Función trigamma
Función matemática
Representación en color de la función trigamma, ψ 1 ( z ) , en una región rectangular del plano complejo. Se genera mediante el método de coloración de dominios .

En matemáticas , la función trigamma , denotada ψ 1 ( z ) o ψ (1) ( z ) , es la segunda de las funciones poligamma , y ​​se define por

ψ 1 ( el ) = d 2 d el 2 En ⁡ Γ ( el ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} .

De esta definición se desprende que

ψ 1 ( el ) = d d el ψ ( el ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

donde ψ ( z ) es la función digamma . También puede definirse como la suma de la serie

ψ 1 ( el ) = ∑ norte = 0 ∞ 1 ( el + norte ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

convirtiéndolo en un caso especial de la función zeta de Hurwitz

ψ 1 ( el ) = o ( 2 , el ) . {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}

Tenga en cuenta que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1 − z no es un número natural .

Cálculo

Una representación integral doble , como alternativa a las dadas anteriormente, puede derivarse de la representación en serie:

ψ 1 ( el ) = ∫ 0 1 ∫ 0 incógnita incógnita el − 1 y ( 1 − incógnita ) d y d incógnita {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}

Utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica , la integración sobre y da como resultado:

ψ 1 ( el ) = − ∫ 0 1 incógnita el − 1 En ⁡ incógnita 1 − incógnita d incógnita {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Una expansión asintótica como una serie de Laurent se puede obtener a través de la derivada de la expansión asintótica de la función digamma :

ψ 1 ( el ) ∼ d d el ( En ⁡ el − ∑ norte = 1 ∞ B norte norte el norte ) = 1 el + ∑ norte = 1 ∞ B norte el norte + 1 = ∑ norte = 0 ∞ B norte el norte + 1 = 1 el + 1 2 el 2 + 1 6 el 3 − 1 30 el 5 + 1 42 el 7 − 1 30 el 9 + 5 66 el 11 − 691 2730 el 13 + 7 6 el 15 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}

donde B n es el n- ésimo número de Bernoulli y elegimos B 1 = ⁠1/2⁠ .

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la relación de recurrencia

ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

y la fórmula de reflexión

ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 sin 2 ⁡ π z {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}

lo que da inmediatamente el valor para z = ⁠1/2: . ​ ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}

Valores especiales

En valores enteros medios positivos tenemos que

ψ 1 ( n + 1 2 ) = π 2 2 − 4 ∑ k = 1 n 1 ( 2 k − 1 ) 2 . {\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}

Además, la función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 ψ 1 ( 3 2 ) = π 2 2 − 4 ψ 1 ( 2 ) = π 2 6 − 1 ψ 1 ( n ) = π 2 6 − ∑ k = 1 n − 1 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}

donde G representa la constante de Catalan y n es un entero positivo.

No hay raíces en el eje real de ψ 1 , pero existen infinitos pares de raíces z n , z n para Re z < 0 . Cada uno de estos pares de raíces se aproxima a Re z n = − n + ⁠1/2⁠ rápidamente y su parte imaginaria aumenta lentamente de forma logarítmica con n . Por ejemplo, z 1 = −0,4121345... + 0,5978119... i y z 2 = −1,4455692... + 0,6992608... i son las dos primeras raíces con Im( z ) > 0 .

Relación con la función Clausen

La función digamma en argumentos racionales se puede expresar en términos de funciones trigonométricas y logaritmo mediante el teorema de digamma . Un resultado similar se aplica a la función trigamma, pero las funciones circulares se reemplazan por la función de Clausen . Es decir, [1]

ψ 1 ( p q ) = π 2 2 sin 2 ⁡ ( π p / q ) + 2 q ∑ m = 1 ( q − 1 ) / 2 sin ⁡ ( 2 π m p q ) Cl 2 ( 2 π m q ) . {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}

Apariencia

La función trigamma aparece en esta fórmula de suma: [2]

∑ n = 1 ∞ n 2 − 1 2 ( n 2 + 1 2 ) 2 ( ψ 1 ( n − i 2 ) + ψ 1 ( n + i 2 ) ) = − 1 + 2 4 π coth ⁡ π 2 − 3 π 2 4 sinh 2 ⁡ π 2 + π 4 12 sinh 4 ⁡ π 2 ( 5 + cosh ⁡ π 2 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}

Véase también

Notas

  1. ^ Lewin, L., ed. (1991). Propiedades estructurales de los polilogaritmos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0821816349.
  2. ^ Mező, István (2013). "Algunas sumas infinitas que surgen del teorema del producto de Weierstrass". Matemáticas Aplicadas y Computación . 219 (18): 9838–9846. doi :10.1016/j.amc.2013.03.122.

Referencias

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