Logit

En estadística , la función logit ( / ˈl oʊ dʒ ɪ t / LOH -jit ) es la función cuantil asociada a la distribución logística estándar . Tiene muchos usos en el análisis de datos y el aprendizaje automático , especialmente en las transformaciones de datos .

Matemáticamente, el logit es la inversa de la función logística estándar , por lo que el logit se define como${\displaystyle \sigma(x)=1/(1+e^{-x})}$

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{para}}\quad p\in (0,1).}$

Por este motivo, el logit también se denomina log-odds , ya que es igual al logaritmo de las probabilidades, donde p es una probabilidad. Por lo tanto, el logit es un tipo de función que asigna valores de probabilidad de a números reales en , ^[1] similar a la función probit .${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$

Si p es una probabilidad , entonces p /(1 − p ) son las probabilidades correspondientes ; el logit de la probabilidad es el logaritmo de las probabilidades, es decir:

${\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1).}$

La base de la función logarítmica utilizada tiene poca importancia en el presente artículo, siempre que sea mayor que 1, pero el logaritmo natural con base e es el más utilizado. La elección de la base corresponde a la elección de la unidad logarítmica para el valor: la base 2 corresponde a un shannon , la base  e a un nat y la base 10 a un hartley ; estas unidades se utilizan particularmente en interpretaciones de teoría de la información. Para cada elección de base, la función logit toma valores entre el infinito negativo y el infinito positivo.

La función “logística” de cualquier número viene dada por el logit inverso :${\estilo de visualización \alpha}$

${\displaystyle \operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logístico} (\alpha )={\frac {1}{1+\exp(-\alpha )}}={\frac {\exp(\alpha )}{\exp(\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}}$

La diferencia entre los logit de dos probabilidades es el logaritmo del odds ratio ( R ), lo que proporciona una forma abreviada de escribir la combinación correcta de odds ratios simplemente sumando y restando :

${\displaystyle \ln(R)=\ln \left({\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}\right)=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.}$

Se han explorado varios enfoques para adaptar los métodos de regresión lineal a un dominio donde el resultado es un valor de probabilidad , en lugar de cualquier número real . En muchos casos, dichos esfuerzos se han centrado en modelar este problema mediante la asignación del rango a y luego ejecutar la regresión lineal sobre estos valores transformados. ^[2]${\estilo de visualización (0,1)}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$

En 1934, Chester Ittner Bliss utilizó la función de distribución normal acumulativa para realizar esta función y llamó a su modelo probit , una abreviatura de " unidad de probabilidad " . Sin embargo, esto es computacionalmente más costoso. ^[2]

En 1944, Joseph Berkson utilizó el logaritmo de probabilidades y llamó a esta función logit , una abreviatura de " unidad logística " , siguiendo la analogía para probit:

"Utilizo este término [logit] para seguir a Bliss, quien llamó a la función análoga que es lineal en ⁠ ⁠ para la curva normal 'probit'".${\displaystyle \ln p/q}$${\estilo de visualización x}$

—Joseph  Berkson (1944) ^[3]

El término log-odds fue utilizado ampliamente por Charles Sanders Peirce (finales del siglo XIX). ^[4] En 1949, GA Barnard acuñó el término comúnmente utilizado log-odds ; ^{[5] [6]} el log-odds de un evento es el logit de la probabilidad del evento. ^[7] Barnard también acuñó el término lods como una forma abstracta de "log-odds", ^[8] pero sugirió que "en la práctica, normalmente se debería usar el término 'odds', ya que es más familiar en la vida cotidiana". ^[9]

• El logit en regresión logística es un caso especial de una función de enlace en un modelo lineal generalizado : es la función de enlace canónica para la distribución de Bernoulli .
• De manera más abstracta, el logit es el parámetro natural para la distribución binomial ; ver Familia exponencial § Distribución binomial .
• La función logit es el negativo de la derivada de la función de entropía binaria .
• El logit también es central en el modelo probabilístico de Rasch para la medición , que tiene aplicaciones en la evaluación psicológica y educativa, entre otras áreas.
• La función logit inversa (es decir, la función logística ) también se denomina a veces función expit . ^[10]
• En la epidemiología de enfermedades de las plantas, los modelos logístico, de Gompertz y monomolecular se conocen colectivamente como modelos de la familia Richards.
• La función de probabilidad de log-odds se utiliza a menudo en algoritmos de estimación de estados ^[11] debido a sus ventajas numéricas en el caso de probabilidades pequeñas. En lugar de multiplicar números de punto flotante muy pequeños, las probabilidades de log-odds se pueden sumar para calcular la probabilidad conjunta (de log-odds). ^{[12] [13]}

Estrechamente relacionadas con la función logit (y el modelo logit ) están la función probit y el modelo probit . Tanto logit como probit son funciones sigmoideas con un dominio entre 0 y 1, lo que las convierte en funciones cuantiles , es decir, inversas de la función de distribución acumulativa (CDF) de una distribución de probabilidad . De hecho, logit es la función cuantil de la distribución logística , mientras que probit es la función cuantil de la distribución normal . La función probit se denota por , donde es la CDF de la distribución normal estándar, como se acaba de mencionar:$Estilo de visualización: Phi ^{-1}(x)}$${\displaystyle \Phi(x)}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-y^{2}/2}dy .}$

Como se muestra en el gráfico de la derecha, las funciones logit y probit son extremadamente similares cuando se escala la función probit , de modo que su pendiente en y = 0 coincide con la pendiente de la función logit . Como resultado, a veces se utilizan modelos probit en lugar de modelos logit porque para ciertas aplicaciones (por ejemplo, en la teoría de respuesta a los ítems ) la implementación es más sencilla. ^[14]

• Función sigmoidea , inversa de la función logit
• Elección discreta en logit binario, logit multinomial, logit condicional, logit anidado, logit mixto, logit descompuesto y logit ordenado
• Variable dependiente limitada
• Análisis logístico en marketing
• Logit multinomial
• Ogee , curva con forma similar
• Perceptrón
• Probit , otra función con el mismo dominio y rango que el logit
• Puntuación de Ridit
• Transformación de datos (estadísticas)
• Arcsin (transformación)
• Modelo de Rasch

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• ¿Qué función de enlace: Logit, Probit o Cloglog? 12.04.2023

• Ashton, Winifred D. (1972). La transformación logit: con especial referencia a sus usos en bioensayos . Griffin's Statistical Monographs & Courses. Vol. 32. Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-212-2.