Identidad de Ward-Takahashi

En la teoría cuántica de campos , una identidad de Ward-Takahashi es una identidad entre funciones de correlación que se desprende de las simetrías globales o de calibre de la teoría y que sigue siendo válida después de la renormalización .

La identidad de Ward-Takahashi de la electrodinámica cuántica (EDQ) fue utilizada originalmente por John Clive Ward ^[1] y Yasushi Takahashi ^[2] para relacionar la renormalización de la función de onda del electrón con su factor de renormalización del vértice , garantizando la cancelación de la divergencia ultravioleta para todos los órdenes de la teoría de perturbaciones . Los usos posteriores incluyen la extensión de la prueba del teorema de Goldstone a todos los órdenes de la teoría de perturbaciones.

En términos más generales, una identidad de Ward-Takahashi es la versión cuántica de la conservación de la corriente clásica asociada a una simetría continua por el teorema de Noether . Tales simetrías en la teoría cuántica de campos (casi) siempre dan lugar a estas identidades de Ward-Takahashi generalizadas que imponen la simetría en el nivel de las amplitudes mecánicas cuánticas. Este sentido generalizado debe distinguirse al leer literatura, como el libro de texto de Michael Peskin y Daniel Schroeder, ^[3] de la identidad de Ward-Takahashi original.

El análisis detallado que se presenta a continuación se refiere a la QED, una teoría abeliana a la que se aplica la identidad de Ward-Takahashi. Las identidades equivalentes para teorías no abelianas como la cromodinámica cuántica (QCD) son las identidades de Slavnov-Taylor .

El operador Ward describe cómo un término escalar en una transformación lagrangiana se transforma bajo transformaciones de calibre infinitesimales. Está estrechamente relacionado con el operador BRST y desempeña un papel central al proporcionar una descripción geométrica de la cuantificación consistente de las teorías de calibre .

La identidad de Ward-Takahashi se aplica a funciones de correlación en el espacio de momento , que no necesariamente tienen todos sus momentos externos en la capa . Sea

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

sea ​​una función de correlación QED que involucra un fotón externo con momento k (donde es el vector de polarización del fotón y se implica la suma), n electrones de estado inicial con momentos , y n electrones de estado final con momentos . También se define como la amplitud más simple que se obtiene al eliminar el fotón con momento k de nuestra amplitud original. Entonces la identidad de Ward-Takahashi se lee${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}\right.&(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\\&\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}}$

donde es la carga del electrón y es de signo negativo. Nótese que si tiene sus electrones externos en su capa, entonces las amplitudes en el lado derecho de esta identidad tienen cada una una partícula externa fuera de su capa y, por lo tanto, no contribuyen a los elementos de la matriz S.${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

La identidad de Ward es una especialización de la identidad de Ward-Takahashi para los elementos de la matriz S , que describen procesos de dispersión físicamente posibles y, por lo tanto, tienen todas sus partículas externas en la capa . Nuevamente, sea la amplitud para algún proceso de QED que involucra un fotón externo con momento , donde es el vector de polarización del fotón. Entonces, la identidad de Ward se lee:${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Físicamente, lo que significa esta identidad es que la polarización longitudinal del fotón que surge en el calibre ξ no es física y desaparece de la matriz S.

Algunos ejemplos de su uso incluyen la restricción de la estructura tensorial de la polarización del vacío y de la función de vértice del electrón en QED.

En la formulación de la integral de trayectorias, las identidades de Ward-Takahashi son un reflejo de la invariancia de la medida funcional bajo una transformación de norma . Más precisamente, si representa una transformación de norma por (y esto se aplica incluso en el caso en que la simetría física del sistema sea global o incluso inexistente; aquí solo nos preocupa la invariancia de la medida funcional ), entonces${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

expresa la invariancia de la medida funcional donde es la acción y es una función de los campos . Si la transformación de calibre corresponde a una simetría global de la teoría, entonces,${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

para alguna " corriente " J (como funcional de los campos ) después de integrar por partes y asumiendo que los términos de superficie pueden ser descuidados.${\displaystyle \phi }$

Entonces, las identidades Ward-Takahashi se convierten en

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

Este es el análogo QFT de la ecuación de continuidad de Noether .${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

Si la transformación de calibre corresponde a una simetría de calibre real , entonces

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

donde es la acción invariante de calibre y es un término de fijación de calibre no invariante de calibre . Los términos de fijación de calibre son necesarios para poder realizar una segunda cuantificación de una teoría de calibre clásica. La formulación de la teoría cuántica de campos mediante la integral de trayectorias (lagrangiana) no evita por completo la necesidad de fijación de calibre, ya que sigue siendo necesario calcular los estados asintóticos de la matriz de dispersión ( por ejemplo , en la imagen de interacción ). En resumen, se requiere la fijación de calibre, pero rompe la invariancia de calibre general de la teoría. Las identidades de Ward-Takahashi describen entonces exactamente cómo todos los campos diferentes están vinculados entre sí, bajo una transformación de calibre infinitesimal. Estas identidades de Ward-Takahashi son generadas por el operador Ward; en la forma linealizada, el operador Ward es el operador BRST . La carga correspondiente es la carga BRST . Cuando la teoría de gauge se formula en un fibrado de fibras , las identidades de Ward-Takahashi corresponden a una acción derecha (global) en el fibrado principal : son generadas por la derivada de Lie en el fibrado vertical .${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{\mathrm {gf} }}$

Cuando la medida funcional no es invariante de calibre, pero satisface

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

con es alguna funcional de los campos , la relación correspondiente da la identidad anómala de Ward–Takahashi . El ejemplo convencional es la anomalía quiral . Este ejemplo es prominente en la teoría del modelo sigma de las fuerzas nucleares . En esta teoría, el neutrón y el protón , en un doblete de isospín , sienten fuerzas mediadas por piones , en un triplete de isospín. Esta teoría no tiene una, sino dos simetrías globales distintas: la simetría vectorial y la simetría vectorial axial ; equivalentemente, las simetrías quirales izquierda y derecha . Las corrientes correspondientes son la corriente isovectorial (el mesón rho ) y la corriente vectorial axial . No es posible cuantificar ambas al mismo tiempo (debido a la identidad anómala de Ward–Takahashi); por convención, la simetría vectorial se cuantifica de modo que la corriente vectorial se conserva, mientras que la corriente vectorial axial no se conserva. El mesón rho se interpreta entonces como el bosón de calibración de la simetría vectorial, mientras que la simetría axial se rompe espontáneamente . La ruptura se debe a la cuantificación, es decir, a la identidad anómala de Ward-Takahashi (en lugar de a un potencial de sombrero mexicano al estilo de Higgs, que da como resultado un tipo de ruptura de simetría completamente diferente). La divergencia de la corriente axial relaciona la interacción pión-nucleón con la desintegración del pión, fijándose como la constante de acoplamiento axial. La relación de Goldberger-Treiman se relaciona con la constante de desintegración del pión . De esta manera, la anomalía quiral proporciona la descripción canónica de la interacción pión-nucleón.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle g_{A}\approx 1.267}$ ${\displaystyle f_{\pi }g_{\pi N{\overline {N}}}\simeq g_{A}m_{N}}$${\displaystyle g_{A}}$ ${\displaystyle f_{\pi }}$