Regla de nacimiento

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern–Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein-Gordon Pablo Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie–Bohm Conjunto Variable oculta Local Superdeterminismo Muchos mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional De von Neumann-Wigner
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Paradoja del EPR Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov Campana Bethe Negro Bloqueo Bóhm Bohr Nacido Bosé de Broglie Compton Dirac Davison Debye Fiesta de los testigos Einstein Everett Follar Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramer Cordero Landó Laue Mosley Millikan Onnas Pablo Planck Rabí Rama Rydberg Schrödinger Simmons Campo de verano de Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger
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La regla de Born es un postulado de la mecánica cuántica que establece la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico produzca un resultado determinado. ^[1] En su forma más simple, establece que la densidad de probabilidad de encontrar un sistema en un estado determinado, cuando se mide, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la función de onda del sistema en ese estado. Fue formulada y publicada por el físico alemán Max Born en julio de 1926.

La regla de Born establece que un observable , medido en un sistema con función de onda normalizada (ver notación Bra–ket ), corresponde a un operador autoadjunto cuyo espectro es discreto si:${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• El resultado medido será uno de los valores propios de , y${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$
• la probabilidad de medir un valor propio dado será igual a , donde es la proyección sobre el espacio propio de correspondiente a .${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

(En el caso en que el espacio propio de correspondiente a es unidimensional y abarcado por el vector propio normalizado , es igual a , por lo que la probabilidad es igual a . Dado que el número complejo se conoce como la amplitud de probabilidad que el vector de estado asigna al vector propio , es común describir la regla de Born diciendo que la probabilidad es igual a la amplitud al cuadrado (en realidad, la amplitud multiplicada por su propio conjugado complejo ). De manera equivalente, la probabilidad se puede escribir como ).${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

En el caso en que el espectro de no sea completamente discreto, el teorema espectral demuestra la existencia de una determinada medida de proyección (PVM) , la medida espectral de . En este caso:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle A}$

• La probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un conjunto medible viene dada por .${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

Una función de onda para una sola partícula sin estructura en posición espacial implica que la función de densidad de probabilidad para una medición de la posición de las partículas en el tiempo es:${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$

En algunas aplicaciones, este tratamiento de la regla de Born se generaliza utilizando medidas con valores de operadores positivos (POVM) . Una POVM es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las mediciones de von Neumann y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por observables autoadjuntos. En una analogía aproximada, una POVM es a una PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); análogamente, las POVM son necesarias para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden usar en teoría cuántica de campos . ^[2] Se usan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan en un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad ,: ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$

El elemento POVM está asociado al resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición sobre el estado cuántico viene dada por:${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$

donde es el operador de traza . Esta es la versión POVM de la regla de Born. Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a:${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$

La regla de Born, junto con la unitaridad del operador de evolución temporal (o, equivalentemente, el hamiltoniano siendo hermítico ), implica la unitaridad de la teoría, que se considera necesaria para la consistencia. Por ejemplo, la unitaridad asegura que las probabilidades de todos los resultados posibles sumen 1 (aunque no es la única opción para cumplir con este requisito particular ^{[ aclaración necesaria ]} ).${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

La regla de Born fue formulada por Born en un artículo de 1926. ^[4] En este artículo, Born resuelve la ecuación de Schrödinger para un problema de dispersión e, inspirado por Albert Einstein y la regla probabilística de Einstein para el efecto fotoeléctrico , ^[5] concluye, en una nota a pie de página, que la regla de Born da la única interpretación posible de la solución. (El cuerpo principal del artículo dice que la amplitud "da la probabilidad" [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], mientras que la nota a pie de página añadida en la prueba dice que la probabilidad es proporcional al cuadrado de su magnitud). En 1954, junto con Walther Bothe , Born recibió el Premio Nobel de Física por este y otros trabajos. ^[5] John von Neumann discutió la aplicación de la teoría espectral a la regla de Born en su libro de 1932. ^[6]

El teorema de Gleason muestra que la regla de Born puede derivarse de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con el supuesto de no contextualidad . Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957, ^[7] impulsado por una pregunta planteada por George W. Mackey . ^{[8] [9]} Este teorema fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al demostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son incompatibles con la física cuántica. ^[10]

Varios otros investigadores también han intentado derivar la regla de Born a partir de principios más básicos. Se han propuesto varias derivaciones en el contexto de la interpretación de los muchos mundos . Estas incluyen el enfoque de la teoría de la decisión iniciado por David Deutsch ^[11] y desarrollado posteriormente por Hilary Greaves ^[12] y David Wallace; ^[13] y un enfoque de "envarianza" de Wojciech H. Zurek . ^[14] Sin embargo, estas pruebas han sido criticadas por ser circulares. ^{[15] En 2018, Charles Sebens y} Sean M. Carroll sugirieron un enfoque basado en la incertidumbre autolocalizadora ; ^[16] esto también ha sido criticado. ^[17] Simon Saunders , en 2021, produjo una derivación de conteo de ramas de la regla de Born. La característica crucial de este enfoque es definir las ramas de modo que todas tengan la misma magnitud o 2-norma . Las proporciones de los números de ramas así definidas dan las probabilidades de los diversos resultados de una medición, de acuerdo con la regla de Born. ^[18]

En 2019, Lluís Masanes, Thomas Galley y Markus Müller propusieron una derivación basada en postulados que incluyen la posibilidad de estimación de estado. ^{[19] [20]}

También se ha afirmado que la teoría de la onda piloto se puede utilizar para derivar estadísticamente la regla de Born, aunque esto sigue siendo controvertido. ^[21]

Dentro de la interpretación QBist de la teoría cuántica, la regla de Born se considera una extensión del principio normativo de coherencia , que garantiza la autoconsistencia de las evaluaciones de probabilidad a lo largo de todo un conjunto de dichas evaluaciones. Se puede demostrar que un agente que piensa que está apostando por los resultados de las mediciones en un sistema suficientemente similar a lo cuántico pero se niega a utilizar la regla de Born al realizar sus apuestas es vulnerable a un libro holandés . ^[22]

Wikiquote tiene citas relacionadas con Born rule .

• La mecánica cuántica no está en peligro: los físicos confirman experimentalmente un principio clave que data de hace décadas ScienceDaily (23 de julio de 2010)