Imagen de interacción

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern-Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein-Gordon Pablo Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie–Bohm Conjunto Variable oculta Local Superdeterminismo Muchos mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional De von Neumann-Wigner
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Paradoja del EPR Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov Campana Bethe Negro Bloqueo Bóhm Bohr Nacido Bosé de Broglie Compton Dirac Davison Debye Fiesta de los testigos Einstein Everett Follar Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramer Cordero Landó Laue Mosley Millikan Onnas Pablo Planck Rabí Rama Rydberg Schrödinger Simmons Campo de verano de Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger
en a mi

En mecánica cuántica , la imagen de interacción (también conocida como la representación de interacción o imagen de Dirac en honor a Paul Dirac , quien la introdujo) ^{[1] [2] es una} representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg . Mientras que en las otras dos imágenes, tanto el vector de estado como los operadores tienen dependencia temporal, en la imagen de interacción ambos tienen parte de la dependencia temporal de los observables . ^[3] La imagen de interacción es útil para tratar cambios en las funciones de onda y los observables debido a interacciones. La mayoría de los cálculos teóricos de campo ^[4] utilizan la representación de interacción porque construyen la solución a la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución al problema de la partícula libre más algunas partes de interacción desconocidas.

Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que son válidas en la imagen de interacción, no necesariamente son válidas en la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores de una imagen con los operadores análogos de las otras.

La imagen de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada a los vectores hamiltonianos y de estado.

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos el hamiltoniano de la imagen de Schrödinger en dos partes:

Cualquier elección posible de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de modo que H _0,S se comprenda bien y se pueda resolver con exactitud, mientras que H _1,S contenga alguna perturbación más difícil de analizar para este sistema.

Si el hamiltoniano tiene una dependencia explícita del tiempo (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), normalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H _1,S , dejando H _0,S independiente del tiempo:

Supongamos que este es el caso. Si existe un contexto en el que tenga sentido que H _0,S dependa del tiempo, se puede proceder reemplazando por el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones que aparecen a continuación.${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

Sea el vector de estado dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en la imagen de interacción, , se define con una transformación unitaria dependiente del tiempo adicional. ^[5]${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

Un operador en la imagen de interacción se define como

Tenga en cuenta que A _S ( t ) normalmente no dependerá de t y se puede reescribir simplemente como A _S . Solo depende de t si el operador tiene "dependencia temporal explícita", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado que varía con el tiempo. Otra instancia de dependencia temporal explícita puede ocurrir cuando A _S ( t ) es una matriz de densidad (ver a continuación).

Para el propio operador , la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden:${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces ser llamado sin ambigüedad.${\displaystyle H_{0}}$

Sin embargo, para el hamiltoniano de perturbación ,${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

donde el hamiltoniano de perturbación de la imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,S , H _0,S ] = 0.

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano dependiente del tiempo H _0,S ( t ), pero las exponenciales deben reemplazarse por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,S ( t ), o más explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Se puede demostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean ρ _I y ρ _S las matrices de densidad en la imagen de interacción y en la imagen de Schrödinger respectivamente. Si existe una probabilidad p _n de estar en el estado físico | ψ _n ⟩, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

Transformando la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción obtenemos

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

que establece que en la imagen de interacción, un estado cuántico se desarrolla por la parte de interacción del hamiltoniano tal como se expresa en la imagen de interacción. ^[6] Se da una prueba en Fetter y Walecka. ^[7]

Si el operador A _S es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; ver arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para A _I ( t ) está dada por

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

En la imagen de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano H ' = H ₀ .

La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

en coherencia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.

Para un operador general , el valor esperado en la imagen de interacción está dado por${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

Usando la expresión de la matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

El término representación de interacción fue inventado por Schwinger. ^{[8] [9]} En esta nueva representación mixta el vector de estado ya no es constante en general, pero sí lo es si no hay acoplamiento entre campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga-Schwinger: ^{[10] [9]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

Donde el hamiltoniano en este caso es el hamiltoniano de interacción QED, pero también puede ser una interacción genérica, y es una superficie espacial que pasa por el punto . La derivada representa formalmente una variación sobre esa superficie dada una constante fija. Es difícil dar una interpretación formal matemática precisa de esta ecuación. ^[11]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Schwinger denomina a este enfoque "diferencial" y "de campo", en contraposición al enfoque "integral" y "de partículas" de los diagramas de Feynman. ^{[12] [13]}

La idea central es que si la interacción tiene una constante de acoplamiento pequeña (es decir, en el caso del electromagnetismo del orden de la constante de estructura fina), los términos perturbativos sucesivos serán potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, más pequeños. ^[14]

El propósito de la imagen de interacción es desviar toda la dependencia temporal debida a H ₀ hacia los operadores, permitiéndoles así evolucionar libremente y dejando solo a H _1,I para controlar la evolución temporal de los vectores de estado.

La imagen de interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, H _1,S , que se agrega al hamiltoniano de un sistema resuelto, H _0,S . Al utilizar la imagen de interacción, se puede usar la teoría de perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de H _1,I , ^{[15] : 355ff} por ejemplo, en la derivación de la regla de oro de Fermi , ^{[15] : 359–363} o la serie de Dyson ^{[15] : 355–357} en la teoría cuántica de campos : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de perturbación covariante podía formularse elegantemente en la imagen de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en presencia de interacciones, ahora tratadas perturbativamente en dicha serie de Dyson.

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Evolución de:	Imagen ( en a mi )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
Estado de Ket	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$	constante	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
Observable	constante	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$
Matriz de densidad	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	constante	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$

• LD Landau y EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista. Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

• Notación de corchetes
• Ecuación de Schrödinger
• Teorema de Haag