Expresión de forma cerrada

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En matemáticas , una expresión o ecuación está en forma cerrada si está formada por constantes , variables y un conjunto finito de funciones básicas conectadas por operaciones aritméticas ( +, −, ×, / y potencias enteras ) y composición de funciones . Comúnmente, las funciones permitidas son la raíz n- ésima , la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas . ^[a] Sin embargo, el conjunto de funciones básicas depende del contexto.

El problema de la forma cerrada surge cuando se introducen nuevas formas de especificar objetos matemáticos , como límites , series e integrales : dado un objeto especificado con dichas herramientas, un problema natural es encontrar, si es posible, una expresión en forma cerrada de este objeto, es decir, una expresión de este objeto en términos de formas previas de especificarlo.

La fórmula cuadrática

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

es una forma cerrada de las soluciones de la ecuación cuadrática general ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

De manera más general, en el contexto de ecuaciones polinómicas , una forma cerrada de una solución es una solución en radicales ; es decir, una expresión en forma cerrada para la cual las funciones permitidas son solo raíces n -ésimas y operaciones de campo. De hecho, la teoría de campos permite mostrar que si una solución de una ecuación polinómica tiene una forma cerrada que involucra exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas, entonces también tiene una forma cerrada que no involucra estas funciones. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

Existen expresiones en radicales para todas las soluciones de ecuaciones cúbicas (grado 3) y ecuaciones cuárticas (grado 4). El tamaño de estas expresiones aumenta significativamente con el grado, lo que limita su utilidad.

En grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini establece que existen ecuaciones cuyas soluciones no pueden expresarse en radicales y, por lo tanto, no tienen formas cerradas. Un ejemplo sencillo es la ecuación La teoría de Galois proporciona un método algorítmico para decidir si una ecuación polinómica particular puede resolverse en radicales.${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

La integración simbólica consiste esencialmente en la búsqueda de formas cerradas para las antiderivadas de funciones que se especifican mediante expresiones de forma cerrada. En este contexto, las funciones básicas utilizadas para definir formas cerradas son comúnmente logaritmos , funciones exponenciales y raíces polinómicas . Las funciones que tienen una forma cerrada para estas funciones básicas se denominan funciones elementales e incluyen funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas , funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas .

El problema fundamental de la integración simbólica es entonces, dada una función elemental especificada por una expresión de forma cerrada, decidir si su antiderivada es una función elemental y, si lo es, encontrar una expresión de forma cerrada para esta antiderivada.

Para funciones racionales , es decir, para fracciones de dos funciones polinómicas , las antiderivadas no siempre son fracciones racionales, sino funciones elementales que pueden implicar logaritmos y raíces polinómicas. Esto se demuestra generalmente con la descomposición en fracciones parciales . La necesidad de logaritmos y raíces polinómicas se ilustra con la fórmula

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

que es válido si y son polinomios coprimos tales que es libre de cuadrados y${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Cambiar la definición de "bien conocido" para incluir funciones adicionales puede cambiar el conjunto de ecuaciones con soluciones en forma cerrada. Muchas funciones de distribución acumulativa no se pueden expresar en forma cerrada, a menos que se considere que funciones especiales como la función de error o la función gamma son bien conocidas. Es posible resolver la ecuación de quinto grado si se incluyen funciones hipergeométricas generales , aunque la solución es demasiado complicada algebraicamente para ser útil. Para muchas aplicaciones informáticas prácticas, es completamente razonable suponer que la función gamma y otras funciones especiales son bien conocidas, ya que las implementaciones numéricas están ampliamente disponibles.

Una expresión analítica (también conocida como expresión en forma analítica o fórmula analítica ) es una expresión matemática construida utilizando operaciones bien conocidas que se prestan fácilmente al cálculo. ^{[ vago ] [ cita requerida ]} De manera similar a las expresiones de forma cerrada, el conjunto de funciones conocidas permitidas puede variar según el contexto, pero siempre incluye las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), exponenciación a un exponente real (que incluye la extracción de la raíz n ), logaritmos y funciones trigonométricas.

Sin embargo, la clase de expresiones consideradas como expresiones analíticas tiende a ser más amplia que la de las expresiones de forma cerrada. En particular, se suelen permitir funciones especiales como las funciones de Bessel y la función gamma , y ​​a menudo también las series infinitas y las fracciones continuas . Por otra parte, los límites en general y las integrales en particular suelen quedar excluidos. ^{[ cita requerida ]}

Si una expresión analítica involucra solo operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y exponenciación a un exponente racional) y constantes racionales, entonces se la denomina más específicamente expresión algebraica .

Las expresiones en forma cerrada son una subclase importante de expresiones analíticas, que contienen un número finito de aplicaciones de funciones bien conocidas. A diferencia de las expresiones analíticas más amplias, las expresiones en forma cerrada no incluyen series infinitas o fracciones continuas ; tampoco incluyen integrales o límites . De hecho, por el teorema de Stone-Weierstrass , cualquier función continua en el intervalo unitario puede expresarse como un límite de polinomios, por lo que cualquier clase de funciones que contengan los polinomios y estén cerradas bajo límites incluirá necesariamente todas las funciones continuas.

De manera similar, se dice que una ecuación o un sistema de ecuaciones tiene una solución en forma cerrada si, y solo si, al menos una solución puede expresarse como una expresión en forma cerrada; y se dice que tiene una solución analítica si y solo si al menos una solución puede expresarse como una expresión analítica. Existe una distinción sutil entre una " función en forma cerrada " y un "número en forma cerrada" en el análisis de una "solución en forma cerrada", que se analiza en (Chow 1999) y más adelante. A veces se hace referencia a una solución en forma cerrada o analítica como una solución explícita .

La expresión: no está en forma cerrada porque la suma implica un número infinito de operaciones elementales. Sin embargo, al sumar una serie geométrica, esta expresión puede expresarse en forma cerrada: ^[1]$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$$${\displaystyle f(x)=2x.}$$

La integral de una expresión en forma cerrada puede o no ser expresable como una expresión en forma cerrada. Este estudio se conoce como teoría diferencial de Galois , por analogía con la teoría algebraica de Galois.

El teorema básico de la teoría diferencial de Galois se debe a Joseph Liouville en las décadas de 1830 y 1840 y por eso se le conoce como teorema de Liouville .

Un ejemplo estándar de una función elemental cuya antiderivada no tiene una expresión en forma cerrada es: cuya única antiderivada es ( hasta una constante multiplicativa) la función de error :$${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

Las ecuaciones o sistemas demasiado complejos para soluciones analíticas o de forma cerrada a menudo se pueden analizar mediante modelos matemáticos y simulación por computadora (para un ejemplo en física, consulte ^[2] ).

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Se han sugerido tres subcampos de los números complejos C como codificadores de la noción de un "número de forma cerrada"; en orden creciente de generalidad, estos son los números de Liouvillianos (que no deben confundirse con los números de Liouville en el sentido de aproximación racional), los números EL y los números elementales . Los números de Liouvillianos , denotados L , forman el subcampo algebraicamente cerrado más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo (formalmente, intersección de todos esos subcampos), es decir, números que involucran exponenciación explícita y logaritmos, pero permiten polinomios explícitos e implícitos (raíces de polinomios); esto se define en (Ritt 1948, p. 60). L se denominó originalmente como números elementales , pero este término ahora se usa de manera más amplia para referirse a números definidos explícita o implícitamente en términos de operaciones algebraicas, exponenciales y logaritmos. Una definición más restringida propuesta en (Chow 1999, pp. 441–442), denotada E , y referida como números EL , es el subcuerpo más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo—este no necesita ser algebraicamente cerrado, y corresponde a operaciones explícitas algebraicas, exponenciales y logarítmicas. "EL" significa tanto "exponencial-logarítmico" como una abreviatura de "elemental".

El hecho de que un número sea un número en forma cerrada está relacionado con el hecho de que un número sea trascendental . Formalmente, los números de Liouvillia y los números elementales contienen los números algebraicos e incluyen algunos, pero no todos, los números trascendentales. Por el contrario, los números EL no contienen todos los números algebraicos, pero sí incluyen algunos números trascendentales. Los números en forma cerrada se pueden estudiar a través de la teoría de números trascendentales , en la que un resultado importante es el teorema de Gelfond-Schneider y una pregunta abierta importante es la conjetura de Schanuel .

Para los propósitos de los cálculos numéricos, no es necesario que estén en forma cerrada, ya que muchos límites e integrales se pueden calcular de manera eficiente. Algunas ecuaciones no tienen una solución en forma cerrada, como las que representan el problema de los tres cuerpos o el modelo de Hodgkin-Huxley . Por lo tanto, los estados futuros de estos sistemas deben calcularse numéricamente.

Existe software que intenta encontrar expresiones de forma cerrada para valores numéricos, incluyendo RIES, ^[3] identificado en Maple ^[4] y SymPy , ^[5] el inversor de Plouffe, ^[6] y la calculadora simbólica inversa . ^[7]

• Solución algebraica  – Solución en radicales de una ecuación polinómicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Simulación por computadora  : proceso de modelado matemático, realizado en una computadora.
• Función elemental  – Función matemática
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• Función de Liouvillian  – Funciones elementales y sus integrales finitamente iteradas
• Regresión simbólica  – Tipo de análisis de regresión
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski  - Problema matemático
• Término (lógica)  – Componentes de una fórmula matemática o lógica
• Fórmula autorreferencial de Tupper  : fórmula que se representa visualmente a sí misma cuando se grafica

• Ritt, JF (1948), Integración en términos finitos
• Chow, Timothy Y. (mayo de 1999), "¿Qué es un número de forma cerrada?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi :10.2307/2589148, JSTOR  2589148
• Jonathan M. Borwein y Richard E. Crandall (enero de 2013), "Formas cerradas: qué son y por qué nos importan", Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50–65, doi : 10.1090/noti936

• Weisstein, Eric W. "Solución de forma cerrada". MathWorld .
• Redes neuronales de tiempo continuo de forma cerrada