Función de onda

En física cuántica , una función de onda (o función de onda ) es una descripción matemática del estado cuántico de un sistema cuántico aislado . Los símbolos más comunes para una función de onda son las letras griegas ψ y Ψ ( psi en minúscula y mayúscula , respectivamente). Las funciones de onda tienen valores complejos . Por ejemplo, una función de onda podría asignar un número complejo a cada punto en una región del espacio. La regla de Born ^{[1] [2] [3]} proporciona los medios para convertir estas amplitudes de probabilidad complejas en probabilidades reales. En una forma común, dice que el módulo al cuadrado de una función de onda que depende de la posición es la densidad de probabilidad de medir una partícula como estando en un lugar dado. La integral del módulo al cuadrado de una función de onda sobre todos los grados de libertad del sistema debe ser igual a 1, una condición llamada normalización . Dado que la función de onda tiene valores complejos, solo se pueden medir su fase relativa y magnitud relativa; su valor, de forma aislada, no dice nada sobre las magnitudes o direcciones de los observables medibles. Es necesario aplicar operadores cuánticos , cuyos valores propios corresponden a conjuntos de posibles resultados de mediciones, a la función de onda ψ y calcular las distribuciones estadísticas para cantidades mensurables.

Las funciones de onda pueden ser funciones de variables distintas de la posición, como el momento . La información representada por una función de onda que depende de la posición se puede convertir en una función de onda dependiente del momento y viceversa, por medio de una transformada de Fourier . Algunas partículas, como los electrones y los fotones , tienen espín distinto de cero , y la función de onda para dichas partículas incluye el espín como un grado de libertad intrínseco y discreto; también se pueden incluir otras variables discretas, como el isospín . Cuando un sistema tiene grados de libertad internos, la función de onda en cada punto de los grados de libertad continuos (por ejemplo, un punto en el espacio) asigna un número complejo para cada valor posible de los grados de libertad discretos (por ejemplo, el componente z del espín). Estos valores a menudo se muestran en una matriz de columnas (por ejemplo, un vector de columna de 2 × 1 para un electrón no relativista con espín 1 ⁄ 2 ).

Según el principio de superposición de la mecánica cuántica, las funciones de onda se pueden sumar y multiplicar por números complejos para formar nuevas funciones de onda y formar un espacio de Hilbert . El producto interno entre dos funciones de onda es una medida de la superposición entre los estados físicos correspondientes y se utiliza en la interpretación probabilística fundamental de la mecánica cuántica, la regla de Born , que relaciona las probabilidades de transición con los productos internos. La ecuación de Schrödinger determina cómo evolucionan las funciones de onda a lo largo del tiempo, y una función de onda se comporta cualitativamente como otras ondas , como las ondas de agua o las ondas en una cuerda, porque la ecuación de Schrödinger es matemáticamente un tipo de ecuación de onda . Esto explica el nombre de "función de onda" y da lugar a la dualidad onda-partícula . Sin embargo, la función de onda en la mecánica cuántica describe un tipo de fenómeno físico, a partir de 2023 todavía abierto a diferentes interpretaciones , que difiere fundamentalmente del de las ondas mecánicas clásicas . ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
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Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein-Gordon Pablo Rydberg Schrödinger
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En 1900, Max Planck postuló la proporcionalidad entre la frecuencia de un fotón y su energía , , ^{[11] [12]} y en 1916 la relación correspondiente entre el momento de un fotón y la longitud de onda , , ^[13] donde es la constante de Planck . En 1923, De Broglie fue el primero en sugerir que la relación , ahora llamada relación de De Broglie , es válida para partículas masivas , siendo la pista principal la invariancia de Lorentz , ^[14] y esto puede verse como el punto de partida para el desarrollo moderno de la mecánica cuántica. Las ecuaciones representan la dualidad onda-partícula tanto para partículas sin masa como para partículas masivas.${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

En las décadas de 1920 y 1930, la mecánica cuántica se desarrolló utilizando el cálculo y el álgebra lineal . Entre quienes utilizaron las técnicas del cálculo se encontraban Louis de Broglie , Erwin Schrödinger y otros, desarrollando la « mecánica ondulatoria ». Entre quienes aplicaron los métodos del álgebra lineal se encontraban Werner Heisenberg , Max Born y otros, desarrollando la « mecánica matricial ». Posteriormente, Schrödinger demostró que los dos enfoques eran equivalentes. ^[15]

En 1926, Schrödinger publicó la famosa ecuación de onda que ahora lleva su nombre, la ecuación de Schrödinger . Esta ecuación se basaba en la conservación clásica de la energía utilizando operadores cuánticos y las relaciones de De Broglie y las soluciones de la ecuación son las funciones de onda para el sistema cuántico. ^[16] Sin embargo, nadie tenía claro cómo interpretarla. ^[17] Al principio, Schrödinger y otros pensaron que las funciones de onda representan partículas que se extienden y que la mayor parte de la partícula está donde la función de onda es grande. ^[18] Se demostró que esto era incompatible con la dispersión elástica de un paquete de ondas (que representa una partícula) de un objetivo; se extiende en todas las direcciones. ^[1] Si bien una partícula dispersa puede dispersarse en cualquier dirección, no se rompe y despega en todas las direcciones. En 1926, Born proporcionó la perspectiva de la amplitud de probabilidad . ^{[1] [2] [19]} Esto relaciona los cálculos de la mecánica cuántica directamente con las observaciones experimentales probabilísticas. Se acepta como parte de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Existen muchas otras interpretaciones de la mecánica cuántica . En 1927, Hartree y Fock dieron el primer paso en un intento de resolver la función de onda de N cuerpos , y desarrollaron el ciclo de autoconsistencia : un algoritmo iterativo para aproximar la solución. Ahora también se conoce como el método de Hartree-Fock . ^[20] El determinante y la permanente de Slater (de una matriz ) fueron parte del método, proporcionado por John C. Slater .

Schrödinger encontró una ecuación para la función de onda que satisfacía la conservación de energía relativista antes de publicar la no relativista, pero la descartó porque predecía probabilidades negativas y energías negativas . En 1927, Klein , Gordon y Fock también la encontraron, pero incorporaron la interacción electromagnética y demostraron que era invariante de Lorentz . De Broglie también llegó a la misma ecuación en 1928. Esta ecuación de onda relativista ahora se conoce más comúnmente como la ecuación de Klein-Gordon . ^[21]

En 1927, Pauli encontró fenomenológicamente una ecuación no relativista para describir partículas de espín 1/2 en campos electromagnéticos, ahora llamada ecuación de Pauli . ^[22] Pauli encontró que la función de onda no se describía mediante una única función compleja de espacio y tiempo, sino que necesitaba dos números complejos, que corresponden respectivamente a los estados de espín +1/2 y −1/2 del fermión. Poco después, en 1928, Dirac encontró una ecuación de la primera unificación exitosa de la relatividad especial y la mecánica cuántica aplicada al electrón , ahora llamada ecuación de Dirac . En esta, la función de onda es un espinor representado por cuatro componentes de valor complejo: ^{[20] dos para el electrón y dos para la} antipartícula del electrón , el positrón . En el límite no relativista, la función de onda de Dirac se asemeja a la función de onda de Pauli para el electrón. Más tarde, se encontraron otras ecuaciones de onda relativistas .

Todas estas ecuaciones de onda tienen una importancia permanente. La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Pauli son, en muchas circunstancias, excelentes aproximaciones de las variantes relativistas. Son considerablemente más fáciles de resolver en problemas prácticos que sus contrapartes relativistas.

La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , si bien son relativistas, no representan una reconciliación completa de la mecánica cuántica y la relatividad especial. La rama de la mecánica cuántica en la que estas ecuaciones se estudian de la misma manera que la ecuación de Schrödinger, a menudo llamada mecánica cuántica relativista , si bien es muy exitosa, tiene sus limitaciones (ver, por ejemplo, el desplazamiento de Lamb ) y problemas conceptuales (ver, por ejemplo, el mar de Dirac ).

La relatividad hace inevitable que el número de partículas en un sistema no sea constante. Para una reconciliación completa, se necesita la teoría cuántica de campos . ^[23] En esta teoría, las ecuaciones de onda y las funciones de onda tienen su lugar, pero en una forma algo diferente. Los principales objetos de interés no son las funciones de onda, sino más bien los operadores, los llamados operadores de campo (o simplemente campos donde se entiende "operador") en el espacio de Hilbert de estados (que se describirá en la siguiente sección). Resulta que las ecuaciones de onda relativistas originales y sus soluciones aún son necesarias para construir el espacio de Hilbert. Además, los operadores de campos libres , es decir, cuando se supone que no existen interacciones, resultan satisfacer (formalmente) la misma ecuación que los campos (funciones de onda) en muchos casos.

Por lo tanto, la ecuación de Klein–Gordon (espín 0 ) y la ecuación de Dirac (espín 1 ⁄ 2 ) en esta forma permanecen en la teoría. Los análogos de espín superior incluyen la ecuación de Proca (espín 1 ), la ecuación de Rarita–Schwinger (espín 3 ⁄ 2 ) y, más generalmente, las ecuaciones de Bargmann–Wigner . Para campos libres sin masa , dos ejemplos son la ecuación de Maxwell de campo libre (espín 1 ) y la ecuación de Einstein de campo libre (espín 2 ) para los operadores de campo. ^[24] Todas ellas son esencialmente una consecuencia directa del requisito de invariancia de Lorentz . Sus soluciones deben transformarse bajo la transformación de Lorentz de una manera prescrita, es decir, bajo una representación particular del grupo de Lorentz y que junto con algunas otras demandas razonables, por ejemplo, la propiedad de descomposición de clústeres , ^[25] con implicaciones para la causalidad es suficiente para fijar las ecuaciones.

Esto se aplica a las ecuaciones de campo libre; no se incluyen las interacciones. Si se dispone de una densidad lagrangiana (incluidas las interacciones), entonces el formalismo lagrangiano producirá una ecuación de movimiento en el nivel clásico. Esta ecuación puede ser muy compleja y no susceptible de solución. Cualquier solución se referiría a un número fijo de partículas y no daría cuenta del término "interacción" al que se hace referencia en estas teorías, que implica la creación y aniquilación de partículas y no potenciales externos como en la teoría cuántica ordinaria "cuantizada por primera vez".

En la teoría de cuerdas , la situación sigue siendo análoga. Por ejemplo, una función de onda en el espacio de momento tiene el papel de coeficiente de expansión de Fourier en un estado general de una partícula (cuerda) con momento que no está definido con precisión. ^[26]

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Por ahora, consideremos el caso simple de una partícula única no relativista, sin espín , en una dimensión espacial. A continuación se analizan casos más generales.

Según los postulados de la mecánica cuántica , el estado de un sistema físico, en un tiempo fijo , está dado por la función de onda perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable . ^{[27] [28]} Como tal, el producto interno de dos funciones de onda Ψ ₁ y Ψ ₂ se puede definir como el número complejo (en el tiempo t ) ^{[nb 1]}${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$.

A continuación se ofrecen más detalles. Sin embargo, el producto interno de una función de onda Ψ consigo misma,

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$,

es siempre un número real positivo. El número ‖ Ψ ‖ (no ‖ Ψ ‖ ² ) se llama norma de la función de onda Ψ . El espacio de Hilbert separable que se está considerando es de dimensión infinita , ^{[nb 2]} lo que significa que no hay un conjunto finito de funciones integrables cuadradas que se puedan sumar en varias combinaciones para crear todas las funciones integrables cuadradas posibles .

El estado de dicha partícula se describe completamente mediante su función de onda, donde x es la posición y t el tiempo. Se trata de una función de valor complejo de dos variables reales x y t .$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

Para una partícula sin espín en una dimensión, si la función de onda se interpreta como una amplitud de probabilidad ; el módulo cuadrado de la función de onda, el número real positivo se interpreta como la densidad de probabilidad para una medición de la posición de la partícula en un tiempo dado t . El asterisco indica el conjugado complejo . Si se mide la posición de la partícula , su ubicación no se puede determinar a partir de la función de onda, sino que se describe mediante una distribución de probabilidad .$${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

La probabilidad de que su posición x esté en el intervalo a ≤ x ≤ b es la integral de la densidad en este intervalo: donde t es el tiempo en el que se midió la partícula. Esto conduce a la condición de normalización : porque si se mide la partícula, hay un 100% de probabilidad de que esté en algún lugar .$${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

Para un sistema dado, el conjunto de todas las posibles funciones de onda normalizables (en un momento dado) forma un espacio vectorial matemático abstracto , lo que significa que es posible sumar diferentes funciones de onda y multiplicarlas por números complejos. Técnicamente, las funciones de onda forman un rayo en un espacio proyectivo de Hilbert en lugar de un espacio vectorial ordinario.

En un instante de tiempo particular, todos los valores de la función de onda Ψ( x , t ) son componentes de un vector. Hay una cantidad infinita de ellos y se utiliza la integración en lugar de la suma. En la notación Bra–ket , este vector se escribe y se denomina "vector de estado cuántico" o simplemente "estado cuántico". Comprender las funciones de onda como la representación de elementos de un espacio vectorial abstracto tiene varias ventajas:$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• Se pueden utilizar todas las potentes herramientas del álgebra lineal para manipular y comprender las funciones de onda. Por ejemplo:
  • El álgebra lineal explica cómo se puede dar una base a un espacio vectorial y, a continuación, cualquier vector del espacio vectorial se puede expresar en esta base. Esto explica la relación entre una función de onda en el espacio de posición y una función de onda en el espacio de momento y sugiere que también existen otras posibilidades.
  • La notación Bra-ket se puede utilizar para manipular funciones de onda.
• La idea de que los estados cuánticos son vectores en un espacio vectorial abstracto es completamente general en todos los aspectos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos , mientras que la idea de que los estados cuánticos son funciones de "onda" de valor complejo del espacio solo es cierta en ciertas situaciones.

El parámetro de tiempo se suele suprimir, y se suprimirá en lo sucesivo. La coordenada x es un índice continuo. Los | x ⟩ se denominan vectores impropios que, a diferencia de los vectores propios que son normalizables a la unidad, solo se pueden normalizar a una función delta de Dirac. ^{[nb 3] [nb 4] [29]} por tanto , y que ilumina el operador de identidad que es análogo a la relación de completitud de la base ortonormal en el espacio de Hilbert N-dimensional.$${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$$${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$$${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$$${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

Encontrar el operador de identidad en una base permite que el estado abstracto se exprese explícitamente en una base, y más (el producto interno entre dos vectores de estado y otros operadores para observables se pueden expresar en la base).

La partícula también tiene una función de onda en el espacio de momento : donde p es el momento en una dimensión, que puede ser cualquier valor entre −∞ y +∞ , y t es el tiempo.$${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

De manera análoga al caso de posición, el producto interno de dos funciones de onda Φ ₁ ( p , t ) y Φ ₂ ( p , t ) se puede definir como:$${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

Una solución particular para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una onda plana , que puede usarse en la descripción de una partícula con un momento exactamente p , ya que es una función propia del operador momento. Estas funciones no son normalizables a la unidad (no son integrables al cuadrado), por lo que no son realmente elementos del espacio físico de Hilbert. El conjunto forma lo que se llama la base del momento . Esta "base" no es una base en el sentido matemático habitual. Por un lado, dado que las funciones no son normalizables, en cambio se normalizan a una función delta , ^{[nb 4]}$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$$${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

Por otra parte, aunque son linealmente independientes, hay demasiadas (forman un conjunto incontable) como para que sirvan de base para el espacio físico de Hilbert. Aun así, se pueden utilizar para expresar todas las funciones que contiene mediante transformadas de Fourier, como se describe a continuación.

Las representaciones x y p son$${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

Ahora tomemos la proyección del estado Ψ sobre las funciones propias del momento usando la última expresión en las dos ecuaciones,$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

Luego, utilizando la expresión conocida para estados propios de momento adecuadamente normalizados en las soluciones de representación de posición de la ecuación libre de Schrödinger, se obtiene$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$$${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

De la misma manera, utilizando funciones propias de posición,$${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

De este modo, se descubre que las funciones de onda del espacio de posición y del espacio de momento son transformadas de Fourier entre sí. ^[30] Son dos representaciones del mismo estado, que contienen la misma información y cualquiera de las dos es suficiente para calcular cualquier propiedad de la partícula.

En la práctica, la función de onda en el espacio de posición se utiliza mucho más a menudo que la función de onda en el espacio de momento. El potencial que entra en la ecuación relevante (Schrödinger, Dirac, etc.) determina en qué base es más fácil la descripción. Para el oscilador armónico , x y p entran simétricamente, por lo que en ese caso no importa qué descripción se utilice. Resulta la misma ecuación (constantes de módulo). De esto, con un poco de reflexión posterior, se deduce que las soluciones de la ecuación de onda del oscilador armónico son funciones propias de la transformada de Fourier en L ² . ^{[nb 5]}

A continuación se presentan las formas generales de la función de onda para sistemas en dimensiones superiores y más partículas, además de incluir otros grados de libertad que las coordenadas de posición o los componentes de momento.

Si bien los espacios de Hilbert originalmente se refieren a espacios de producto interno completo de dimensión infinita , por definición, también incluyen espacios de producto interno completo de dimensión finita. ^[31] En física, a menudo se los denomina espacios de Hilbert de dimensión finita . ^[32] Para cada espacio de Hilbert de dimensión finita existen kets base ortonormales que abarcan todo el espacio de Hilbert.

Si el conjunto N -dimensional es ortonormal, entonces el operador de proyección para el espacio abarcado por estos estados viene dado por:${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$donde la proyección es equivalente al operador identidad, ya que abarca todo el espacio de Hilbert, por lo que no se modifica ningún vector del espacio de Hilbert. Esto también se conoce como relación de completitud del espacio de Hilbert de dimensión finita.${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

La función de onda, en cambio, viene dada por:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$donde , es un conjunto de números complejos que se pueden usar para construir una función de onda utilizando la fórmula anterior.${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

Si el conjunto son automercados de un observable no degenerado con autovalores , por los postulados de la mecánica cuántica , la probabilidad de medir el observable se da según la regla de Born como: ^[33]${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

Para la no degeneración de algún observable, si los valores propios tienen un subconjunto de vectores propios etiquetados como , por los postulados de la mecánica cuántica , la probabilidad de medir que el observable sea , viene dada por:${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$donde es un operador de proyección de estados al subespacio abarcado por . La igualdad se deduce de la naturaleza ortogonal de .${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

Por lo tanto, los que especifican el estado del sistema mecánico cuántico tienen magnitudes cuyo cuadrado da la probabilidad de medir el estado respectivo.${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

Si bien la fase relativa tiene efectos observables en los experimentos, la fase global del sistema es indistinguible experimentalmente. Por ejemplo, en una partícula en superposición de dos estados, la fase global de la partícula no se puede distinguir hallando el valor esperado de los observables o las probabilidades de observar estados diferentes, pero las fases relativas pueden afectar los valores esperados de los observables.

Si bien se considera que la fase general del sistema es arbitraria, la fase relativa de cada estado de un estado preparado en superposición se puede determinar en función del significado físico del estado preparado y su simetría. Por ejemplo, la construcción de estados de espín a lo largo de la dirección x como una superposición de estados de espín a lo largo de la dirección z se puede realizar aplicando una transformación de rotación adecuada en los estados de espín a lo largo de z que proporcione la fase adecuada de los estados entre sí.${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

Un ejemplo de espacio de Hilbert de dimensión finita se puede construir utilizando los eigenkets de espín de partículas de espín -que forman un espacio de Hilbert de dimensión . Sin embargo, la función de onda general de una partícula que describe completamente su estado, siempre es de un espacio de Hilbert de dimensión infinita ya que implica un producto tensorial con el espacio de Hilbert relacionado con la posición o el momento de la partícula. No obstante, las técnicas desarrolladas para el espacio de Hilbert de dimensión finita son útiles ya que se pueden tratar de forma independiente o se pueden tratar teniendo en cuenta la linealidad del producto tensorial.${\textstyle s}$${\textstyle 2s+1}$

Dado que el operador de espín para una partícula de espín dada se puede representar como una matriz finita que actúa sobre componentes de vector de espín independientes, generalmente es preferible denotar los componentes de espín utilizando notación de matriz/columna/fila según corresponda.${\textstyle s}$${\textstyle (2s+1)^{2}}$ ${\textstyle 2s+1}$

Por ejemplo, cada | s _z ⟩ se identifica generalmente como un vector columna:$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

pero es un abuso común de notación, porque los kets | s _z ⟩ no son sinónimos ni iguales a los vectores columna. Los vectores columna simplemente proporcionan una forma conveniente de expresar los componentes de espín.

En correspondencia con la notación, el operador de espín del componente z se puede escribir como:$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

dado que los vectores propios del operador de espín del componente z son los vectores de columna anteriores, siendo los valores propios los números cuánticos de espín correspondientes.

De acuerdo con la notación, un vector de dicho espacio de Hilbert de dimensión finita se representa como:

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$¿Dónde están los números complejos correspondientes?${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

En la siguiente discusión que involucra el espín, la función de onda completa se considera como un producto tensorial de los estados de espín de los espacios de Hilbert de dimensión finita y la función de onda que se desarrolló previamente. Por lo tanto, se consideran las bases para este espacio de Hilbert: .${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

La función de onda en el espacio de posición de una partícula individual sin espín en tres dimensiones espaciales es similar al caso de una dimensión espacial anterior: donde r es el vector de posición en el espacio tridimensional y t es el tiempo. Como siempre, Ψ( r ,  t ) es una función de valor complejo de variables reales. Como un único vector en notación de Dirac$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

Todas las observaciones anteriores sobre productos internos, funciones de onda del espacio de momento, transformadas de Fourier, etc. se extienden a dimensiones superiores.

Para una partícula con espín , ignorando los grados de libertad de posición, la función de onda es una función solo del espín (el tiempo es un parámetro); donde s _z es el número cuántico de proyección del espín a lo largo del eje z . (El eje z es una elección arbitraria; se pueden usar otros ejes en su lugar si la función de onda se transforma adecuadamente, vea a continuación). El parámetro s _z , a diferencia de r y t , es una variable discreta . Por ejemplo, para una partícula con espín 1/2 , s _z solo puede ser +1/2 o −1/2 , y ningún otro valor. (En general, para espín s , s _z puede ser s , s − 1, ..., − s + 1, − s ). Insertar cada número cuántico da una función de valor complejo de espacio y tiempo, hay 2 s + 1 de ellos. Estos se pueden organizar en un vector columna$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

En notación de corchetes , estos se organizan fácilmente en los componentes de un vector:$${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

El vector entero ξ es una solución de la ecuación de Schrödinger (con un hamiltoniano adecuado), que se despliega en un sistema acoplado de 2 s + 1 ecuaciones diferenciales ordinarias con soluciones ξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ..., ξ (− s , t ) . Algunos autores utilizan el término "función de espín" en lugar de "función de onda". Esto contrasta las soluciones con las funciones de onda del espacio de posición, siendo las coordenadas de posición grados de libertad continuos, porque entonces la ecuación de Schrödinger toma la forma de una ecuación de onda.

De manera más general, para una partícula en 3D con cualquier espín, la función de onda se puede escribir en "espacio de posición-espín" como: y estos también se pueden organizar en un vector de columna en el que la dependencia del espín se coloca en la indexación de las entradas, y la función de onda es una función compleja con valores vectoriales de espacio y tiempo únicamente.$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

Todos los valores de la función de onda, no solo para variables discretas sino también continuas, se agrupan en un único vector.$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

Para una sola partícula, el producto tensorial ⊗ de su vector de estado de posición | ψ ⟩ y su vector de estado de espín | ξ ⟩ da el vector de estado de posición-espín compuesto con las identificaciones$${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

La factorización del producto tensorial de los estados propios de energía siempre es posible si los momentos angulares orbital y de espín de la partícula son separables en el operador hamiltoniano subyacente a la dinámica del sistema (en otras palabras, el hamiltoniano se puede dividir en la suma de los términos orbital y de espín ^[34] ). La dependencia del tiempo se puede colocar en cualquiera de los factores, y la evolución temporal de cada uno se puede estudiar por separado. Bajo tales hamiltonianos, cualquier estado del producto tensorial evoluciona a otro estado del producto tensorial, lo que esencialmente significa que cualquier estado desenredado permanece desenredado bajo la evolución temporal. Se dice que esto sucede cuando no hay interacción física entre los estados de los productos tensoriales. En el caso de los hamiltonianos no separables, se dice que los estados propios de energía son alguna combinación lineal de tales estados, que no necesitan ser factorizables; los ejemplos incluyen una partícula en un campo magnético y el acoplamiento espín-órbita .

La discusión anterior no se limita al espín como variable discreta, también se puede utilizar el momento angular total J. ^[35] Otros grados de libertad discretos, como el isospín , se pueden expresar de manera similar al caso del espín anterior.

Si hay muchas partículas, en general, solo hay una función de onda, no una función de onda separada para cada partícula. El hecho de que una función de onda describa muchas partículas es lo que hace posible el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR . La función de onda en el espacio de posición para N partículas se escribe: ^[20] donde r _i es la posición de la i -ésima partícula en el espacio tridimensional y t es el tiempo. En total, se trata de una función de valor complejo de 3 N + 1 variables reales.$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

En mecánica cuántica existe una distinción fundamental entre partículas idénticas y partículas distinguibles . Por ejemplo, dos electrones cualesquiera son idénticos y fundamentalmente indistinguibles entre sí; las leyes de la física hacen imposible "estampar un número de identificación" en un determinado electrón para realizar un seguimiento de él. ^[30] Esto se traduce en un requisito en la función de onda para un sistema de partículas idénticas: donde el signo + aparece si las partículas son todas bosones y el signo − si son todas fermiones . En otras palabras, la función de onda es totalmente simétrica en las posiciones de los bosones o totalmente antisimétrica en las posiciones de los fermiones. ^[36] El intercambio físico de partículas corresponde a un cambio matemático de argumentos en la función de onda. La característica de antisimetría de las funciones de onda fermiónicas conduce al principio de Pauli . En general, los requisitos de simetría bosónica y fermiónica son la manifestación de las estadísticas de partículas y están presentes en otros formalismos de estados cuánticos.$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

Para N partículas distinguibles (no hay dos idénticas , es decir, no hay dos que tengan el mismo conjunto de números cuánticos), no existe ningún requisito de que la función de onda sea simétrica o antisimétrica.

Para una colección de partículas, algunas idénticas con coordenadas r ₁ , r ₂ , ... y otras distinguibles x ₁ , x ₂ , ... (no idénticas entre sí, y no idénticas a las partículas idénticas antes mencionadas), la función de onda es simétrica o antisimétrica en las coordenadas de partícula idéntica r _i solamente:$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

Nuevamente, no existe ningún requisito de simetría para las coordenadas de partículas distinguibles x _i .

La función de onda para N partículas, cada una con espín, es la función de valor complejo$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

Acumulando todos estos componentes en un solo vector,

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

Para partículas idénticas, los requisitos de simetría se aplican tanto a los argumentos de posición como de espín de la función de onda, de modo que tenga la simetría general correcta.

Las fórmulas para los productos internos son integrales sobre todas las coordenadas o momentos y sumas sobre todos los números cuánticos de espín. Para el caso general de N partículas con espín en 3-d, esto es en total N integrales de volumen tridimensionales y N sumas sobre los espines. Los elementos de volumen diferencial d ³ r _i también se escriben " dV _i " o " dx _i dy _i dz _i ".$${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

Las transformadas de Fourier multidimensionales de las funciones de onda de posición o de espacio de posición-espín producen funciones de onda de momento o de espacio de momento-espín.

Para el caso general de N partículas con espín en 3d, si Ψ se interpreta como una amplitud de probabilidad, la densidad de probabilidad es$${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

y la probabilidad de que la partícula 1 esté en la región R ₁ con espín s _{z 1} = m ₁ y la partícula 2 esté en la región R ₂ con espín s _{z 2} = m ₂ etc. en el tiempo t es la integral de la densidad de probabilidad sobre estas regiones y se evalúa en estos números de espín:

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

En la mecánica cuántica no relativista, se puede demostrar utilizando la ecuación de onda dependiente del tiempo de Schrödinger que la ecuación:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$se satisface, donde es la densidad de probabilidad y , se conoce como el flujo de probabilidad de acuerdo con la forma de ecuación de continuidad de la ecuación anterior.${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

Utilizando la siguiente expresión para la función de onda: donde es la densidad de probabilidad y es la fase de la función de onda, se puede demostrar que:$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

Por lo tanto, la variación espacial de la fase caracteriza el flujo de probabilidad .

En analogía clásica, para , la cantidad es análoga a la velocidad. Nótese que esto no implica una interpretación literal de como velocidad ya que la velocidad y la posición no pueden determinarse simultáneamente según el principio de incertidumbre . Sustituyendo la forma de la función de onda en la ecuación de onda dependiente del tiempo de Schrödinger y tomando el límite clásico, :${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

Lo cual es análogo a la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica. Esta interpretación encaja con la teoría de Hamilton-Jacobi , en la que , donde S es la función principal de Hamilton . ^[37]${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

Para sistemas en potenciales independientes del tiempo, la función de onda siempre se puede escribir como una función de los grados de libertad multiplicada por un factor de fase dependiente del tiempo, cuya forma viene dada por la ecuación de Schrödinger. Para N partículas, considerando solo sus posiciones y suprimiendo otros grados de libertad, donde E es el valor propio de energía del sistema correspondiente al estado propio Ψ . Las funciones de onda de esta forma se denominan estados estacionarios .$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

La dependencia temporal del estado cuántico y los operadores se puede colocar de acuerdo con transformaciones unitarias en los operadores y estados. Para cualquier estado cuántico |Ψ⟩ y operador O , en la imagen de Schrödinger |Ψ( t )⟩ cambia con el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger mientras que O es constante. En la imagen de Heisenberg es al revés, |Ψ⟩ es constante mientras que O ( t ) evoluciona con el tiempo de acuerdo con la ecuación de movimiento de Heisenberg. La imagen de Dirac (o interacción) es intermedia, la dependencia temporal se coloca tanto en operadores como en estados que evolucionan de acuerdo con ecuaciones de movimiento. Es útil principalmente en el cálculo de elementos de matriz S. ^[38 ]

Las siguientes son soluciones a la ecuación de Schrödinger para una partícula sin espín no relativista.

Una de las características más destacadas de la mecánica ondulatoria es la posibilidad de que una partícula alcance una posición con un potencial de fuerza prohibitivo (en mecánica clásica) . Un modelo común es la " barrera de potencial ", el caso unidimensional tiene el potencial y las soluciones de estado estable de la ecuación de onda tienen la forma (para algunas constantes k , κ )$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

Tenga en cuenta que estas funciones de onda no están normalizadas; consulte la teoría de dispersión para obtener más información.

La interpretación estándar de esto es como una corriente de partículas que se disparan en el paso desde la izquierda (la dirección de x negativa ): establecer A _r = 1 corresponde a disparar partículas individualmente; los términos que contienen A _r y C _r significan movimiento hacia la derecha, mientras que A _l y C _l – hacia la izquierda. Bajo esta interpretación del haz, ponga C _l = 0 ya que no hay partículas que vengan desde la derecha. Al aplicar la continuidad de las funciones de onda y sus derivadas en los límites, es posible determinar las constantes anteriores.

En un cristal de semiconductor cuyo radio es menor que el tamaño del radio de Bohr de su excitón , los excitones se comprimen, lo que conduce al confinamiento cuántico . Los niveles de energía se pueden modelar utilizando el modelo de partícula en una caja en el que la energía de los diferentes estados depende de la longitud de la caja.

Las funciones de onda del oscilador armónico cuántico se pueden expresar en términos de polinomios de Hermite H _n , que son donde n = 0, 1, 2, ... .$${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

Las funciones de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno se expresan en términos de armónicos esféricos y polinomios de Laguerre generalizados (estos se definen de manera diferente por diferentes autores; consulte el artículo principal sobre ellos y el átomo de hidrógeno).

Es conveniente utilizar coordenadas esféricas, y la función de onda se puede separar en funciones de cada coordenada, ^[39] donde R son funciones radiales e Y$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$^metro
_​( θ , φ ) son armónicos esféricos de grado ℓ y orden m . Este es el único átomo para el que se ha resuelto exactamente la ecuación de Schrödinger. Los átomos multielectrónicos requieren métodos aproximados. La familia de soluciones es: ^[40] donde a ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ² es el radio de Bohr , L$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$^{2 l + 1}
_{n − l − 1}son los polinomios de Laguerre generalizados de grado n − ℓ − 1 , n = 1, 2, ... es el número cuántico principal , ℓ = 0, 1, ..., n − 1 el número cuántico azimutal , m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓ el número cuántico magnético . Los átomos similares al hidrógeno tienen soluciones muy similares.

Esta solución no tiene en cuenta el espín del electrón.

En la figura de los orbitales del hidrógeno, las 19 subimágenes son imágenes de funciones de onda en el espacio de posición (su norma al cuadrado). Las funciones de onda representan el estado abstracto caracterizado por el triple de números cuánticos ( n , ℓ , m ) , en la parte inferior derecha de cada imagen. Estos son el número cuántico principal, el número cuántico del momento angular orbital y el número cuántico magnético. Junto con un número cuántico de proyección de espín del electrón, este es un conjunto completo de observables.

La figura puede servir para ilustrar algunas propiedades adicionales de los espacios funcionales de las funciones de onda.

• En este caso, las funciones de onda son integrables al cuadrado. Inicialmente, se puede tomar el espacio de funciones como el espacio de funciones integrables al cuadrado, que se suele denotar como L ² .
• Las funciones mostradas son soluciones de la ecuación de Schrödinger. Obviamente, no todas las funciones en L ² satisfacen la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. El espacio de funciones es, por lo tanto, un subespacio de L ² .
• Las funciones mostradas forman parte de una base para el espacio de funciones. A cada triple ( n , ℓ , m ) le corresponde una función de onda base. Si se tiene en cuenta el espín, hay dos funciones base para cada triple. El espacio de funciones tiene, por tanto, una base numerable .
• Las funciones base son mutuamente ortonormales .

El concepto de espacios funcionales entra naturalmente en la discusión sobre las funciones de onda. Un espacio funcional es un conjunto de funciones, usualmente con algunos requisitos definitorios sobre las funciones (en el presente caso que sean integrables al cuadrado ), a veces con una estructura algebraica sobre el conjunto (en el presente caso una estructura de espacio vectorial con un producto interno ), junto con una topología sobre el conjunto. Esta última será usada escasamente aquí, solo es necesaria para obtener una definición precisa de lo que significa que un subconjunto de un espacio funcional sea cerrado . Se concluirá a continuación que el espacio funcional de las funciones de onda es un espacio de Hilbert . Esta observación es la base de la formulación matemática predominante de la mecánica cuántica.

Una función de onda es un elemento de un espacio funcional caracterizado parcialmente por las siguientes descripciones concretas y abstractas.

• La ecuación de Schrödinger es lineal. Esto significa que sus soluciones, las funciones de onda, se pueden sumar y multiplicar por escalares para formar una nueva solución. El conjunto de soluciones de la ecuación de Schrödinger es un espacio vectorial.
• El principio de superposición de la mecánica cuántica. Si Ψ y Φ son dos estados en el espacio abstracto de estados de un sistema mecánico cuántico, y a y b son dos números complejos cualesquiera, entonces a Ψ + b Φ también es un estado válido. (Si el vector nulo cuenta como un estado válido ("no hay sistema presente") es una cuestión de definición. El vector nulo no describe en ningún caso el estado de vacío en la teoría cuántica de campos). El conjunto de estados permitidos es un espacio vectorial.

Por supuesto, esta similitud no es casual. También hay que tener en cuenta algunas diferencias entre los espacios.

Los estados básicos se caracterizan por un conjunto de números cuánticos. Este es un conjunto de valores propios de un conjunto máximo de observables conmutativos . Los observables físicos se representan mediante operadores lineales, también llamados observables, en el espacio de vectores. Maximalidad significa que no se pueden agregar al conjunto más observables algebraicamente independientes que conmuten con los que ya están presentes. La elección de dicho conjunto puede llamarse elección de representación .

• Un postulado de la mecánica cuántica es que una cantidad físicamente observable de un sistema, como la posición, el momento o el espín, se representa mediante un operador hermítico lineal en el espacio de estados. Los posibles resultados de la medición de la cantidad son los valores propios del operador. ^[18] En un nivel más profundo, la mayoría de los observables, tal vez todos, surgen como generadores de simetrías . ^{[18] [41] [nb 6]}
• La interpretación física es que un conjunto de este tipo representa lo que, en teoría, puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. La relación de incertidumbre de Heisenberg prohíbe las mediciones exactas simultáneas de dos observables que no conmutan.
• El conjunto no es único. Puede ser, por ejemplo, para un sistema de una partícula, la proyección de posición y espín z , ( x , S _z ) , o puede ser el momento y la proyección de espín y , ( p , S _y ) . En este caso, el operador correspondiente a la posición (un operador de multiplicación en la representación de la posición) y el operador correspondiente al momento (un operador diferencial en la representación de la posición) no conmutan.
• Una vez elegida una representación, todavía hay arbitrariedad. Queda por elegir un sistema de coordenadas. Esto puede corresponder, por ejemplo, a una elección de los ejes x , y y z , o a una elección de coordenadas curvilíneas como las que ejemplifican las coordenadas esféricas utilizadas para las funciones de onda atómicas del hidrógeno. Esta elección final también fija una base en el espacio de Hilbert abstracto. Los estados básicos están etiquetados por los números cuánticos correspondientes al conjunto máximo de observables conmutativos y un sistema de coordenadas apropiado. ^{[nb 7]}

Los estados abstractos son "abstractos" sólo en el sentido de que no se da una elección arbitraria necesaria para una descripción explícita particular de ellos. Esto es lo mismo que decir que no se ha dado ninguna elección de conjunto máximo de observables conmutativos. Esto es análogo a un espacio vectorial sin una base especificada. Las funciones de onda correspondientes a un estado no son, por lo tanto, únicas. Esta no unicidad refleja la no unicidad en la elección de un conjunto máximo de observables conmutativos. Para una partícula de espín en una dimensión, a un estado particular corresponden dos funciones de onda, Ψ( x , S _z ) y Ψ( p , S _y ) , ambas describiendo el mismo estado.

• Para cada elección de conjuntos máximos de observables conmutativos para el espacio de estados abstracto, existe una representación correspondiente que está asociada a un espacio de funciones de onda.
• Entre todos estos espacios de funciones diferentes y el espacio de estados abstracto, existen correspondencias biunívocas (sin tener en cuenta aquí la normalización y los factores de fase no observables), siendo el denominador común un estado abstracto particular. La relación entre las funciones de onda del espacio de momento y de posición, por ejemplo, que describen el mismo estado es la transformada de Fourier .

Cada elección de representación debe considerarse como la especificación de un espacio funcional único en el que se encuentran las funciones de onda correspondientes a esa elección de representación. Es mejor mantener esta distinción, incluso si se pudiera argumentar que dos de esos espacios funcionales son matemáticamente iguales, por ejemplo, siendo el conjunto de funciones integrables al cuadrado. En ese caso, se puede pensar en los espacios funcionales como dos copias distintas de ese conjunto.

Hay una estructura algebraica adicional en los espacios vectoriales de funciones de onda y el espacio de estados abstracto.

• Físicamente, se interpreta que diferentes funciones de onda se superponen hasta cierto punto. No se puede encontrar que un sistema en un estado Ψ que no se superpone con un estado Φ esté en el estado Φ tras la medición. Pero si Φ ₁ , Φ ₂ , … se superponen a Ψ en algún grado, existe la posibilidad de que la medición de un sistema descrito por Ψ se encuentre en los estados Φ ₁ , Φ ₂ , … . También se observan las reglas de selección que se aplican. Estas suelen formularse en la preservación de algunos números cuánticos. Esto significa que ciertos procesos admisibles desde algunas perspectivas (por ejemplo, la conservación de la energía y el momento) no ocurren porque las funciones de onda totales inicial y final no se superponen.
• Matemáticamente, resulta que las soluciones de la ecuación de Schrödinger para potenciales particulares son ortogonales de alguna manera, esto se describe generalmente mediante una integral donde m , n son (conjuntos de) índices (números cuánticos) que etiquetan diferentes soluciones, la función estrictamente positiva w se denomina función de peso y _δmn es el delta de Kronecker . La integración se realiza sobre todo el espacio relevante.$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$

Esto motiva la introducción de un producto interno en el espacio vectorial de estados cuánticos abstractos, compatible con las observaciones matemáticas anteriores al pasar a una representación. Se denota (Ψ, Φ) , o en la notación Bra–ket ⟨Ψ|Φ⟩ . Produce un número complejo. Con el producto interno, el espacio de funciones es un espacio de producto interno . La apariencia explícita del producto interno (generalmente una integral o una suma de integrales) depende de la elección de la representación, pero el número complejo (Ψ, Φ) no. Gran parte de la interpretación física de la mecánica cuántica se deriva de la regla de Born . Establece que la probabilidad p de encontrar en la medición el estado Φ dado que el sistema está en el estado Ψ es donde Φ y Ψ se suponen normalizados. Consideremos un experimento de dispersión . En la teoría cuántica de campos, si Φ _out describe un estado en el "futuro distante" (un "estado out") después de que las interacciones entre partículas dispersantes hayan cesado, y Ψ _in un "estado in" en el "pasado distante", entonces las cantidades (Φ _out , Ψ _in ) , con Φ _out y Ψ _in variando sobre un conjunto completo de estados in y out respectivamente, se denomina matriz S o matriz de dispersión . Conocerla es, efectivamente, haber resuelto la teoría en cuestión, al menos en lo que respecta a las predicciones. Las cantidades mensurables como las tasas de desintegración y las secciones transversales de dispersión se pueden calcular a partir de la matriz S. ^[42]$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

Las observaciones anteriores encapsulan la esencia de los espacios funcionales de los cuales las funciones de onda son elementos. Sin embargo, la descripción aún no está completa. Hay un requisito técnico adicional en el espacio funcional, el de completitud , que permite tomar límites de secuencias en el espacio funcional y asegurarse de que, si el límite existe, es un elemento del espacio funcional. Un espacio de producto interno completo se llama espacio de Hilbert . La propiedad de completitud es crucial en tratamientos y aplicaciones avanzadas de la mecánica cuántica. Por ejemplo, la existencia de operadores de proyección o proyecciones ortogonales depende de la completitud del espacio. ^[43] Estos operadores de proyección, a su vez, son esenciales para el enunciado y la prueba de muchos teoremas útiles, por ejemplo, el teorema espectral . No es muy importante en la mecánica cuántica introductoria, y los detalles técnicos y los enlaces se pueden encontrar en notas a pie de página como la que sigue. ^{[nb 8]} El espacio L ² es un espacio de Hilbert, con producto interno presentado más adelante. El espacio funcional del ejemplo de la figura es un subespacio de L ² . Un subespacio de un espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert si está cerrado.

En resumen, el conjunto de todas las posibles funciones de onda normalizables para un sistema con una elección particular de base, junto con el vector nulo, constituyen un espacio de Hilbert.

No todas las funciones de interés son elementos de algún espacio de Hilbert, digamos L ² . El ejemplo más evidente es el conjunto de funciones e ^{2 πi p · x ⁄ h} . Éstas son soluciones de ondas planas de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero no son normalizables, por lo tanto no están en L ² . Pero son, no obstante, fundamentales para la descripción. Uno puede, utilizándolas, expresar funciones que son normalizables utilizando paquetes de ondas . Son, en cierto sentido, una base (pero no una base del espacio de Hilbert, ni una base de Hamel ) en la que se pueden expresar las funciones de onda de interés. También existe el artefacto "normalización a una función delta" que se emplea con frecuencia por conveniencia de notación, véase más adelante. Las funciones delta en sí mismas tampoco son integrables al cuadrado.

La descripción anterior del espacio funcional que contiene las funciones de onda tiene una motivación principalmente matemática. Los espacios funcionales son, debido a su completitud, muy grandes en cierto sentido. No todas las funciones son descripciones realistas de cualquier sistema físico. Por ejemplo, en el espacio funcional L ² se puede encontrar la función que toma el valor 0 para todos los números racionales y - i para los irracionales en el intervalo [0, 1] . Esta es integrable al cuadrado, ^{[nb 9]} pero difícilmente puede representar un estado físico.

Si bien el espacio de soluciones en su conjunto es un espacio de Hilbert, hay muchos otros espacios de Hilbert que aparecen comúnmente como ingredientes.

• Funciones complejas integrables al cuadrado en el intervalo [0, 2 π ] . El conjunto { e ^int /2 π , n ∈ Z } es una base del espacio de Hilbert, es decir, un conjunto ortonormal maximal.
• La transformada de Fourier convierte las funciones del espacio anterior en elementos de l ² ( Z ) , el espacio de funciones cuadradas sumables Z → C . Este último espacio es un espacio de Hilbert y la transformada de Fourier es un isomorfismo de los espacios de Hilbert. ^{[nb 10]} Su base es { e _i , i ∈ Z } con e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ Z .
• El ejemplo más básico de polinomios generadores se encuentra en el espacio de funciones integrables cuadradas en el intervalo [–1, 1] para el cual los polinomios de Legendre son una base del espacio de Hilbert (conjunto ortonormal completo).
• Las funciones integrables cuadradas en la esfera unitaria S ² son un espacio de Hilbert. Las funciones base en este caso son los armónicos esféricos . Los polinomios de Legendre son ingredientes de los armónicos esféricos. La mayoría de los problemas con simetría rotacional tendrán "la misma" solución (conocida) con respecto a esa simetría, por lo que el problema original se reduce a un problema de menor dimensionalidad.
• Los polinomios de Laguerre asociados aparecen en el problema de la función de onda hidrogénica después de factorizar los armónicos esféricos. Estos abarcan el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadradas en el intervalo semiinfinito [0, ∞) .

En términos más generales, se puede considerar un tratamiento unificado de todas las soluciones polinómicas de segundo orden para las ecuaciones de Sturm-Liouville en el contexto del espacio de Hilbert. Estas incluyen los polinomios de Legendre y Laguerre, así como los polinomios de Chebyshev , los polinomios de Jacobi y los polinomios de Hermite . Todos ellos aparecen en realidad en problemas físicos, estos últimos en el oscilador armónico , y lo que de otro modo sería un laberinto desconcertante de propiedades de funciones especiales se convierte en un cuerpo organizado de hechos. Para esto, véase Byron y Fuller (1992, Capítulo 5).

También existen espacios de Hilbert de dimensión finita. El espacio C ⁿ es un espacio de Hilbert de dimensión n . El producto interno es el producto interno estándar de estos espacios. En él reside la "parte de espín" de la función de onda de una partícula individual.

• En la descripción no relativista de un electrón se tiene n = 2 y la función de onda total es una solución de la ecuación de Pauli .
• En el tratamiento relativista correspondiente, n = 4 y la función de onda resuelve la ecuación de Dirac .

Con más partículas, la situación es más complicada. Hay que emplear productos tensoriales y usar la teoría de representación de los grupos de simetría involucrados (el grupo de rotación y el grupo de Lorentz respectivamente) para extraer del producto tensorial los espacios en los que residen las funciones de onda de espín (totales). (Surgen más problemas en el caso relativista a menos que las partículas sean libres. ^[44] Véase la ecuación de Bethe-Salpeter .) Las observaciones correspondientes se aplican al concepto de isospín , para el cual el grupo de simetría es SU(2) . Los modelos de las fuerzas nucleares de los años sesenta (todavía útiles hoy, véase fuerza nuclear ) usaban el grupo de simetría SU(3) . En este caso, también, la parte de las funciones de onda correspondientes a las simetrías internas reside en algunos C ⁿ o subespacios de productos tensoriales de tales espacios.

• En la teoría cuántica de campos, el espacio de Hilbert subyacente es el espacio de Fock . Se construye a partir de estados libres de partículas individuales, es decir, funciones de onda cuando se elige una representación, y puede acomodar cualquier número finito de partículas, no necesariamente constante en el tiempo. La dinámica interesante (o más bien manejable ) no reside en las funciones de onda, sino en los operadores de campo que son operadores que actúan sobre el espacio de Fock. Por lo tanto, la imagen de Heisenberg es la opción más común (estados constantes, operadores que varían en el tiempo).

Debido a la naturaleza de dimensión infinita del sistema, las herramientas matemáticas apropiadas son objetos de estudio en el análisis funcional .

No todos los libros de texto introductorios toman el camino largo y presentan la maquinaria espacial de Hilbert completa, pero el enfoque se centra en la ecuación de Schrödinger no relativista en la representación de la posición para ciertos potenciales estándar. Las siguientes restricciones sobre la función de onda a veces se formulan explícitamente para que los cálculos y la interpretación física tengan sentido: ^{[45] [46]}

• La función de onda debe ser integrable al cuadrado . Esto está motivado por la interpretación de Copenhague de la función de onda como una amplitud de probabilidad.
• Debe ser continua en todas partes y continuamente diferenciable en todas partes . Esto está motivado por la aparición de la ecuación de Schrödinger para la mayoría de los potenciales físicamente razonables.

Es posible relajar un poco estas condiciones para propósitos especiales. ^{[nb 11]} Si no se cumplen estos requisitos, no es posible interpretar la función de onda como una amplitud de probabilidad. ^[47] Nótese que pueden surgir excepciones a la regla de continuidad de derivadas en puntos de discontinuidad infinita del campo de potencial. Por ejemplo, en una partícula en una caja donde la derivada de la función de onda puede ser discontinua en el límite de la caja donde se sabe que el potencial tiene discontinuidad infinita.

Esto no altera la estructura del espacio de Hilbert que habitan estas funciones de onda particulares, pero el subespacio de las funciones integrables al cuadrado L ² , que es un espacio de Hilbert, que satisface el segundo requisito, no está cerrado en L ² , por lo tanto, no es un espacio de Hilbert en sí mismo. ^{[nb 12]} Las funciones que no cumplen los requisitos siguen siendo necesarias por razones tanto técnicas como prácticas. ^{[nb 13] [nb 14]}

Como se ha demostrado, el conjunto de todas las funciones de onda posibles en alguna representación para un sistema constituye un espacio de Hilbert en general de dimensión infinita . Debido a las múltiples opciones posibles de base de representación, estos espacios de Hilbert no son únicos. Por lo tanto, se habla de un espacio de Hilbert abstracto, espacio de estados , donde la elección de la representación y la base se deja indeterminada. En concreto, cada estado se representa como un vector abstracto en el espacio de estados. ^[48] Un estado cuántico |Ψ⟩ en cualquier representación se expresa generalmente como un vector donde$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩ los vectores base de la representación elegida
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m un " elemento de volumen diferencial " en los grados de libertad continuos
• Ψ( α , ω , t ) un componente del vector |Ψ⟩ , llamado función de onda del sistema
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n ) números cuánticos discretos adimensionales
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m ) variables continuas (no necesariamente adimensionales)

Estos números cuánticos indexan los componentes del vector de estado. Además, todos los α están en un conjunto n -dimensional A = A ₁ × A ₂ × ... × A _n donde cada A _i es el conjunto de valores permitidos para α _i ; todos los ω están en un "volumen" m -dimensional Ω ⊆ ℝ ^m donde Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _m y cada Ω _i ⊆ R es el conjunto de valores permitidos para ω _i , un subconjunto de los números reales R . Por generalidad, n y m no son necesariamente iguales.

Ejemplo:

La densidad de probabilidad de encontrar el sistema en el tiempo en el estado | α , ω ⟩ es${\displaystyle t}$$${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

La probabilidad de encontrar un sistema con α en algunas o todas las posibles configuraciones de variable discreta, D ⊆ A , y ω en algunas o todas las posibles configuraciones de variable continua, C ⊆ Ω , es la suma y la integral sobre la densidad, ^{[nb 15]}$${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

Dado que la suma de todas las probabilidades debe ser 1, la condición de normalización debe cumplirse en todo momento durante la evolución del sistema.$${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }\rho _{\alpha ,\omega }(t)\,d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}}$$

La condición de normalización requiere que ρ d ^m ω sea adimensional, por análisis dimensional Ψ debe tener las mismas unidades que ( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2 .

Si la función de onda existe en la realidad, y qué representa, son preguntas importantes en la interpretación de la mecánica cuántica . Muchos físicos famosos de una generación anterior se preguntaron sobre este problema, como Erwin Schrödinger , Albert Einstein y Niels Bohr . Algunos abogan por formulaciones o variantes de la interpretación de Copenhague (por ejemplo, Bohr, Eugene Wigner y John von Neumann ), mientras que otros, como John Archibald Wheeler o Edwin Thompson Jaynes , adoptan el enfoque más clásico ^[49] y consideran que la función de onda representa información en la mente del observador, es decir, una medida de nuestro conocimiento de la realidad. Algunos, incluidos Schrödinger, David Bohm y Hugh Everett III y otros, argumentaron que la función de onda debe tener una existencia física objetiva. Einstein pensó que una descripción completa de la realidad física debería referirse directamente al espacio físico y al tiempo, a diferencia de la función de onda, que se refiere a un espacio matemático abstracto. ^[50]

• Mecánica cuántica para ingenieros
• Funciones de onda de espín NYU
• Partículas idénticas revisitadas, Michael Fowler
• La naturaleza de las funciones de onda de muchos electrones
• Mecánica cuántica y computación cuántica en BerkeleyX Archivado el 13 de mayo de 2013 en Wayback Machine
• Einstein, La teoría cuántica de la radiación