las expresiones anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\mu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\nu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&={\sqrt {\mu (1-\mu )}}\\\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=0\end{aligned}}}$

La diferencia absoluta media para la distribución beta es:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x;\alpha ,\beta )\,f(y;\alpha ,\beta )\,|x-y|\,dx\,dy=\left({\frac {4}{\alpha +\beta }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$

El coeficiente de Gini para la distribución beta es la mitad de la diferencia absoluta media relativa:

${\displaystyle \mathrm {G} =\left({\frac {2}{\alpha }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$

La asimetría (el tercer momento centrado en la media, normalizado por la potencia 3/2 de la varianza) de la distribución beta es ^[1]

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$

Si en la expresión anterior se toma α = β, se obtiene γ ₁ = 0, lo que demuestra una vez más que para α = β la distribución es simétrica y, por lo tanto, la asimetría es cero. La asimetría es positiva (de cola derecha) para α < β, y negativa (de cola izquierda) para α > β.

Utilizando la parametrización en términos de media μ y tamaño de muestra ν = α + β:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &{}=\mu \nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0\\\beta &{}=(1-\mu )\nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$

La asimetría se puede expresar en términos de la media μ y el tamaño de la muestra ν de la siguiente manera:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(1-2\mu ){\sqrt {1+\nu }}}{(2+\nu ){\sqrt {\mu (1-\mu )}}}}.}$

La asimetría también se puede expresar solo en términos de la varianza var y la media μ de la siguiente manera:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(1-2\mu ){\sqrt {\text{ var }}}}{\mu (1-\mu )+\operatorname {var} }}{\text{ if }}\operatorname {var} <\mu (1-\mu )}$