5-símplex estericados

5-símplex	Estericado 5-símplex
Esteritruncado 5-símplex	Estericantelado 5-símplex
Estericantitruncado 5-símplex	Esteriruncitruncado 5-simplex
Esteriruncicantitruncado 5-simplex (Omnitruncado 5-simplex)
Proyecciones ortogonales en los planos de Coxeter A 5 y A 4

En geometría de cinco dimensiones , un 5-símplex estericizado es un 5-politopo uniforme convexo con truncamientos de cuarto orden ( estericación ) del 5-símplex regular .

Existen seis estericaciones únicas del 5-símplex, incluidas permutaciones de truncamientos, cantelaciones y runcinaciones. El 5-símplex esterificado más simple también se denomina 5-símplex expandido , con el primer y el último nodo en forma de anillo, por ser construible mediante una operación de expansión aplicada al 5-símplex regular. La forma más alta, el 5-símplex esterificado antitruncado, se denomina de manera más sencilla 5-símplex omnitruncado con todos los nodos en forma de anillo.

Estericado 5-símplex
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	2r2r{3,3,3,3} 2r{3 2,2 } =${\displaystyle 2r\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}}$
Diagrama de Coxeter-Dynkin	o
4 caras	62	6+6 {3,3,3} 15+15 {}×{3,3} 20 {3}×{3}
Células	180	60 {3,3} 120 {}×{3}
Caras	210	120 {3} 90 {4}
Bordes	120
Vértices	30
Figura de vértice	Antiprisma tetraédrico
Grupo Coxeter	A 5 × 2, [[3,3,3,3]], orden 1440
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal

Un 5-símplex estericable se puede construir mediante una operación de expansión aplicada al 5-símplex regular , y por lo tanto también se lo denomina a veces 5-símplex expandido . Tiene 30 vértices , 120 aristas , 210 caras (120 triángulos y 90 cuadrados ), 180 celdas (60 tetraedros y 120 prismas triangulares ) y 62 4-caras (12 5-celdas , 30 prismas tetraédricos y 20 duoprismas 3-3 ).

• 5-símplex expandido
• Hexateron estericado
• Dodecaterón celulado pequeño (acrónimo: scad) (Jonathan Bowers) ^[1]

La sección transversal máxima del hexaterón esterificado con un hiperplano de 4 dimensiones es una 5-celda runcinada . Esta sección transversal divide el hexaterón esterificado en dos hipercúpulas pentacorales que constan de 6 5-celdas , 15 prismas tetraédricos y 10 duoprismas 3-3 cada una.

Los vértices del 5-símplex estericizado se pueden construir en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,1,1,1,1,2). Esto representa la faceta ortante positiva del 6-ortoplex estericizado .

Una segunda construcción en el espacio 6, desde el centro de un ortoplex 6 rectificado, se da mediante permutaciones de coordenadas de:

(1,-1,0,0,0,0)

Las coordenadas cartesianas en el espacio 5 para los vértices normalizados de un hexaterón estericulado centrado en el origen son:

${\displaystyle \left(\pm 1,\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1,\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ 0,\ ​​\pm 1,\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ ​​\pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\ ​​\pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ \pm 1/2,\ 0,\ \pm {\sqrt {1/2}},\ 0\right)}$

Sus 30 vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple A ₅ . También es la figura de vértice del panal 5-símplex .

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[[5]]=[10]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[[3]]=[6]

proyección ortogonal con simetría [6]

Esteritruncado 5-símplex
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	t0,1,4 { 3,3,3,3 }
Diagrama de Coxeter-Dynkin
4 caras	62	6 t{3,3,3} 15 {}× t{3,3} 20 {3}×{6} 15 {}× {3,3} 6 t 0,3 {3,3,3}
Células	330
Caras	570
Bordes	420
Vértices	120
Figura de vértice
Grupo Coxeter	A 5 [3,3,3,3], orden 720
Propiedades	convexo , isogonal

• Hexateron esteritruncado
• Hexateron celiprismado (acrónimo: cappix) (Jonathan Bowers) ^[2]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 180 permutaciones de:

(0,1,1,1,2,3)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex esteritruncado .

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[5]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[3]

Estericantelado 5-símplex
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	t0,2,4 { 3,3,3,3 }
Diagrama de Coxeter-Dynkin	o
4 caras	62	12 rr{3,3,3} 30 rr{3,3}x {} 20 {3}×{3}
Células	420	60 r{3,3} 240 {}×{3} 90 {}×{}×{} 30 r{3,3}
Caras	900	360 {3} 540 {4}
Bordes	720
Vértices	180
Figura de vértice
Grupo Coxeter	A 5 × 2, [[3,3,3,3]], orden 1440
Propiedades	convexo , isogonal

• Hexateron estericantelado
• Dodecateron celirrombado (Acrónimo: card) (Jonathan Bowers) ^[3]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio de 6, como permutaciones de:

(0,1,1,2,2,3)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex estericantelado .

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[[5]]=[10]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[[3]]=[6]

Estericantitruncado 5-símplex
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	t0,1,2,4 { 3,3,3,3 }
Diagrama de Coxeter-Dynkin
4 caras	62
Células	480
Caras	1140
Bordes	1080
Vértices	360
Figura de vértice
Grupo Coxeter	A 5 [3,3,3,3], orden 720
Propiedades	convexo , isogonal

• Hexateron antitruncado esterico
• Hexateron hombatado de Cellicreator (acrónimo: cograx) (Jonathan Bowers) ^[4]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 360 permutaciones de:

(0,1,1,2,3,4)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex estericoantitruncado .

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[5]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[3]

Esteriruncitruncado 5-simplex
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	t0,1,3,4 { 3,3,3,3 } 2t{3 2,2 }
Diagrama de Coxeter-Dynkin	o
4 caras	62	12 t 0,1,3 {3,3,3} 30 {} × t{3,3} 20 {6} × {6}
Células	450
Caras	1110
Bordes	1080
Vértices	360
Figura de vértice
Grupo Coxeter	A 5 × 2, [[3,3,3,3]], orden 1440
Propiedades	convexo , isogonal

• Hexateron esteriruncitruncado
• Dodecaterón truncado de celiprisma (acrónimo: captid) (Jonathan Bowers) ^[5]

Las coordenadas se pueden realizar en el espacio 6, como 360 permutaciones de:

(0,1,2,2,3,4)

Esta construcción existe como una de las 64 facetas ortantes del 6-ortoplex esteriruncitruncado .

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[[5]]=[10]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[[3]]=[6]

5-símplex omnitruncado
Tipo	Politopo 5 uniforme
Símbolo de Schläfli	t 0,1,2,3,4 {3,3,3,3} 2tr{3 2,2 }
Diagrama de Coxeter-Dynkin	o
4 caras	62	12 t0,1,2,3 { 3,3,3} 30 {}×tr{3,3} 20 {6}×{6}
Células	540	360 t{3,4} 90 {4,3} 90 {}×{6}
Caras	1560	480 {6} 1080 {4}
Bordes	1800
Vértices	720
Figura de vértice	5 celdas irregulares
Grupo Coxeter	A 5 × 2, [[3,3,3,3]], orden 1440
Propiedades	convexo , isogonal , zonotopo

El 5-símplex omnitruncado tiene 720 vértices , 1800 aristas , 1560 caras (480 hexágonos y 1080 cuadrados ), 540 celdas (360 octaedros truncados , 90 cubos y 90 prismas hexagonales ) y 62 4-caras (12 5-celdas omnitruncadas , 30 prismas octaédricos truncados y 20 duoprismas 6-6 ).

• Steriruncicantitruncated 5-simplex (Descripción completa de omnitruncamiento para 5-politopos por Johnson)
• Hexaterón omnitruncado
• Gran dodecaterón celulado (acrónimo: gocad) (Jonathan Bowers) ^[6]

Los vértices del 5-símplex omnitruncado se pueden construir de forma más sencilla en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,1,2,3,4,5). Estas coordenadas provienen de la faceta ortante positiva del 6-ortoplex esteriruncicantitruncado , t _0,1,2,3,4 {3 ⁴ ,4},.

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 5	Un 4
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[[5]]=[10]
Un avión de Coxeter	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[[3]]=[6]

El 5-símplex omnitruncado es el permutoedro de orden 6. También es un zonotopo , la suma de Minkowski de seis segmentos de línea paralelos a las seis líneas que pasan por el origen y los seis vértices del 5-símplex.

Proyección ortogonal , vértices etiquetados como permutoedro .

El panal omnitruncado 5-símplex está formado por facetas omnitruncadas 5-símplex con 3 facetas alrededor de cada cresta . Tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin de.

Grupo Coxeter	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$
Coxeter-Dynkin
Imagen
Nombre	Apeirogon	Hextil	Panal de abeja 3-símplex omnitruncado	Panal de abeja 4-símplex omnitruncado	Panal de abeja 5-símplex omnitruncado
Facetas

El 5-simplex truncado completo u omnisnub 5-simplex , definido como una alternancia del 5-simplex omnitruncado, no es uniforme, pero se puede dar un diagrama de Coxeter.y simetría [[3,3,3,3]] ⁺ , y construido a partir de 12 celdas 5 romos , 30 antiprismas tetraédricos romos , 20 duoantiprismas 3-3 y 360 celdas 5 irregulares que llenan los huecos en los vértices eliminados.

Estos politopos son parte de 19 5-politopos uniformes basados ​​en el grupo de Coxeter [3,3,3,3] , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano de Coxeter A _5. (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyección, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta tienen progresivamente más vértices)

Politopos A5
el 0	el 1	dos​	t0,1​	t0,2​	1,2​	t0,3​
1,3​	0,4​	0,1,2​	t0,1,3​	0,2,3​	1,2,3​	0,1,4​
0,2,4​	0,1,2,3​	0,1,2,4​	0,1,3,4​	0,1,2,3,4​

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson: La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D.
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (politera)".x3o3o3o3x - scad, x3x3o3o3x - cappix, x3o3x3o3x - tarjeta, x3x3x3o3x - cograx, x3x3o3x3x - captid, x3x3x3x3x - gocad

• Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional