Coordenadas del cono de luz

En física , particularmente en relatividad especial , las coordenadas del cono de luz , introducidas por Paul Dirac ^[1] y también conocidas como coordenadas de Dirac, son un sistema de coordenadas especial donde dos ejes de coordenadas combinan tanto el espacio como el tiempo, mientras que todos los demás son espaciales.

Un plano espacio-temporal puede estar asociado con el plano de números complejos divididos sobre el que actúan los elementos de la hipérbola unitaria para producir impulsos de Lorentz. Este plano numérico tiene ejes que corresponden al tiempo y al espacio. Una base alternativa es la base diagonal que corresponde a las coordenadas del cono de luz.

En un sistema de coordenadas de cono de luz, dos de las coordenadas son vectores nulos y todas las demás coordenadas son espaciales. Las primeras pueden denotarse como y y las segundas como .${\estilo de visualización x^{+}}$${\estilo de visualización x^{-}}$${\displaystyle x_{\perp}}$

Supongamos que estamos trabajando con una firma Lorentziana (d,1).

En lugar del sistema de coordenadas estándar (utilizando la notación de Einstein )

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$,

con nosotros tenemos${\displaystyle i,j=1,\puntos ,d}$

${\displaystyle ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

con , y .${\displaystyle i,j=1,\puntos ,d-1}$${\displaystyle x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle x^{-}={\frac {tx}{\sqrt {2}}}}$

Tanto y pueden actuar como coordenadas de "tiempo". ^{[2] : 21}${\estilo de visualización x^{+}}$${\estilo de visualización x^{-}}$

Una ventaja de las coordenadas del cono de luz es que la estructura causal está parcialmente incluida en el propio sistema de coordenadas.

Un impulso en el plano se muestra como el mapeo de compresión , , . Una rotación en el plano solo afecta a .${\estilo de visualización (t,x)}$ ${\displaystyle x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}}$${\displaystyle x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}}$${\estilo de visualización (i,j)}$${\displaystyle x_{\perp}}$

Las transformaciones parabólicas aparecen como , , . Otro conjunto de transformaciones parabólicas aparecen como , y .${\displaystyle x^{+}\to x^{+}}$${\displaystyle x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}}$${\displaystyle x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}}$${\displaystyle x^{-}\to x^{-}}$${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}}$

Las coordenadas del cono de luz también se pueden generalizar al espacio-tiempo curvo en la relatividad general. A veces, los cálculos se simplifican utilizando las coordenadas del cono de luz. Véase el formalismo de Newman-Penrose . Las coordenadas del cono de luz se utilizan a veces para describir colisiones relativistas, especialmente si la velocidad relativa es muy cercana a la velocidad de la luz. También se utilizan en el calibre del cono de luz de la teoría de cuerdas.

Una cuerda cerrada es una generalización de una partícula. La coordenada espacial de un punto de la cuerda se describe convenientemente mediante un parámetro que va desde hasta . El tiempo se describe apropiadamente mediante un parámetro . Al asociar cada punto de la cuerda en un espacio-tiempo de dimensión D con coordenadas y coordenadas transversales , estas coordenadas desempeñan el papel de campos en una teoría de campos dimensional. Claramente, para una teoría de este tipo se requiere más. Es conveniente emplear en lugar de y , las coordenadas del cono de luz dadas por${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 2\pi}$$estilo de visualización {\sigma _{0}}$$estilo de visualización x_{0},x}$${\displaystyle x_{i},i=2,...,D}$${\estilo de visualización 1+1}$${\displaystyle x_{0}=\sigma _{0}}$${\estilo de visualización x}$$estilo de visualización x_{\pm}$

${\displaystyle x_{\pm}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}$

de modo que la métrica viene dada por$Estilo de visualización ds^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}$

(suma sobre entendida). Hay cierta libertad de calibración. Primero, podemos establecer y tratar este grado de libertad como la variable de tiempo. Se puede imponer una invariancia de reparametrización bajo con una restricción que obtenemos de la métrica, es decir${\estilo de visualización i}$${\displaystyle x_{+}=\sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}$

Por lo tanto, ya no es un grado de libertad independiente. Ahora se puede identificar como la carga de Noether correspondiente . Considere . Luego, con el uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange para y se obtiene$estilo de visualización x_{-}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})}$$Estilo de visualización x_{i}}$$estilo de visualización x_{-}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\parcial }{\parcial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\parcial {\mathcal {L}}_{0}}{\parcial (\parcial x_{i}/\parcial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}$

Equiparando esto a

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}$

donde está la carga de Noether, obtenemos:${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}$

Este resultado concuerda con un resultado citado en la literatura. ^[3]

Para una partícula libre de masa la acción es${\displaystyle m}$

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg [}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}+m^{2}{\bigg ]}.}$

En las coordenadas del cono de luz se pasa a ser variable en el tiempo:${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma =x_{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.}$

Los momentos canónicos son

${\displaystyle p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.}$

El hamiltoniano es ( ):${\displaystyle \hbar =c=1}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},}$

y las ecuaciones de Hamilton no relativistas implican:

${\displaystyle x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.}$

Ahora podemos ampliar esto a una cadena libre.

• Formalismo de Newman-Penrose