Politopo cruzado

Politopos cruzados de dimensión 2 a 5

Cuadrado de 2 dimensiones	Octaedro de 3 dimensiones
4 dimensiones 16 celdas	5 dimensiones 5-ortoplex

En geometría , un politopo cruzado , ^[1] hiperoctaedro , ortoplex , ^[2] estaurotopo , ^[3] o cocubo es un politopo regular y convexo que existe en el espacio euclidiano de n dimensiones . Un politopo cruzado bidimensional es un cuadrado, un politopo cruzado tridimensional es un octaedro regular y un politopo cruzado tetradimensional es un politopo de 16 celdas . Sus facetas son símplex de la dimensión anterior, mientras que la figura del vértice del politopo cruzado es otro politopo cruzado de la dimensión anterior.

Los vértices de un politopo cruzado pueden elegirse como los vectores unitarios que apuntan a lo largo de cada eje de coordenadas, es decir, todas las permutaciones de (±1, 0, 0, ..., 0) . El politopo cruzado es la envoltura convexa de sus vértices. El politopo cruzado n -dimensional también puede definirse como la esfera unitaria cerrada (o, según algunos autores, su límite) en la norma ℓ ₁ en R ⁿ :

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

En una dimensión, el politopo cruzado es simplemente el segmento de línea [−1, +1]; en dos dimensiones, es un cuadrado (o diamante) con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones, es un octaedro , uno de los cinco poliedros regulares convexos conocidos como sólidos platónicos . Esto se puede generalizar a dimensiones superiores con un n -ortoplex que se construye como una bipirámide con una base ( n −1)-ortoplex.

El politopo cruzado es el politopo dual del hipercubo . El esqueleto unidimensional de un politopo cruzado es el grafo de Turán T (2 n , n ) (también conocido como grafo de cóctel ^[4] ).

El politopo cruzado de 4 dimensiones también recibe el nombre de hexadecacoron o de 16 celdas . Es uno de los seis 4-politopos regulares convexos . Estos 4-politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

La familia de politopos cruzados es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetada por Coxeter como β _n , las otras dos son la familia de hipercubos , etiquetada como γ _n , y la familia símplex , etiquetada como α _n . Una cuarta familia, las teselaciones infinitas de hipercubos , la etiquetó como δ _n . ^[5]

El politopo cruzado n -dimensional tiene 2 n vértices y 2 ⁿ facetas (componentes ( n  − 1)-dimensionales), todos los cuales son ( n  − 1) -símplices . Las figuras de vértices son todas ( n  − 1)-politopos cruzados. El símbolo de Schläfli del politopo cruzado es {3,3,...,3,4}.

El ángulo diedro del politopo cruzado n -dimensional es . Esto da: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ ₃ = arccos(−1/3) = 109,47°, δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ ₅ = arccos(−3/5) = 126,87°, ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°.${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$

El hipervolumen del politopo cruzado n -dimensional es

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Para cada par de vértices no opuestos, existe una arista que los une. De manera más general, cada conjunto de k  + 1 vértices ortogonales corresponde a un componente k -dimensional distinto que los contiene. El número de componentes k -dimensionales (vértices, aristas, caras, ..., facetas) en un politopo cruzado n -dimensional viene dado por (ver coeficiente binomial ):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^[6]

El vector f extendido para un n -ortoplex se puede calcular mediante ( 1 ,2) ⁿ , como los coeficientes de productos polinómicos . Por ejemplo, una celda de 16 es ( 1 ,2) ⁴ = ( 1 ,4,4) ² = ( 1 ,8,24,32,16).

Existen muchas proyecciones ortográficas posibles que pueden mostrar los politopos cruzados como gráficos bidimensionales. Las proyecciones de polígonos de Petrie asignan los puntos a un polígono regular de 2n o a polígonos regulares de orden inferior. Una segunda proyección toma el polígono de Petrie de 2( n −1)-gonos de la dimensión inferior, visto como una bipirámide , proyectado hacia abajo del eje, con 2 vértices asignados al centro.

Elementos entre politopos

norte	β n k 11	Nombre(s) Gráfico	Gráfico 2 n -gon	Colapso	Diagramas de Coxeter-Dynkin	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	8 caras	9 caras	10 caras
0	β0​	Punto 0-ortoplex	.	( )		1
1	β1​	Segmento de línea 1-ortoplex		{ }		2	1
2	β2−111​ ​​	Bicross cuadrado de 2 ortoplex		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β3011​ ​​	Octaedro 3-ortoplex Tricross		{3,4} {3 1,1 } 3{ }		6	12	8	1
4	β4111​ ​​	Tetracross de 4 ortoplex y 16 células		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4{ }		8	24	32	16	1
5	β5211​ ​​	Pentacross de 5 ortoplex		{3 3 ,4} {3,3,3 1,1 } 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β6311​ ​​	Hexacross de 6 ortoplex		{3 4 ,4} {3 3 ,3 1,1 } 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	β7411​ ​​	Heptacross de 7-ortoplex		{3 5 ,4} {3 4 ,3 1,1 } 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β8511​ ​​	Octacross de 8 ortoplex		{3 6 ,4} {3 5 ,3 1,1 } 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β9611​ ​​	Eneacruz del 9-ortoplex		{3 7 ,4} {3 6 ,3 1,1 } 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β10711​ ​​	Decacross de 10 ortoplex		{3 8 ,4} {3 7 ,3 1,1 } 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
norte	β n k 11	n -ortoplex n -cruz		{3 n  − 2 ,4} {3 n  − 3 ,3 1,1 } n {}	... ... ...	2 n 0-caras , ... k -caras ..., 2 n ( n −1)-caras${\displaystyle 2^{k+1}{n \elija k+1}}$

Los vértices de un politopo cruzado alineado con el eje están todos a la misma distancia entre sí en la distancia de Manhattan ( norma L ¹ ). La conjetura de Kusner establece que este conjunto de 2 d puntos es el conjunto equidistante más grande posible para esta distancia. ^[7]

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamados ortoplexes generalizados (o politopos cruzados), β^pn
_​= ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p , o..Existen soluciones reales con p = 2, es decir β²
_n= β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}. Para p > 2, existen en . Un n -ortoplex p -generalizado tiene pn vértices. Los ortoplex generalizados tienen símplex regulares (reales) como facetas . ^[8] Los ortoplex generalizados forman grafos multipartitos completos , β${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$^pág.
₂hacer K _{p , p} para el gráfico bipartito completo , β^pág.
₃hacer K _{p , p , p} para gráficos tripartitos completos. β^pn
_​crea K _{p ⁿ} . Se puede definir una proyección ortogonal que mapea todos los vértices igualmente espaciados en un círculo, con todos los pares de vértices conectados, excepto los múltiplos de n . El perímetro del polígono regular en estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie .

Ortoplexes generalizados

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2 {4} 2 = {4} = K2,2​	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}$	2 {4} 3 = K3,3​	2 {4} 4 = K 4,4	2 {4} 5 = K5,5​	2 {4} 6 = K6,6​	2 {4} 7 = K7,7​	2 {4} 8 = K 8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K2,2,2​	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = K3,3,3​	2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = K5,5,5​	2 {3} 2 {4} 6 = K6,6,6​	2 {3} 2 {4} 7 = K7,7,7​	2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K6,6,6,6​	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K7,7,7,7​	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K6,6,6,6,6​	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K7,7,7,7,7​	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K6,6,6,6,6,6​	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K7,7,7,7,7,7​	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8

Los politopos cruzados se pueden combinar con sus cubos duales para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, obtenemos la figura de estrella octagrámica { ⁠8/2⁠ },
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro ,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de tesseract y 16 celdas.

• Lista de politopos regulares
• Grupo hiperoctaédrico , el grupo de simetría del politopo cruzado

• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
  • págs. 121-122, §7.21. ver ilustración Fig 7.2 B
  • p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)

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• Weisstein, Eric W. "Politopo cruzado". MathWorld .