Densidad de polarización

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En el electromagnetismo clásico , la densidad de polarización (o polarización eléctrica , o simplemente polarización ) es el campo vectorial que expresa la densidad volumétrica de momentos dipolares eléctricos permanentes o inducidos en un material dieléctrico . Cuando un dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo , sus moléculas ganan momento dipolar eléctrico y se dice que el dieléctrico está polarizado.

La polarización eléctrica de una muestra de material dieléctrico dada se define como el cociente del momento dipolar eléctrico (una cantidad vectorial, expresada como culombios * metros (C*m) en unidades del SI ) por el volumen (metros cúbicos). ^{[1] [2]} La densidad de polarización se denota matemáticamente por P ; ^[2] en unidades del SI, se expresa en culombios por metro cuadrado (C/m ² ).

La densidad de polarización también describe cómo responde un material a un campo eléctrico aplicado, así como la forma en que el material cambia el campo eléctrico, y se puede utilizar para calcular las fuerzas que resultan de esas interacciones. Se puede comparar con la magnetización , que es la medida de la respuesta correspondiente de un material a un campo magnético en el magnetismo .

De manera similar a los ferroimanes , que tienen una magnetización permanente distinta de cero incluso si no se aplica ningún campo magnético externo, los materiales ferroeléctricos tienen una polarización distinta de cero en ausencia de campo eléctrico externo.

Un campo eléctrico externo que se aplica a un material dieléctrico provoca un desplazamiento de los elementos cargados unidos.

Una carga ligada es una carga que está asociada con un átomo o molécula dentro de un material. Se llama "ligada" porque no tiene libertad de movimiento dentro del material como las cargas libres . Los elementos con carga positiva se desplazan en la dirección del campo, y los elementos con carga negativa se desplazan en dirección opuesta a la del campo. Las moléculas pueden permanecer neutras en carga, pero se forma un momento dipolar eléctrico. ^{[3] [4]}

Para un determinado elemento de volumen del material, que lleva un momento dipolar , definimos la densidad de polarización P :${\displaystyle \Delta V}$${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

En general, el momento dipolar cambia de un punto a otro dentro del dieléctrico. Por lo tanto, la densidad de polarización P de un dieléctrico dentro de un volumen infinitesimal d V con un momento dipolar infinitesimal d p es:${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} V}}$$

( 1 )

La carga neta que aparece como resultado de la polarización se llama carga ligada y se denota .${\displaystyle Q_{b}}$

Esta definición de densidad de polarización como "momento dipolar por unidad de volumen" es ampliamente adoptada, aunque en algunos casos puede conducir a ambigüedades y paradojas. ^[5]

Sea un volumen d V aislado dentro del dieléctrico. Debido a la polarización, la carga positiva se desplazará una distancia con respecto a la carga negativa , lo que dará lugar a un momento dipolar . Sustituyendo esta expresión en ( 1 ) se obtiene${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

Como la carga acotada en el volumen d V es igual a la ecuación para P se convierte en: ^[3]${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} }$$

( 2 )

donde es la densidad de la carga ligada en el volumen considerado. De la definición anterior se desprende claramente que los dipolos son neutros en general y, por lo tanto, están equilibrados por una densidad igual de cargas opuestas dentro del volumen. Las cargas que no están equilibradas forman parte de la carga libre que se analiza a continuación.${\displaystyle \rho _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

Para un volumen dado V encerrado por una superficie S , la carga ligada en su interior es igual al flujo de P a través de S tomado con el signo negativo, o${\displaystyle Q_{b}}$

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

( 3 )

Prueba

Sea una superficie de área S la que envuelve una parte de un dieléctrico. Al polarizarse, las cargas negativas y positivas se desplazarán. Sean d ₁ y d ₂ las distancias de las cargas y , respectivamente, desde el plano formado por el elemento de área d A después de la polarización. Y sean d V ₁ y d V ₂ los volúmenes encerrados por debajo y por encima del área d A .${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

De ello se deduce que la carga ligada negativa se movió desde la parte exterior de la superficie d A hacia adentro, mientras que la carga ligada positiva se movió desde la parte interior de la superficie hacia afuera.${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

Por la ley de conservación de carga, la carga total ligada que queda dentro del volumen después de la polarización es:${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

Desde y (ver imagen a la derecha)$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

La ecuación anterior se convierte en$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Por ( 2 ) se deduce que , por lo que obtenemos:${\displaystyle \rho _{b}d=P}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Y al integrar esta ecuación sobre toda la superficie cerrada S encontramos que

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

lo que completa la prueba.

Por el teorema de divergencia, la ley de Gauss para el campo P puede enunciarse en forma diferencial como: donde ∇ · P es la divergencia del campo P a través de una superficie dada que contiene la densidad de carga ligada .$${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$${\displaystyle \rho _{b}}$

En un medio dieléctrico homogéneo , lineal, no dispersivo e isótropo , la polarización está alineada con el campo eléctrico E y es proporcional a él : ^[7]$${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

donde ε ₀ es la constante eléctrica y χ es la susceptibilidad eléctrica del medio. Nótese que en este caso χ se simplifica a un escalar, aunque de manera más general es un tensor . Este es un caso particular debido a la isotropía del dieléctrico.

Teniendo en cuenta esta relación entre P y E , la ecuación ( 3 ) se convierte en: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

La expresión en la integral es la ley de Gauss para el campo E que produce la carga total, tanto libre como ligada , en el volumen V encerrado por S. ^[3] Por lo tanto,${\displaystyle (Q_{f})}$${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

que puede escribirse en términos de carga libre y densidades de carga ligadas (considerando la relación entre las cargas, sus densidades de carga volumétricas y el volumen dado):$${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

Como dentro de un dieléctrico homogéneo no puede haber cargas libres , por la última ecuación se deduce que no hay carga ligada en masa en el material . Y como las cargas libres pueden acercarse tanto al dieléctrico como a su superficie más alta, se deduce que la polarización solo da lugar a una densidad de carga ligada a la superficie (denotada para evitar ambigüedades con la densidad de carga ligada al volumen ). ^[3]${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$puede estar relacionado con P por la siguiente ecuación: ^[8] donde es el vector normal a la superficie S apuntando hacia afuera. (ver densidad de carga para la prueba rigurosa)$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

La clase de dieléctricos donde la densidad de polarización y el campo eléctrico no están en la misma dirección se conocen como materiales anisotrópicos .

En tales materiales, el componente i -ésimo de la polarización está relacionado con el componente j -ésimo del campo eléctrico de acuerdo con: ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

Esta relación muestra, por ejemplo, que un material puede polarizarse en la dirección x al aplicar un campo en la dirección z, y así sucesivamente. El caso de un medio dieléctrico anisotrópico se describe mediante el campo de la óptica de cristales .

Como en la mayor parte del electromagnetismo, esta relación se ocupa de promedios macroscópicos de los campos y la densidad dipolar, de modo que se obtiene una aproximación continua de los materiales dieléctricos que ignora los comportamientos a escala atómica. La polarizabilidad de partículas individuales en el medio se puede relacionar con la susceptibilidad promedio y la densidad de polarización mediante la relación de Clausius-Mossotti .

En general, la susceptibilidad es una función de la frecuencia ω del campo aplicado. Cuando el campo es una función arbitraria del tiempo t , la polarización es una convolución de la transformada de Fourier de χ ( ω ) con la E ( t ) . Esto refleja el hecho de que los dipolos en el material no pueden responder instantáneamente al campo aplicado, y las consideraciones de causalidad conducen a las relaciones de Kramers-Kronig .

Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal y se describe mediante el campo de la óptica no lineal . Como buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no hay momentos dipolares permanentes), P suele estar dada por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

donde es la susceptibilidad lineal, es la susceptibilidad de segundo orden (que describe fenómenos como el efecto Pockels , la rectificación óptica y la generación de segundos armónicos ), y es la susceptibilidad de tercer orden (que describe efectos de tercer orden como el efecto Kerr y la rectificación óptica inducida por campo eléctrico).${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

En los materiales ferroeléctricos , no existe correspondencia biunívoca entre P y E debido a la histéresis .

El comportamiento de los campos eléctricos ( E , D ), los campos magnéticos ( B , H ), la densidad de carga ( ρ ) y la densidad de corriente ( J ) se describen mediante las ecuaciones de Maxwell en la materia .

En términos de densidades de carga volumétrica, la densidad de carga libre viene dada por${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

donde es la densidad de carga total. Considerando la relación de cada uno de los términos de la ecuación anterior con la divergencia de sus campos correspondientes (del campo de desplazamiento eléctrico D , E y P en ese orden), esto se puede escribir como: ^[9]${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

Esta ecuación se conoce como la ecuación constitutiva de los campos eléctricos. Aquí ε ₀ es la permitividad eléctrica del espacio vacío. En esta ecuación, P es el campo (negativo del) inducido en el material cuando las cargas "fijas", los dipolos, se desplazan en respuesta al campo subyacente total E , mientras que D es el campo debido a las cargas restantes, conocidas como cargas "libres". ^{[5] [10]}

En general, P varía en función de E según el medio, como se describe más adelante en el artículo. En muchos problemas, es más conveniente trabajar con D y las cargas libres que con E y la carga total. ^[1]

Por lo tanto, un medio polarizado, mediante el Teorema de Green , puede dividirse en cuatro componentes.

• La densidad de carga volumétrica ligada:${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• La densidad de carga superficial ligada:${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• La densidad de carga volumétrica libre:${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• La densidad de carga superficial libre:${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Cuando la densidad de polarización cambia con el tiempo, la densidad de carga ligada dependiente del tiempo crea una densidad de corriente de polarización de

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

de modo que la densidad de corriente total que entra en las ecuaciones de Maxwell está dada por

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

donde J _f es la densidad de corriente de carga libre, y el segundo término es la densidad de corriente de magnetización (también llamada densidad de corriente ligada ), una contribución de los dipolos magnéticos a escala atómica (cuando están presentes).

La polarización dentro de un sólido no está, en general, definida de manera única. Debido a que un sólido a granel es periódico, se debe elegir una celda unitaria en la que calcular la polarización (ver figura). ^{[11] [12]} En otras palabras, dos personas, Alice y Bob, mirando el mismo sólido, pueden calcular diferentes valores de P , y ninguno de ellos se equivocará. Por ejemplo, si Alice elige una celda unitaria con iones positivos en la parte superior y Bob elige la celda unitaria con iones negativos en la parte superior, sus vectores P calculados tendrán direcciones opuestas. Alice y Bob estarán de acuerdo en el campo eléctrico microscópico E en el sólido, pero no en el valor del campo de desplazamiento .${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

Por otra parte, aunque el valor de P no está definido de forma única en un sólido a granel, las variaciones en P están definidas de forma única. ^[11] Si el cristal cambia gradualmente de una estructura a otra, habrá una corriente dentro de cada celda unitaria, debido al movimiento de los núcleos y los electrones. Esta corriente da como resultado una transferencia macroscópica de carga de un lado del cristal al otro y, por lo tanto, se puede medir con un amperímetro (como cualquier otra corriente) cuando se conectan cables a los lados opuestos del cristal. La integral temporal de la corriente es proporcional al cambio en P . La corriente se puede calcular en simulaciones por computadora (como la teoría funcional de la densidad ); la fórmula para la corriente integrada resulta ser un tipo de fase de Berry . ^[11]

La no unicidad de P no es problemática, porque cada consecuencia medible de P es de hecho una consecuencia de un cambio continuo en P . ^[11] Por ejemplo, cuando un material se coloca en un campo eléctrico E , que aumenta desde cero hasta un valor finito, las posiciones electrónica e iónica del material cambian ligeramente. Esto cambia P , y el resultado es la susceptibilidad eléctrica (y, por lo tanto, la permitividad ). Como otro ejemplo, cuando algunos cristales se calientan, sus posiciones electrónicas e iónicas cambian ligeramente, cambiando P . El resultado es la piroelectricidad . En todos los casos, las propiedades de interés están asociadas con un cambio en P .

Aunque en principio la polarización no es única, en la práctica suele definirse (no siempre) por convención de una manera específica y única. Por ejemplo, en un cristal perfectamente centrosimétrico , P es exactamente cero debido al razonamiento de simetría.

Esto se puede observar en un material piroeléctrico. Por encima de la temperatura de Curie, el material no está polarizado y tiene una configuración centrosimétrica. Al bajar la temperatura por debajo de la temperatura de Curie, se induce una transición de fase estructural que rompe la centrosimetría. La P del material crece proporcionalmente a la distorsión, lo que permite definirlo de forma inequívoca.

Otro problema en la definición de P está relacionado con la elección arbitraria de la "unidad de volumen", o más precisamente con la escala del sistema . ^[5] Por ejemplo, a escala microscópica un plasma puede considerarse como un gas de cargas libres , por lo que P debería ser cero. Por el contrario, a escala macroscópica el mismo plasma puede describirse como un medio continuo, que exhibe una permitividad y, por lo tanto, una polarización neta P ≠ 0 .${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

• Estructura cristalina
• Ferroelectricidad
• Electreto
• Polarización (desambiguación)

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