Simetría
Invariancia matemática bajo transformaciones
Simetría (izquierda) y asimetría (derecha)
Un grupo de simetría esférica con simetría octaédrica . La región amarilla muestra el dominio fundamental .
Forma fractal que tiene simetría reflexiva , simetría rotacional y autosimilitud , tres formas de simetría. Esta forma se obtiene mediante una regla de subdivisión finita .
Geometría
Stereographic projection from the top of a sphere onto a plane beneath it
Proyectar una esfera a un plano
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Simetría (del griego antiguo συμμετρία ( summetría )  'concordancia en dimensiones, debida proporción, disposición') [1] en la vida cotidiana se refiere a un sentido de proporción y equilibrio armonioso y hermoso. [2] [3] [a] En matemáticas , el término tiene una definición más precisa y generalmente se usa para referirse a un objeto que es invariante bajo algunas transformaciones , como traslación , reflexión , rotación o escala . Aunque estos dos significados de la palabra a veces se pueden distinguir, están intrincadamente relacionados y, por lo tanto, se discuten juntos en este artículo.

La simetría matemática puede observarse con respecto al paso del tiempo ; como una relación espacial ; a través de transformaciones geométricas ; a través de otros tipos de transformaciones funcionales; y como un aspecto de objetos abstractos , incluidos los modelos teóricos , el lenguaje y la música . [4] [b]

Este artículo describe la simetría desde tres perspectivas: en matemáticas , incluida la geometría , el tipo de simetría más familiar para muchas personas; en ciencia y naturaleza ; y en las artes, abarcando la arquitectura , el arte y la música.

El opuesto de la simetría es la asimetría , que se refiere a la ausencia de simetría.

En matemáticas

En geometría

El triskelion tiene simetría rotacional triple.

Una forma geométrica o un objeto es simétrico si se puede dividir en dos o más piezas idénticas que se disponen de manera organizada. [5] Esto significa que un objeto es simétrico si existe una transformación que mueve piezas individuales del objeto, pero no cambia la forma general. El tipo de simetría está determinado por la forma en que se organizan las piezas o por el tipo de transformación:

  • Un objeto tiene simetría reflexiva (simetría lineal o especular) si hay una línea (o en 3D un plano) que lo atraviesa y lo divide en dos partes que son imágenes especulares una de la otra. [6]
  • Un objeto tiene simetría rotacional si se puede rotar alrededor de un punto fijo (o en 3D alrededor de una línea) sin cambiar la forma general. [7]
  • Un objeto tiene simetría traslacional si se puede trasladar (moviendo cada punto del objeto la misma distancia) sin cambiar su forma general. [8]
  • Un objeto tiene simetría helicoidal si puede trasladarse y rotarse simultáneamente en el espacio tridimensional a lo largo de una línea conocida como eje de tornillo . [9]
  • Un objeto tiene simetría de escala si no cambia de forma cuando se expande o se contrae. [10] Los fractales también exhiben una forma de simetría de escala, donde las porciones más pequeñas del fractal son similares en forma a las porciones más grandes. [11]
  • Otras simetrías incluyen la simetría de reflexión deslizante (una reflexión seguida de una traslación) y la simetría de rotoreflexión (una combinación de una rotación y una reflexión [12] ).

En lógica

Una relación diádica R = S × S es simétrica si para todos los elementos a , b en S , siempre que sea cierto que Rab , también es cierto que Rba . [13] Por lo tanto, la relación "tiene la misma edad que" es simétrica, porque si Paul tiene la misma edad que Mary, entonces Mary tiene la misma edad que Paul.

En lógica proposicional, los conectivos lógicos binarios simétricos incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que el conectivo si (→) no es simétrico. [14] Otros conectivos lógicos simétricos incluyen nand (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻), y nor (no-o, o ⊽).

Otras áreas de las matemáticas

Generalizando a partir de la simetría geométrica de la sección anterior, se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada , si, cuando se aplica al objeto, esta operación preserva alguna propiedad del objeto. [15] El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo .

En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Algunos ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo , grupos simétricos en álgebra abstracta , matrices simétricas en álgebra lineal y grupos de Galois en teoría de Galois . En estadística , la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría (la asimetría de las distribuciones). [16]

En la ciencia y la naturaleza

En física

La simetría en física se ha generalizado para significar invariancia —es decir, falta de cambio— bajo cualquier tipo de transformación, por ejemplo transformaciones arbitrarias de coordenadas . [17] Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica , ya que se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza se originan en simetrías. De hecho, este papel inspiró al premio Nobel P. W. Anderson a escribir en su artículo de 1972, ampliamente leído, More is Different , que "es sólo una exageración decir que la física es el estudio de la simetría". [18] Véase el teorema de Noether (que, en forma muy simplificada, establece que para cada simetría matemática continua, hay una cantidad conservada correspondiente como la energía o el momento; una corriente conservada, en el lenguaje original de Noether); [19] y también, la clasificación de Wigner , que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza. [20]

Las simetrías importantes en física incluyen simetrías continuas y simetrías discretas del espacio-tiempo ; simetrías internas de partículas; y supersimetría de teorías físicas.

En biología

Muchos animales tienen una simetría aproximadamente especular, aunque sus órganos internos suelen estar dispuestos asimétricamente.

En biología, la noción de simetría se utiliza principalmente de forma explícita para describir las formas corporales. Los animales bilaterales , incluidos los humanos, son más o menos simétricos con respecto al plano sagital que divide el cuerpo en mitades izquierda y derecha. [21] Los animales que se mueven en una dirección necesariamente tienen lados superiores e inferiores, cabeza y cola y, por lo tanto, una izquierda y una derecha. La cabeza se especializa con una boca y órganos sensoriales, y el cuerpo se vuelve bilateralmente simétrico para el propósito del movimiento, con pares simétricos de músculos y elementos esqueléticos, aunque los órganos internos a menudo permanecen asimétricos. [22]

Las plantas y los animales sésiles (adheridos) como las anémonas de mar suelen tener simetría radial o rotacional , lo que les conviene porque el alimento o las amenazas pueden llegar desde cualquier dirección. La simetría quíntuple se encuentra en los equinodermos , el grupo que incluye a las estrellas de mar , los erizos de mar y los lirios marinos . [23]

En biología, el concepto de simetría se utiliza también como en física, es decir, para describir las propiedades de los objetos estudiados, incluidas sus interacciones. Una propiedad notable de la evolución biológica son los cambios de simetría que corresponden a la aparición de nuevas partes y dinámicas. [24] [25]

En química

La simetría es importante para la química porque sustenta esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la capacidad de los científicos para ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos . Una comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en la química cuántica y en las áreas aplicadas de la espectroscopia y la cristalografía . La teoría y la aplicación de la simetría a estas áreas de la ciencia física se basan en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos . [26]

En psicología y neurociencia

Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más salientes que otros, en particular el más saliente es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro "El análisis de las sensaciones" (1897), [27] y esto implica que la percepción de la simetría no es una respuesta general a todos los tipos de regularidades. Tanto los estudios conductuales como los neurofisiológicos han confirmado la sensibilidad especial a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales. [28] Los primeros estudios dentro de la tradición de la Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptual . Esto se conoce como la Ley de Simetría . El papel de la simetría en la agrupación y la organización figura/fondo ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría reflexiva es más rápida cuando se trata de una propiedad de un solo objeto. [29] Los estudios de la percepción humana y la psicofísica han demostrado que la detección de la simetría es rápida, eficiente y robusta a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con presentaciones entre 100 y 150 milisegundos. [30]

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones cerebrales están activas durante la percepción de la simetría. Sasaki et al. [31] utilizaron imágenes por resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas a patrones con puntos simétricos o aleatorios. Se observó una fuerte actividad en las regiones extraestriadas de la corteza occipital, pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluían V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas. [32] En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrada en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de detectar y reconocer objetos. [33]

En las interacciones sociales

Las personas observan la naturaleza simétrica, que a menudo incluye el equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estos incluyen evaluaciones de reciprocidad , empatía , simpatía , disculpa , diálogo , respeto, justicia y venganza . El equilibrio reflexivo es el equilibrio que se puede lograr a través del ajuste mutuo deliberativo entre principios generales y juicios específicos . [34] Las interacciones simétricas envían el mensaje moral "todos somos iguales", mientras que las interacciones asimétricas pueden enviar el mensaje "soy especial; mejor que tú". Las relaciones entre pares, como las que pueden regirse por la Regla de Oro , se basan en la simetría, mientras que las relaciones de poder se basan en la asimetría. [35] Las relaciones simétricas se pueden mantener hasta cierto punto mediante estrategias simples ( teoría de juegos ) que se ven en juegos simétricos como el tit for tat . [36]

En las artes

Existe una lista de revistas y boletines que se sabe que tratan, al menos en parte, de la simetría y las artes. [37]

En arquitectura

Visto de lado, el Taj Mahal tiene simetría bilateral; desde arriba (en planta), tiene simetría cuádruple.

La simetría se encuentra presente en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca , pasando por el diseño de los planos de planta individuales , hasta el diseño de elementos individuales de los edificios como los mosaicos de azulejos . Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación. [38] [39] Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos hechos usando simetrías traslacionales y de reflexión, así como rotaciones. [40]

Se ha dicho que sólo los malos arquitectos confían en una "disposición simétrica de bloques, masas y estructuras"; [41] La arquitectura modernista , comenzando con el estilo internacional , se basa en cambio en "alas y equilibrio de masas". [41]

En vasijas de cerámica y metal

Las vasijas de barro fabricadas en un torno de alfarero adquieren simetría rotacional.

Desde los primeros usos del torno de alfarería para ayudar a dar forma a las vasijas de arcilla, la cerámica ha tenido una fuerte relación con la simetría. La cerámica creada con un torno adquiere una simetría rotacional completa en su sección transversal, al tiempo que permite una libertad de forma sustancial en la dirección vertical. Sobre este punto de partida inherentemente simétrico, los alfareros de la antigüedad en adelante han agregado patrones que modifican la simetría rotacional para lograr objetivos visuales.

Las vasijas de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente de la cerámica hecha a torno, pero por lo demás brindaban una oportunidad similar para decorar sus superficies con patrones que agradaban a quienes las utilizaban. Los antiguos chinos , por ejemplo, utilizaban patrones simétricos en sus fundiciones de bronce ya en el siglo XVII a. C. Las vasijas de bronce exhibían tanto un motivo principal bilateral como un diseño repetitivo de borde trasladado. [42]

En alfombras y tapetes

Alfombra persa con simetría rectangular.

La simetría en los patrones de alfombras y tapetes tiene una larga tradición que abarca diversas culturas. Los indios navajos americanos usaban diagonales llamativas y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen centros y bordes intrincados que reflejan un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo , es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical (véase el apartado de los cuatro grupos de Klein § Geometría ). [43] [44]

En colchas

Bloque de colcha caleidoscópica para cocina

Como las colchas se hacen a partir de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña suele estar formada por triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría. [45]

En otras artes y oficios

Las simetrías aparecen en el diseño de objetos de todo tipo. Algunos ejemplos son los trabajos con cuentas , los muebles , las pinturas con arena , los trabajos con nudos , las máscaras y los instrumentos musicales . Las simetrías son fundamentales en el arte de MC Escher y en las numerosas aplicaciones de la teselación en formas de arte y artesanía como el papel tapiz , los azulejos de cerámica como en la decoración geométrica islámica , el batik , el ikat , la fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y de bordado . [46]

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. [47] Al crear un logotipo en una cuadrícula y usar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logotipo para que se destaque.

En la música

Las tríadas mayores y menores en las teclas blancas del piano son simétricas al D.

La simetría no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música afecta a muchos aspectos de la creación y la percepción de la música.

Forma musical

Muchos compositores han utilizado la simetría como una restricción formal , como la forma de arco (swell) (ABCBA) utilizada por Steve Reich , Béla Bartók y James Tenney . En la música clásica, Johann Sebastian Bach utilizó los conceptos de simetría de permutación e invariancia. [48]

Estructuras de tono

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes , ya que la música tradicional o tonal se compone de grupos de tonos no simétricos , como la escala diatónica o el acorde mayor . Se dice que las escalas o acordes simétricos , como la escala de tonos enteros , el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida (séptima disminuida-disminuida), carecen de dirección o sentido de movimiento hacia adelante, son ambiguos en cuanto a la tonalidad o centro tonal y tienen una funcionalidad diatónica menos específica . Sin embargo, compositores como Alban Berg , Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y/o ciclos de intervalos de forma análoga a las tonalidades o centros tonales no tonales . [49] George Perle explica que "C–E, D–F♯, [y] Eb–G, son instancias diferentes del mismo intervalo … el otro tipo de identidad… tiene que ver con los ejes de simetría. C–E pertenece a una familia de díadas simétricamente relacionadas de la siguiente manera:" [49]

Dre♯miFF♯GRAMOSol♯
DC♯doBA♯ASol♯

Por lo tanto, además de ser parte de la familia de intervalo 4, C–E también es parte de la familia de suma 4 (siendo C igual a 0). [49]

+2345678
210111098
4444444

Los ciclos de intervalos son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete notas de C5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala mayor diatónica. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de los modernistas como Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad. [49] [50]

La primera composición extensa basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue probablemente el Cuarteto Op. 3 (1910) de Alban Berg. [50]

Equivalencia

Las filas de tonos o conjuntos de clases de tonos que son invariantes en ritmo retrógrado son simétricas horizontalmente, y en inversión, verticalmente. Véase también Ritmo asimétrico .

En estética

La relación entre la simetría y la estética es compleja. Los seres humanos consideran que la simetría bilateral en los rostros es físicamente atractiva; [51] indica salud y aptitud genética. [52] [53] En contraposición a esto, existe la tendencia a percibir la simetría excesiva como aburrida o poco interesante. Rudolf Arnheim sugirió que las personas prefieren formas que tengan cierta simetría y suficiente complejidad para hacerlas interesantes. [54]

En la literatura

La simetría se puede encontrar en diversas formas en la literatura , un ejemplo sencillo es el palíndromo , en el que un texto breve se lee igual de adelante hacia atrás o de atrás hacia adelante. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como el patrón de ascenso y caída de Beowulf . [55]

Véase también

Notas explicativas

  1. ^ Por ejemplo, Aristóteles atribuyó forma esférica a los cuerpos celestes, atribuyendo esta medida geométrica de simetría formalmente definida al orden natural y la perfección del cosmos.
  2. ^ Los objetos simétricos pueden ser materiales, como una persona, un cristal , una colcha , unas baldosas del suelo o una molécula , o pueden ser una estructura abstracta , como una ecuación matemática o una serie de tonos (música).

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Lectura adicional

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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Simetría .
Wikiquote tiene citas relacionadas con Simetría .
  • Asociación Internacional de Simetría (ISA)
  • Simetría alrededor de un punto en el plano Archivado el 2 de enero de 2004 en Wayback Machine.
  • Chapman: Estética de la simetría
  • Simetría del ISIS Archivado el 22 de septiembre de 2009 en Wayback Machine.
  • Simetría, charla en BBC Radio 4 con Fay Dowker, Marcus du Sautoy e Ian Stewart ( In Our Time , 19 de abril de 2007)
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