Integral de volumen

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${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
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En matemáticas (en particular, en cálculo multivariable ), una integral de volumen (∭) es una integral sobre un dominio tridimensional ; es decir, es un caso especial de integrales múltiples . Las integrales de volumen son especialmente importantes en física para muchas aplicaciones, por ejemplo, para calcular densidades de flujo o para calcular la masa a partir de una función de densidad correspondiente.

También puede significar una integral triple dentro de una región de una función y generalmente se escribe como:${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f(x,y,z),}$$${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$

Una integral de volumen en coordenadas cilíndricas es y una integral de volumen en coordenadas esféricas (usando la convención ISO para ángulos con como acimut y medidos desde el eje polar (ver más sobre convenciones )) tiene la forma$${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$

Integrando la ecuación sobre un cubo unitario obtenemos el siguiente resultado:${\displaystyle f(x,y,z)=1}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

Por lo tanto, el volumen del cubo unitario es 1, como se esperaba. Sin embargo, esto es bastante trivial y una integral de volumen es mucho más poderosa. Por ejemplo, si tenemos una función de densidad escalar en el cubo unitario, entonces la integral de volumen dará la masa total del cubo. Por ejemplo, para la función de densidad: la masa total del cubo es: $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

• Teorema de divergencia
• Integral de superficie
• Elemento de volumen
• Elemento de línea
• Integral de línea

• "Integral múltiple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Integral de volumen". MundoMatemático .