Fijación del calibre

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Quantum field theory
Feynman diagram
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En la física de las teorías de gauge , la fijación de gauge (también llamada elección de un gauge ) denota un procedimiento matemático para lidiar con grados de libertad redundantes en variables de campo . Por definición, una teoría de gauge representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campo locales detalladas. Dos configuraciones detalladas cualesquiera en la misma clase de equivalencia están relacionadas por una cierta transformación, equivalente a una cizalladura a lo largo de ejes no físicos en el espacio de configuración. La mayoría de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de gauge solo se pueden obtener bajo una prescripción coherente para suprimir o ignorar estos grados de libertad no físicos.

Aunque los ejes no físicos en el espacio de configuraciones detalladas son una propiedad fundamental del modelo físico, no existe un conjunto especial de direcciones "perpendiculares" a ellos. Por lo tanto, hay una enorme cantidad de libertad involucrada en tomar una "sección transversal" que represente cada configuración física mediante una configuración detallada particular (o incluso una distribución ponderada de ellas). La fijación juiciosa de los parámetros de calibración puede simplificar enormemente los cálculos, pero se vuelve progresivamente más difícil a medida que el modelo físico se vuelve más realista; su aplicación a la teoría cuántica de campos está plagada de complicaciones relacionadas con la renormalización , especialmente cuando el cálculo se continúa a órdenes superiores . Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de parámetros de calibración lógicamente consistentes y computacionalmente manejables, y los esfuerzos por demostrar su equivalencia frente a una desconcertante variedad de dificultades técnicas, ha sido un importante impulsor de la física matemática desde fines del siglo XIX hasta la actualidad. ^{[ cita requerida ]}

La teoría de gauge arquetípica es la formulación de Heaviside - Gibbs de la electrodinámica del continuo en términos de un potencial electromagnético de cuatro polos , que se presenta aquí en notación de Heaviside asimétrica espacio/temporal. El campo eléctrico E y el campo magnético B de las ecuaciones de Maxwell contienen sólo grados de libertad "físicos", en el sentido de que cada grado de libertad matemático en una configuración de campo electromagnético tiene un efecto medible por separado sobre los movimientos de las cargas de prueba en las proximidades. Estas variables de "intensidad de campo" se pueden expresar en términos del potencial escalar eléctrico y del potencial vectorial magnético A mediante las relaciones:${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Si la transformación

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$$

( 1 )

se hace, entonces B permanece inalterado, ya que (con la identidad )${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$$${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Sin embargo, esta transformación cambia E según$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.}$$

Si otro cambio

$${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}}$$

( 2 )

se hace entonces E también permanece igual. Por lo tanto, los campos E y B no cambian si uno toma cualquier función ψ ( r , t ) y transforma simultáneamente A y φ a través de las transformaciones ( 1 ) y ( 2 ).

Una elección particular de los potenciales escalares y vectoriales es un calibre (más precisamente, potencial de calibre ) y una función escalar ψ utilizada para cambiar el calibre se llama función de calibre . ^{[ cita requerida ]} La existencia de un número arbitrario de funciones de calibre ψ ( r , t ) corresponde a la libertad de calibre U(1) de esta teoría. La fijación del calibre se puede hacer de muchas maneras, algunas de las cuales mostramos a continuación.

Aunque ahora se habla a menudo del electromagnetismo clásico como una teoría de gauge, no se concibió originalmente en estos términos. El movimiento de una carga puntual clásica se ve afectado únicamente por las intensidades de los campos eléctrico y magnético en ese punto, y los potenciales pueden tratarse como un mero dispositivo matemático para simplificar algunas pruebas y cálculos. No fue hasta la llegada de la teoría cuántica de campos que se pudo decir que los propios potenciales forman parte de la configuración física de un sistema. La primera consecuencia que se predijo con precisión y se verificó experimentalmente fue el efecto Aharonov-Bohm , que no tiene una contraparte clásica. Sin embargo, la libertad de gauge sigue siendo válida en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de línea de A alrededor de un bucle cerrado, y esta integral no cambia por $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

La fijación de calibre en teorías de calibre no abelianas , como la teoría de Yang-Mills y la relatividad general , es un tema bastante más complicado; para más detalles, véase ambigüedad de Gribov , fantasma de Faddeev-Popov y fibrado de marcos .

Como ilustración de la fijación de calibre, se puede observar una varilla cilíndrica e intentar determinar si está torcida. Si la varilla es perfectamente cilíndrica, entonces la simetría circular de la sección transversal hace imposible determinar si está torcida o no. Sin embargo, si hubiera una línea recta dibujada a lo largo de la varilla, entonces se podría decir fácilmente si hay o no una torsión observando el estado de la línea. Dibujar una línea es una fijación de calibre . Dibujar la línea estropea la simetría de calibre, es decir, la simetría circular U(1) de la sección transversal en cada punto de la varilla. La línea es el equivalente de una función de calibre ; no necesita ser recta. Casi cualquier línea es una fijación de calibre válida, es decir, hay una gran libertad de calibre . En resumen, para determinar si la varilla está torcida, se debe conocer el calibre. Las cantidades físicas, como la energía de la torsión, no dependen del calibre, es decir, son invariantes de calibre .

El calibre de Coulomb (también conocido como calibre transversal ) se utiliza en química cuántica y física de la materia condensada y se define por la condición de calibre (más precisamente, condición de fijación del calibre).$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

Es particularmente útil para cálculos "semiclásicos" en mecánica cuántica, en los que el potencial vectorial está cuantificado pero la interacción de Coulomb no.

El calibre de Coulomb tiene una serie de propiedades:

El calibre de Lorenz se expresa, en unidades del SI , por: y en unidades gaussianas por:$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Esto puede reescribirse como: donde es el potencial cuadripolar electromagnético , ∂ _μ el gradiente cuadripolar [usando la firma métrica (+, −, −, −)].$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$

Es único entre los calibres de restricción en cuanto a que conserva la invariancia manifiesta de Lorentz . Sin embargo, cabe señalar que este calibre recibió originalmente el nombre del físico danés Ludwig Lorenz y no de Hendrik Lorentz ; a menudo se escribe incorrectamente "calibre de Lorentz". (Ninguno de los dos fue el primero en utilizarlo en los cálculos; lo introdujo en 1888 George Francis FitzGerald ).

El calibre de Lorenz conduce a las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas para los potenciales:$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

De estas ecuaciones se desprende que, en ausencia de corriente y carga, las soluciones son potenciales que se propagan a la velocidad de la luz.

El calibre de Lorenz es incompleto en cierto sentido: queda un subespacio de transformaciones de calibre que también pueden conservar la restricción. Estos grados de libertad restantes corresponden a funciones de calibre que satisfacen la ecuación de onda.$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

Estos grados de libertad restantes se propagan a la velocidad de la luz. Para obtener un calibre totalmente fijo, se deben agregar condiciones de contorno a lo largo del cono de luz de la región experimental.

Las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz se simplifican a donde es la corriente de cuatro .$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$

Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración de corriente difieren en una solución de la ecuación de onda de vacío. De esta forma, está claro que los componentes del potencial satisfacen por separado la ecuación de Klein-Gordon y, por lo tanto, que la condición de calibre de Lorenz permite ondas polarizadas transversalmente, longitudinalmente y "temporales" en el potencial cuatrienal. Las polarizaciones transversales corresponden a la radiación clásica, es decir, ondas polarizadas transversalmente en la intensidad de campo. Para suprimir los estados de polarización longitudinal y temporal "no físicos", que no se observan en experimentos a escalas de distancia clásicas, también se deben emplear restricciones auxiliares conocidas como identidades de Ward . Clásicamente, estas identidades son equivalentes a la ecuación de continuidad.$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

Muchas de las diferencias entre la electrodinámica clásica y la cuántica pueden explicarse por el papel que desempeñan las polarizaciones longitudinales y temporales en las interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.

Los calibres R _ξ son una generalización del calibre de Lorenz aplicable a teorías expresadas en términos de un principio de acción con densidad lagrangiana . En lugar de fijar el calibre restringiendo el campo de calibre a priori , mediante una ecuación auxiliar, se añade un término de ruptura del calibre al lagrangiano "físico" (invariante del calibre).${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

La elección del parámetro ξ determina la elección del calibre. El calibre de Landau R _ξ es clásicamente equivalente al calibre de Lorenz: se obtiene en el límite ξ  → 0 pero pospone la toma de ese límite hasta después de que la teoría haya sido cuantizada. Mejora el rigor de ciertas pruebas de existencia y equivalencia. La mayoría de los cálculos de la teoría cuántica de campos son más simples en el calibre de Feynman–'t Hooft , en el que ξ = 1 ; algunos son más manejables en otros calibres R _ξ , como el calibre de Yennie ξ = 3 .

Una formulación equivalente del calibre R _ξ utiliza un campo auxiliar , un campo escalar B sin dinámica independiente:$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

El campo auxiliar, a veces llamado campo de Nakanishi-Lautrup, se puede eliminar "completando el cuadrado" para obtener la forma anterior. Desde una perspectiva matemática, el campo auxiliar es una variedad del bosón de Goldstone , y su uso tiene ventajas a la hora de identificar los estados asintóticos de la teoría, y especialmente a la hora de generalizar más allá de la QED.

Históricamente, el uso de calibres R _ξ fue un avance técnico significativo en la extensión de los cálculos de electrodinámica cuántica más allá del orden de un bucle . Además de retener la invariancia manifiesta de Lorentz , la prescripción R _ξ rompe la simetría bajo transformaciones de calibre locales mientras preserva la relación de medidas funcionales de dos configuraciones de calibre físicamente distintas . Esto permite un cambio de variables en el que las perturbaciones infinitesimales a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de configuración están completamente desacopladas de aquellas a lo largo de direcciones "no físicas", lo que permite que estas últimas sean absorbidas en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional . Cuando ξ es finito, cada configuración física (órbita del grupo de transformaciones de calibre) está representada no por una única solución de una ecuación de restricción sino por una distribución gaussiana centrada en el extremo del término de ruptura de calibre. En términos de las reglas de Feynman de la teoría fija de calibre, esto aparece como una contribución al propagador de fotones para líneas internas de fotones virtuales de polarización no física .

El propagador de fotones, que es el factor multiplicativo correspondiente a un fotón interno en la expansión del diagrama de Feynman de un cálculo QED, contiene un factor g _μν correspondiente a la métrica de Minkowski . Una expansión de este factor como una suma sobre polarizaciones de fotones involucra términos que contienen las cuatro polarizaciones posibles. La radiación polarizada transversalmente se puede expresar matemáticamente como una suma sobre una base polarizada lineal o circularmente . De manera similar, se pueden combinar las polarizaciones de calibre longitudinales y temporales para obtener polarizaciones "hacia adelante" y "hacia atrás"; estas son una forma de coordenadas de cono de luz en las que la métrica está fuera de la diagonal. Una expansión del factor g _μν en términos de coordenadas de cono de luz y polarizadas circularmente (espín ±1) se denomina suma de espín. Las sumas de espín pueden ser muy útiles tanto para simplificar expresiones como para obtener una comprensión física de los efectos experimentales asociados con diferentes términos en un cálculo teórico.

Richard Feynman utilizó argumentos similares a estos para justificar procedimientos de cálculo que producían resultados consistentes, finitos y de alta precisión para parámetros observables importantes, como el momento magnético anómalo del electrón. Aunque sus argumentos a veces carecían de rigor matemático incluso para los estándares de los físicos y pasaban por alto detalles como la derivación de las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos funcionaron y Freeman Dyson pronto demostró que su método era sustancialmente equivalente a los de Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga , con quienes Feynman compartió el Premio Nobel de Física de 1965 .

La radiación polarizada hacia adelante y hacia atrás se puede omitir en los estados asintóticos de una teoría cuántica de campos (véase la identidad de Ward–Takahashi ). Por esta razón, y debido a que su aparición en las sumas de espín se puede ver como un mero dispositivo matemático en la QED (de forma muy similar al potencial electromagnético de cuatro potenciales en la electrodinámica clásica), a menudo se habla de ellas como "no físicas". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de calibre basados ​​en restricciones anteriores, el calibre R _ξ se generaliza bien a grupos de calibre no abelianos como el SU(3) de QCD . Los acoplamientos entre los ejes de perturbación físicos y no físicos no desaparecen por completo bajo el cambio correspondiente de variables; para obtener resultados correctos, uno debe tener en cuenta el jacobiano no trivial de la incrustación de los ejes de libertad de calibre dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto conduce a la aparición explícita de bosones de calibración polarizados hacia adelante y hacia atrás en los diagramas de Feynman, junto con los fantasmas de Faddeev-Popov , que son aún más "no físicos" en el sentido de que violan el teorema de estadística de espín . La relación entre estas entidades y las razones por las que no aparecen como partículas en el sentido mecánico cuántico se hace más evidente en el formalismo de cuantificación BRST.

En cualquier teoría de calibración no abeliana , cualquier calibración abeliana máxima es una calibración incompleta que fija la libertad de calibración fuera del subgrupo abeliano máximo. Algunos ejemplos son

• Para la teoría de calibre SU(2) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U(1). Si se elige que sea el generado por la matriz de Pauli σ ₃ , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función donde$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• Para la teoría de calibre SU(3) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U(1)×U(1). Si se elige que sea el generado por las matrices de Gell-Mann λ ₃ y λ ₈ , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función donde$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

Esto se aplica regularmente en álgebras superiores (de grupos en las álgebras), por ejemplo, el Álgebra de Clifford y tal como es regularmente.

En la literatura han aparecido otros indicadores que pueden resultar beneficiosos en situaciones específicas. ^[2]

El calibre de Weyl (también conocido como calibre hamiltoniano o temporal ) es un calibre incompleto obtenido por la elección$${\displaystyle \varphi =0}$$

Recibe su nombre en honor a Hermann Weyl . Elimina el fantasma de la norma negativa , carece de invariancia de Lorentz manifiesta y requiere fotones longitudinales y una restricción en los estados. ^[5]

La condición del calibre del calibre multipolar (también conocido como calibre de línea , calibre de punto o calibre de Poincaré (llamado así por Henri Poincaré )) es:$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0.}$$

Este es otro indicador en el que los potenciales se pueden expresar de forma sencilla en términos de los campos instantáneos.$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)u\,du}$$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.}$$

La condición de calibre del calibre de Fock-Schwinger (llamado así por Vladimir Fock y Julian Schwinger ; a veces también llamado calibre de Poincaré relativista ) es: donde x ^μ es el cuatro-vector de posición .$${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$$

La condición de calibre de Dirac no lineal (llamada así en honor a Paul Dirac ) es:$${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$$

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). La teoría clásica de campos . Ámsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.