El criterio de Sylvester

En matemáticas, el criterio de Sylvester es un criterio necesario y suficiente para determinar si una matriz hermítica es positiva-definida.

El criterio de Sylvester establece que una matriz hermítica M n × n es definida positiva si y solo si todas las matrices siguientes tienen un determinante positivo :

• la esquina superior izquierda 1 por 1 de M ,
• la esquina superior izquierda de 2 por 2 de M ,
• la esquina superior izquierda de 3 por 3 de M ,
• ${\displaystyle {}\quad \vpuntos }$
• M en sí.

En otras palabras, todos los menores principales deben ser positivos. Mediante el uso de permutaciones apropiadas de filas y columnas de M , también se puede demostrar que la positividad de cualquier secuencia anidada de n menores principales de M es equivalente a que M sea definida positiva. ^[1]

Un teorema análogo se aplica para caracterizar matrices hermíticas semidefinidas positivas , excepto que ya no es suficiente considerar solo los menores principales principales como lo ilustra la matriz hermítica.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{con vectores propios}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{y}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}$

Una matriz hermítica M es positiva-semidefinida si y sólo si todos los menores principales de M son no negativos. ^{[2] [3]}

Supóngase que es una matriz hermítica . Sean las matrices menores principales, es decir, las matrices de la esquina superior izquierda. Se demostrará que si es definida positiva, entonces las matrices menores principales son positivas; es decir, para todo .$Estilo de visualización M_{n}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle M_{n}^{\dagger }=M_{n}}$${\displaystyle M_{k},k=1,\lpuntos n}$${\displaystyle k\veces k}$$Estilo de visualización M_{n}$${\displaystyle \det M_{k}>0}$${\estilo de visualización k}$

$Estilo de visualización M_ {k}}$es positiva definida. De hecho, elegir

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vpuntos \\x_{k}\\0\\\vpuntos \\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\0\\\vpuntos \\0\end{array}}\right)}$

podemos observar que , de manera equivalente, los valores propios de son positivos, y esto implica que dado que el determinante es el producto de los valores propios.${\displaystyle 0<x^{\dagger }M_{n}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{k}{\vec {x}}.}$$Estilo de visualización M_ {k}}$${\displaystyle \det M_{k}>0}$

Para demostrar la implicación inversa, utilizamos la inducción . La forma general de una matriz hermítica es${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle M_{n+1}=\left({\begin{array}{cc}M_{n}&{\vec {v}}\\{\vec {v}}^{\dagger }&d\end{array}}\right)\qquad (*)}$,

donde es una matriz hermítica, es un vector y es una constante real.$Estilo de visualización M_{n}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\estilo de visualización d}$

Supongamos que el criterio se cumple para . Suponiendo que todos los menores principales de son positivos implica que , , y que es definida positiva por la hipótesis inductiva. Denote$Estilo de visualización M_{n}$$Estilo de visualización M_{n+1}}$${\displaystyle \det M_{n+1}>0}$${\displaystyle \det M_{n}>0}$$Estilo de visualización M_{n}$

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\x_{n+1}\end{array}}\right)}$

entonces

${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{n}{\vec {x}}+x_{n+1}{\vec {x}}^{\daga }{\vec {v}}+{\bar {x}}_{n+1}{\vec {v}}^{\daga }{\vec {x}}+ d|x_{n+1}|^{2}}$

Completando los cuadrados, esta última expresión es igual a

${\displaystyle ({\vec {x}}^{\dagger }+{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\bar {x}}_{n+1 })M_{n}({\vec {x}}+x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}})-|x_{n+1}|^{2 }{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}+d|x_{n+1}|^{2}}$

${\displaystyle =({\vec {x}}+{\vec {c}})^{\dagger }M_{n}({\vec {x}}+{\vec {c}})+|x_ {n+1}|^{2}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})}$

donde (nótese que existe porque los valores propios de son todos positivos). El primer término es positivo según la hipótesis inductiva. Ahora examinamos el signo del segundo término. Utilizando la fórmula del determinante de la matriz de bloques${\displaystyle {\vec {c}}=x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}}}$$Estilo de visualización M_{n}^{-1}}$$Estilo de visualización M_{n}$

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)=\det A\det(D-CA^{-1}B)}$

en obtenemos${\estilo de visualización (*)}$

${\displaystyle \det M_{n+1}=\det M_{n}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}) >0}$, lo que implica .${\displaystyle d-{\vec {v}}^{\dagger }M_ {n}^{-1}{\vec {v}}>0}$

Como consecuencia,${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x>0.}$

Sea una matriz hermítica de n x n . Supongamos que es semidefinida. Básicamente, la misma prueba que para el caso que es estrictamente definida positiva muestra que todos los menores principales (no necesariamente los menores principales principales) son no negativos.$Estilo de visualización M_{n}$$Estilo de visualización M_{n}$$Estilo de visualización M_{n}$

Para la implicación inversa, basta con mostrar que si tiene todos los menores principales no negativos, entonces para todo t>0 , todos los menores principales de la matriz hermítica son estrictamente positivos, donde es la matriz identidad n x n . De hecho, a partir del caso definido positivo, sabríamos que las matrices son estrictamente definidas positivas. Como el límite de las matrices definidas positivas es siempre semidefinidas positivas, podemos concluir.$Estilo de visualización M_{n}$$Estilo de visualización M_{n}+tI_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$$Estilo de visualización M_{n}+tI_{n}}$${\displaystyle t\to 0}$

Para demostrar esto, sea la k ésima submatriz principal principal de Sabemos que es un polinomio en t , relacionado con el polinomio característico mediante Usamos la identidad en Polinomio característico#Propiedades para escribir donde es la traza de la j ésima potencia exterior de$Estilo de visualización M_ {k}}$${\displaystyle M_{n}.}$${\displaystyle q_{k}(t)=\det(M_{k}+tI_{k})}$$estilo de visualización p_{M_{k}}}$$${\displaystyle q_{k}(t)=(-1)^{k}p_{M_{k}}(-t).}$$$${\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{j=0}^{k}t^{kj}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right),}$$${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{j}M_{k}\right)}$${\estilo de visualización M_{k}.}$

De Minor_(linear_algebra)#Multilinear_algebra_approach , sabemos que las entradas en la expansión matricial de (para j > 0 ) son solo los menores de En particular, las entradas diagonales son los menores principales de , que por supuesto también son menores principales de , y por lo tanto no son negativos. Dado que la traza de una matriz es la suma de las entradas diagonales, se deduce que Por lo tanto, el coeficiente de en no es negativo para todo j > 0. Para j = 0 , está claro que el coeficiente es 1. En particular, para todo t > 0 , que es lo que se requería demostrar.$Estilo de visualización grande ^{j}M_{k}}$${\estilo de visualización M_{k}.}$$Estilo de visualización M_ {k}}$$Estilo de visualización M_{n}$$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right)\geq 0.}$$${\displaystyle t^{k-j}}$${\displaystyle q_{k}(t)}$${\displaystyle q_{k}(t)>0}$

• Gilbert, George T. (1991), "Matrices definidas positivas y el criterio de Sylvester", The American Mathematical Monthly , 98 (1), Mathematical Association of America: 44–46, doi :10.2307/2324036, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324036.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6. Teorema 7.2.5.
• Carl D. Meyer (junio de 2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada , SIAM , ISBN 0-89871-454-0.