Ondícula beta

Se pueden construir wavelets continuos de soporte compacto alfa, [1] que están relacionados con la distribución beta . El proceso se deriva de distribuciones de probabilidad utilizando derivadas borrosas. Estos nuevos wavelets tienen solo un ciclo, por lo que se denominan wavelets monocíclicos. Se pueden ver como una variedad suave de wavelets de Haar cuya forma se ajusta con precisión mediante dos parámetros y . Se derivan expresiones de forma cerrada para wavelets beta y funciones de escala, así como sus espectros. Su importancia se debe al Teorema del límite central de Gnedenko y Kolmogorov aplicado a señales con soporte compacto . [2] alfa {\estilo de visualización \alpha} β {\estilo de visualización \beta}

Distribución beta

La distribución beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo . Se caracteriza por un par de parámetros, a saber y según: 0 ≤ a ≤ 1 {\displaystyle 0\leq t\leq 1} alfa {\estilo de visualización \alpha} β {\estilo de visualización \beta}

PAG ( a ) = 1 B ( alfa , β ) a alfa − 1 ⋅ ( 1 − a ) β − 1 , 1 ≤ alfa , β ≤ + ∞ {\displaystyle P(t)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}t^{\alpha -1}\cdot (1-t)^{\beta -1},\quad 1\leq \alpha ,\beta \leq +\infty } .

El factor normalizador es , B ( α , β ) = Γ ( α ) ⋅ Γ ( β ) Γ ( α + β ) {\displaystyle B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}

donde es la función factorial generalizada de Euler y es la función Beta . [3] Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} B ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}

El teorema del límite central de Gnedenko-Kolmogorov revisado

Sea una densidad de probabilidad de la variable aleatoria , es decir p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} t i {\displaystyle t_{i}} i = 1 , 2 , 3.. N {\displaystyle i=1,2,3..N}

p i ( t ) ≥ 0 {\displaystyle p_{i}(t)\geq 0} , y . ( ∀ t ) {\displaystyle (\forall t)} ∫ − ∞ + ∞ p i ( t ) d t = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }p_{i}(t)dt=1}

Supongamos que todas las variables son independientes.

La media y la varianza de una variable aleatoria dada son, respectivamente t i {\displaystyle t_{i}}

m i = ∫ − ∞ + ∞ τ ⋅ p i ( τ ) d τ , {\displaystyle m_{i}=\int _{-\infty }^{+\infty }\tau \cdot p_{i}(\tau )d\tau ,} σ i 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( τ − m i ) 2 ⋅ p i ( τ ) d τ {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }(\tau -m_{i})^{2}\cdot p_{i}(\tau )d\tau } .

Por lo tanto, la media y la varianza de son y . t {\displaystyle t} m = ∑ i = 1 N m i {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}} σ 2 = ∑ i = 1 N σ i 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{2}}

La densidad de la variable aleatoria correspondiente a la suma viene dada por la p ( t ) {\displaystyle p(t)} t = ∑ i = 1 N t i {\displaystyle t=\sum _{i=1}^{N}t_{i}}

Teorema del límite central para distribuciones de soporte compacto (Gnedenko y Kolmogorov). [2]

Sean distribuciones tales que . { p i ( t ) } {\displaystyle \{p_{i}(t)\}} S u p p { ( p i ( t ) ) } = ( a i , b i ) ( ∀ i ) {\displaystyle Supp\{(p_{i}(t))\}=(a_{i},b_{i})(\forall i)}

Sea , y . a = ∑ i = 1 N a i < + ∞ {\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}a_{i}<+\infty } b = ∑ i = 1 N b i < + ∞ {\displaystyle b=\sum _{i=1}^{N}b_{i}<+\infty }

Sin pérdida de generalidad supongamos que y . a = 0 {\displaystyle a=0} b = 1 {\displaystyle b=1}

La variable aleatoria se cumple, ya que , t {\displaystyle t} N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } p ( t ) ≈ {\displaystyle p(t)\approx } { k ⋅ t α ( 1 − t ) β , o t h e r w i s e {\displaystyle {\begin{cases}{k\cdot t^{\alpha }(1-t)^{\beta }},\\otherwise\end{cases}}}

donde y α = m ( m − m 2 − σ 2 ) σ 2 , {\displaystyle \alpha ={\frac {m(m-m^{2}-\sigma ^{2})}{\sigma ^{2}}},} β = ( 1 − m ) ( α + 1 ) m . {\displaystyle \beta ={\frac {(1-m)(\alpha +1)}{m}}.}

Ondículas beta

Dado que es unimodal , la ondícula generada por P ( ⋅ | α , β ) {\displaystyle P(\cdot |\alpha ,\beta )}

ψ b e t a ( t | α , β ) = ( − 1 ) d P ( t | α , β ) d t {\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )=(-1){\frac {dP(t|\alpha ,\beta )}{dt}}} tiene un solo ciclo (un semiciclo negativo y un semiciclo positivo).

Las principales características de los parámetros de las wavelets beta son : α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }

S u p p ( ψ ) = [ − α β α + β + 1 , β α α + β + 1 ] = [ a , b ] . {\displaystyle Supp(\psi )=[-{\sqrt {\frac {\alpha }{\beta }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}},{\sqrt {\frac {\beta }{\alpha }}}{\sqrt {\alpha +\beta +1}}]=[a,b].}

l e n g t h S u p p ( ψ ) = T ( α , β ) = ( α + β ) α + β + 1 α β . {\displaystyle lengthSupp(\psi )=T(\alpha ,\beta )=(\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}.}

El parámetro se denomina “equilibrio cíclico” y se define como la relación entre las longitudes de la parte causal y no causal de la ondícula. El instante de transición del primer al segundo semiciclo viene dado por R = b / | a | = β / α {\displaystyle R=b/|a|=\beta /\alpha } t z e r o c r o s s {\displaystyle t_{zerocross}}

t z e r o c r o s s = ( α − β ) ( α + β − 2 ) α + β + 1 α β . {\displaystyle t_{zerocross}={\frac {(\alpha -\beta )}{(\alpha +\beta -2)}}{\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}.}

La función de escala (unimodal) asociada con las wavelets está dada por

ϕ b e t a ( t | α , β ) = 1 B ( α , β ) T α + β − 1 ⋅ ( t − a ) α − 1 ⋅ ( b − t ) β − 1 , {\displaystyle \phi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )T^{\alpha +\beta -1}}}\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\beta -1},} a ≤ t ≤ b {\displaystyle a\leq t\leq b} .

Se puede derivar fácilmente una expresión de forma cerrada para wavelets beta de primer orden. Con su apoyo,

ψ b e t a ( t | α , β ) = − 1 B ( α , β ) T α + β − 1 ⋅ [ α − 1 t − a − β − 1 b − t ] ⋅ ( t − a ) α − 1 ⋅ ( b − t ) β − 1 {\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {-1}{B(\alpha ,\beta )T^{\alpha +\beta -1}}}\cdot [{\frac {\alpha -1}{t-a}}-{\frac {\beta -1}{b-t}}]\cdot (t-a)^{\alpha -1}\cdot (b-t)^{\beta -1}}

Figura. Función de escala beta unicíclica y wavelet para diferentes parámetros: a) , b) , c) , . α = 4 {\displaystyle \alpha =4} β = 3 {\displaystyle \beta =3} α = 3 {\displaystyle \alpha =3} β = 7 {\displaystyle \beta =7} α = 5 {\displaystyle \alpha =5} β = 17 {\displaystyle \beta =17}

Espectro de ondículas beta

El espectro de wavelets beta se puede derivar en términos de la función hipergeométrica de Kummer. [4]

Sea el par de transformadas de Fourier asociado con la ondícula. ψ b e t a ( t | α , β ) ↔ Ψ B E T A ( ω | α , β ) {\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )\leftrightarrow \Psi _{BETA}(\omega |\alpha ,\beta )}

Este espectro también se denota por para abreviar. Se puede demostrar aplicando propiedades de la transformada de Fourier que Ψ B E T A ( ω ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )}

Ψ B E T A ( ω ) = − j ω ⋅ M ( α , α + β , − j ω ( α + β ) α + β + 1 α β ) ⋅ e x p { ( j ω α ( α + β + 1 ) β ) } {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )=-j\omega \cdot M(\alpha ,\alpha +\beta ,-j\omega (\alpha +\beta ){\sqrt {\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}})\cdot exp\{(j\omega {\sqrt {\frac {\alpha (\alpha +\beta +1)}{\beta }}})\}}

dónde . M ( α , α + β , j ν ) = Γ ( α + β ) Γ ( α ) ⋅ Γ ( β ) ⋅ ∫ 0 1 e j ν t t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t {\displaystyle M(\alpha ,\alpha +\beta ,j\nu )={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\cdot \Gamma (\beta )}}\cdot \int _{0}^{1}e^{j\nu t}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}

Sólo los casos simétricos tienen ceros en el espectro. En la figura se muestran algunas ondículas beta asimétricas. Curiosamente, son simétricas en cuanto a parámetros en el sentido de que se mantienen ( α = β ) {\displaystyle (\alpha =\beta )} ( α ≠ β ) {\displaystyle (\alpha \neq \beta )} | Ψ B E T A ( ω | α , β ) | = | Ψ B E T A ( ω | β , α ) | . {\displaystyle |\Psi _{BETA}(\omega |\alpha ,\beta )|=|\Psi _{BETA}(\omega |\beta ,\alpha )|.}

Las derivadas superiores también pueden generar más wavelets beta. Los wavelets beta de orden superior se definen por ψ b e t a ( t | α , β ) = ( − 1 ) N d N P ( t | α , β ) d t N . {\displaystyle \psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )=(-1)^{N}{\frac {d^{N}P(t|\alpha ,\beta )}{dt^{N}}}.}

A partir de ahora, se denomina wavelet beta de orden . Existen para el orden . Después de un poco de manipulación algebraica, se puede encontrar su expresión en forma cerrada: N {\displaystyle N} N ≤ M i n ( α , β ) − 1 {\displaystyle N\leq Min(\alpha ,\beta )-1}

Ψ b e t a ( t | α , β ) = ( − 1 ) N B ( α , β ) ⋅ T α + β − 1 ∑ n = 0 N s g n ( 2 n − N ) ⋅ Γ ( α ) Γ ( α − ( N − n ) ) ( t − a ) α − 1 − ( N − n ) ⋅ Γ ( β ) Γ ( β − n ) ( b − t ) β − 1 − n . {\displaystyle \Psi _{beta}(t|\alpha ,\beta )={\frac {(-1)^{N}}{B(\alpha ,\beta )\cdot T^{\alpha +\beta -1}}}\sum _{n=0}^{N}sgn(2n-N)\cdot {\frac {\Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha -(N-n))}}(t-a)^{\alpha -1-(N-n)}\cdot {\frac {\Gamma (\beta )}{\Gamma (\beta -n)}}(b-t)^{\beta -1-n}.}

Figura. Magnitud del espectro de las ondículas beta, para la ondícula beta simétrica , , Ψ B E T A ( ω ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )} | Ψ B E T A ( ω α , β ) | {\displaystyle |\Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta )|} × ω {\displaystyle \times \omega } α = β = 3 {\displaystyle \alpha =\beta =3} α = β = 4 {\displaystyle \alpha =\beta =4} α = β = 5 {\displaystyle \alpha =\beta =5}
Figura. Magnitud del espectro de wavelets beta, para: Wavelet beta asimétrico , , , . Ψ B E T A ( ω ) {\displaystyle \Psi _{BETA}(\omega )} | Ψ B E T A ( ω α , β ) | {\displaystyle |\Psi _{BETA}(\omega \alpha ,\beta )|} × ω {\displaystyle \times \omega } α = 3 {\displaystyle \alpha =3} β = 4 {\displaystyle \beta =4} α = 3 {\displaystyle \alpha =3} β = 5 {\displaystyle \beta =5}

Solicitud

La teoría de wavelets es aplicable a varios temas. Todas las transformadas de wavelets pueden considerarse formas de representación de tiempo-frecuencia para señales de tiempo continuo (analógicas) y, por lo tanto, están relacionadas con el análisis armónico. Casi todas las transformadas de wavelets discretas que son útiles en la práctica utilizan bancos de filtros de tiempo discreto. De manera similar, la wavelet Beta [1] [5] y su derivada se utilizan en varias aplicaciones de ingeniería en tiempo real, como la compresión de imágenes, [5] la compresión de señales biomédicas, [6] [7] el reconocimiento de imágenes [9] [8] , etc.

Referencias

  1. ^ ab de Oliveira, Hélio Magalhães; Schmidt, Giovanna Angelis (2005). "Wavelets unicíclicos con soporte compacto derivados de distribuciones beta". Revista de sistemas de comunicación e información . 20 (3): 27–33. arXiv : 1502.02166 . doi : 10.14209/jcis.2005.17 .
  2. ^ ab Gnedenko, Boris Vladimirovich; Kolmogorov, Andrey (1954). Distribuciones límite para sumas de variables aleatorias independientes . Reading, Ma: Addison-Wesley.
  3. ^ Davis, Philip J. (1968). "Función gamma y funciones relacionadas". En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (eds.). Manual de funciones matemáticas . Nueva York : Dover . pp. 253–294. ISBN. 0-486-61272-4.
  4. ^ Slater, Lucy Joan (1968). "Función hipergeométrica confluente". En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (eds.). Manual de funciones matemáticas . Nueva York : Dover . págs. 503–536. ISBN. 0-486-61272-4.
  5. ^ ab Ben Amar, Chokri; Zaied, Mourad; Alimi, Adel M. (2005). "Ondículas beta. Síntesis y aplicación a la compresión de imágenes con pérdida". Avances en software de ingeniería . 36 (7). Elsevier: 459–474. doi :10.1016/j.advengsoft.2005.01.013.
  6. ^ Kumar, Ranjeet; Kumar, Anil; Pandey, Rajesh K. (2012). "Compresión de la señal de electrocardiograma utilizando ondas beta". Revista de modelado matemático y algoritmos . 11 (3). Springer Verlag : 235–248. doi :10.1007/s10852-012-9181-9. S2CID  4667379.
  7. ^ Kumar, Ranjeet; Kumar, Anil; Pandey, Rajesh K. (2013). "Compresión de señal de ECG basada en wavelet beta utilizando codificación sin pérdida con umbralización modificada". Computers & Electrical Engineering . 39 (1). Elsevier : 130–140. doi :10.1016/j.compeleceng.2012.04.008.
  8. ^ Zaied, Mourad; Jemai, Olfa; Ben Amar, Chokri (2008). "Entrenamiento de las redes de wavelets Beta mediante la teoría de marcos: aplicación al reconocimiento facial". 2008 Primeros talleres sobre teoría, herramientas y aplicaciones del procesamiento de imágenes . IEEE . pp. 1–6. doi :10.1109/IPTA.2008.4743756. eISSN  2154-512X. ISBN . 978-1-4244-3321-6. ISSN  2154-5111. S2CID  12230926.

Lectura adicional

  • WB Davenport , Probabilidad y procesos aleatorios, McGraw-Hill, Kogakusha, Tokio, 1970.
  • https://jcis.sbrt.org.br/jcis/issue/view/27
  • http://www.de.ufpe.br/~hmo/WEBLET.html
  • http://www.de.ufpe.br/~hmo/beta.html
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