Aproximación de Stirling

En matemáticas , la aproximación de Stirling (o fórmula de Stirling ) es una aproximación asintótica para los factoriales . Es una buena aproximación, que conduce a resultados precisos incluso para valores pequeños de . Recibe su nombre de James Stirling , aunque Abraham de Moivre fue el primero en formular un resultado relacionado pero menos preciso . ^{[1] [2] [3]}${\estilo de visualización n}$

Una forma de expresar la aproximación implica el logaritmo del factorial: donde la notación O mayúscula significa que, para todos los valores suficientemente grandes de , la diferencia entre y será como máximo proporcional al logaritmo de . En aplicaciones informáticas como el límite inferior del peor caso para la clasificación por comparación , es conveniente utilizar en su lugar el logaritmo binario , dando la forma equivalente El término de error en cualquiera de las bases se puede expresar de forma más precisa como , correspondiente a una fórmula aproximada para el factorial en sí, Aquí el signo significa que las dos cantidades son asintóticas , es decir, que su relación tiende a 1 cuando tiende a infinito. La siguiente versión del límite se cumple para todos los n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , en lugar de solo de forma asintótica:$${\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n),}$$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \ln(n!)}$${\estilo de visualización n\ln nn}$${\estilo de visualización n}$$${\displaystyle \log _{2}(n!)=n\log _{2}nn\log _{2}e+O(\log _{2}n).}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})}$$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$${\estilo de visualización \sim}$${\estilo de visualización n}$$${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}\right)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$

En términos generales, la versión más simple de la fórmula de Stirling se puede obtener rápidamente aproximando la suma con una integral :$${\displaystyle \ln(n!)=\suma _{j=1}^{n}\ln j}$$$${\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ln j\approx \int_{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$$

La fórmula completa, junto con estimaciones precisas de su error, se puede obtener de la siguiente manera. En lugar de aproximar , se considera su logaritmo natural , ya que se trata de una función que varía lentamente :${\estilo de visualización n!}$$${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$$

El lado derecho de esta ecuación menos es la aproximación por la regla del trapezoide de la integral$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n}$$$${\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$$

y el error en esta aproximación viene dado por la fórmula de Euler-Maclaurin :$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n!)-{\frac {1}{2}}\ln n&={\frac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\frac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}$$

donde es un número de Bernoulli y R _{m , n} es el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin. Tome límites para encontrar que$Estilo de visualización Bk$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$$

Denotemos este límite como . Debido a que el resto R _{m , n} en la fórmula de Euler-Maclaurin satisface${\estilo de visualización y}$$${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$$

donde se utiliza la notación big-O , la combinación de las ecuaciones anteriores produce la fórmula de aproximación en su forma logarítmica:$${\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$$

Tomando la exponencial de ambos lados y eligiendo cualquier entero positivo , se obtiene una fórmula que involucra una cantidad desconocida . Para m = 1 , la fórmula es${\displaystyle m}$${\displaystyle e^{y}}$$${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

La cantidad se puede hallar tomando el límite en ambos lados a medida que tiende a infinito y utilizando el producto de Wallis , que demuestra que . Por lo tanto, se obtiene la fórmula de Stirling:${\displaystyle e^{y}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

Una fórmula alternativa para utilizar la función gamma es (como se puede ver por la integración repetida por partes). Reescribiendo y cambiando las variables x = ny , se obtiene Aplicando el método de Laplace se tiene que recupera la fórmula de Stirling:${\displaystyle n!}$$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$$$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},}$$$${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

De hecho, también se pueden obtener correcciones adicionales utilizando el método de Laplace. Del resultado anterior, sabemos que , por lo que "quitamos" este término dominante y luego realizamos dos cambios de variables para obtener: Para verificar esto: .${\displaystyle \Gamma (x)\sim x^{x}e^{-x}}$$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt{\overset {t\mapsto \ln t}{=}}e^{x}\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-xt}dt{\overset {t\mapsto t/x}{=}}x^{-x}e^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt=x^{-x}e^{x}\Gamma (x)}$

Ahora la función es unimodal, con valor máximo cero. Localmente alrededor de cero, parece , por lo que podemos realizar el método de Laplace. Para extender el método de Laplace a órdenes superiores, realizamos otro cambio de variables mediante . Esta ecuación no se puede resolver en forma cerrada, pero se puede resolver mediante expansión en serie, lo que nos da . Ahora, volvamos a la ecuación para obtener. Observe cómo no necesitamos encontrar realmente , ya que se cancela con la integral. Se pueden lograr órdenes superiores calculando más términos en , que se pueden obtener mediante programación. ^{[nota 1]}${\displaystyle t\mapsto 1+t-e^{t}}$${\displaystyle -t^{2}/2}$${\displaystyle 1+t-e^{t}=-\tau ^{2}/2}$${\displaystyle t=\tau -\tau ^{2}/6+\tau ^{3}/36+a_{4}\tau ^{4}+O(\tau ^{5})}$$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{-x\tau ^{2}/2}(1-\tau /3+\tau ^{2}/12+4a_{4}\tau ^{3}+O(\tau ^{4}))d\tau ={\sqrt {2\pi }}(x^{-1/2}+x^{-3/2}/12)+O(x^{-5/2})}$$${\displaystyle a_{4}}$${\displaystyle t=\tau +\cdots }$

De esta manera obtenemos la fórmula de Stirling de dos órdenes:$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right).}$$

Una versión de análisis complejo de este método ^[4] es considerar como un coeficiente de Taylor de la función exponencial , calculado mediante la fórmula integral de Cauchy como${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z|=r}{\frac {e^{z}}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$$

Esta integral de línea puede entonces aproximarse utilizando el método del punto de silla con una elección apropiada del radio del contorno . La porción dominante de la integral cerca del punto de silla se aproxima entonces mediante una integral real y el método de Laplace, mientras que la porción restante de la integral puede acotarse por encima para dar un término de error.${\displaystyle r=r_{n}}$

La fórmula de Stirling es de hecho la primera aproximación a la siguiente serie (ahora llamada serie de Stirling ): ^[5]$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).}$$

G. Nemes dio una fórmula explícita para los coeficientes de esta serie. ^[6] Otros términos se enumeran en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros como A001163 y A001164. El primer gráfico de esta sección muestra el error relativo vs. , para 1 a través de los 5 términos enumerados anteriormente. (Bender y Orszag ^[7] p. 218) da la fórmula asintótica para los coeficientes: que muestra que crece superexponencialmente y que, por la prueba de la razón, el radio de convergencia es cero.${\displaystyle n}$$${\displaystyle A_{2j+1}\sim (-1)^{j}2(2j)!/(2\pi )^{2(j+1)}}$$

Como n → ∞ , el error en la serie truncada es asintóticamente igual al primer término omitido. Este es un ejemplo de una expansión asintótica . No es una serie convergente ; para cualquier valor particular de solo hay una cierta cantidad de términos de la serie que mejoran la precisión, después de lo cual la precisión empeora. Esto se muestra en el siguiente gráfico, que muestra el error relativo en función del número de términos en la serie, para un mayor número de términos. Más precisamente, sea S ( n , t ) la serie de Stirling para términos evaluados en  . Los gráficos muestran que, cuando es pequeño, es esencialmente el error relativo.${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left|\ln \left({\frac {S(n,t)}{n!}}\right)\right|,}$$

Escribiendo la serie de Stirling en la forma se sabe que el error al truncar la serie es siempre de signo opuesto y como máximo de la misma magnitud que el primer término omitido.$${\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,}$$

Otros límites, debidos a Robbins, ^[8] válidos para todos los números enteros positivos son Este límite superior corresponde a detener la serie anterior para después del término. El límite inferior es más débil que el obtenido al detener la serie después del término. Una versión más flexible de este límite es que para todos los .${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$${\displaystyle \ln(n!)}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}}$${\displaystyle {\frac {n!e^{n}}{n^{n+{\frac {1}{2}}}}}\in ({\sqrt {2\pi }},e]}$${\displaystyle n\geq 1}$

Para todos los números enteros positivos, donde Γ denota la función gamma .$${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$

Sin embargo, la función gamma, a diferencia del factorial, está definida de manera más amplia para todos los números complejos que no sean enteros no positivos; no obstante, la fórmula de Stirling aún puede aplicarse. Si Re( z ) > 0 , entonces$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.}$$

La integración repetida por partes da$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}$$

donde es el n ° de Bernoulli (nótese que el límite de la suma como no es convergente, por lo que esta fórmula es solo una expansión asintótica ). La fórmula es válida para valores suficientemente grandes en valor absoluto, cuando | arg( z ) | < π − ε , donde ε es positivo, con un término de error de O ( z ^{−2 N + 1} ) . La aproximación correspondiente ahora puede escribirse:${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

donde la expansión es idéntica a la de la serie de Stirling anterior para , excepto que se reemplaza con z − 1 . ^[9]${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

Otra aplicación de esta expansión asintótica es para el argumento complejo z con Re( z ) constante . Véase, por ejemplo, la fórmula de Stirling aplicada en Im( z ) = t de la función theta de Riemann-Siegel en la línea recta ⁠1/4⁠ + eso .

Para cualquier entero positivo , se introduce la siguiente notación: y${\displaystyle N}$$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n\left({2n-1}\right)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}$$$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left({\sum \limits _{n=0}^{N-1}{\frac {a_{n}}{z^{n}}}+{\widetilde {R}}_{N}(z)}\right).}$$

Entonces ^{[10] [11]}$${\displaystyle {\begin{aligned}|R_{N}(z)|&\leq {\frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z}{2}}\right)&{\text{ if }}\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde {R}}_{N}(z)\right|&\leq \left({\frac {\left|a_{N}\right|}{|z|^{N}}}+{\frac {\left|a_{N+1}\right|}{|z|^{N+1}}}\right)\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(2\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Para obtener más información y otros límites de error, consulte los artículos citados.

Thomas Bayes demostró, en una carta a John Canton publicada por la Royal Society en 1763, que la fórmula de Stirling no daba una serie convergente . ^[12] Obtener una versión convergente de la fórmula de Stirling implica evaluar la fórmula de Binet :$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}.}$$

Una forma de hacer esto es mediante una serie convergente de factoriales ascendentes invertidos . Si entonces donde donde s ( n ,  k ) denota los números de Stirling de primera especie . De esto se obtiene una versión de la serie de Stirling que converge cuando Re( x ) > 0 . La fórmula de Stirling también puede darse en forma convergente como ^[13] donde $${\displaystyle z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}},}$$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{\frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\\&\quad +{\frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\cdots ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x+\mu (x)}}$$$${\displaystyle \mu \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(x+n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)-1\right).}$$

La aproximación y su forma equivalente se pueden obtener reordenando la fórmula extendida de Stirling y observando una coincidencia entre la serie de potencias resultante y la expansión de la serie de Taylor de la función seno hiperbólico . Esta aproximación es válida para más de 8 dígitos decimales para z con una parte real mayor que 8. Robert H. Windschitl la sugirió en 2002 para calcular la función gamma con una precisión razonable en calculadoras con memoria de programa o de registro limitada. ^[14]$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}$$$${\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)}$$

Gergő Nemes propuso en 2007 una aproximación que da el mismo número de dígitos exactos que la aproximación Windschitl pero es mucho más simple: ^[15] o equivalentemente,$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z},}$$$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right).}$$

Una aproximación alternativa para la función gamma establecida por Srinivasa Ramanujan en el cuaderno perdido de Ramanujan ^[16] es para x ≥ 0 . La aproximación equivalente para ln n ! tiene un error asintótico de ⁠$${\displaystyle \Gamma (1+x)\approx {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}}$$1/1400 n.º ³⁠ y viene dado por$${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30}})+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .}$$

La aproximación se puede hacer más precisa dando pares de límites superior e inferior; una de esas desigualdades es ^{[17] [18] [19] [20]}$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{100}}\right)^{1/6}<\Gamma (1+x)<{\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{1/6}.}$$

La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre ^[2] en la forma$${\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}$$

De Moivre dio una expresión aproximada en números racionales para el logaritmo natural de la constante. La contribución de Stirling consistió en demostrar que la constante es precisamente . ^[3]${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$

• Aproximación de Lanczos
• Aproximación de Spouge

• Abramowitz, M. y Stegun, I. (2002), Manual de funciones matemáticas
• Paris, RB y Kaminski, D. (2001), Asintótica e integrales de Mellin–Barnes , Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79001-7
• Whittaker, ET y Watson, GN (1996), Un curso de análisis moderno (4.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2
• Romik, Dan (2000), "La aproximación de Stirling para : ¿la prueba corta definitiva?", The American Mathematical Monthly , 107 (6): 556–557, doi :10.2307/2589351, JSTOR  2589351, MR  1767064${\displaystyle n!}$
• Li, Yuan-Chuan (julio de 2006), "Una nota sobre la identidad de la función gamma y la fórmula de Stirling", Real Analysis Exchange , 32 (1): 267–271, MR  2329236

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• "Fórmula Stirling", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Peter Luschny, Fórmulas de aproximación para la función factorial n!
• Weisstein, Eric W. , "Aproximación de Stirling", MathWorld
• Aproximación de Stirling en PlanetMath .