5-ortoplex

Ortoplex 5 regular (pentacross)
Proyección ortogonal dentro del polígono de Petrie
Tipo	5-politopo regular
Familia	ortoplex
Símbolo de Schläfli	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }
Diagramas de Coxeter-Dynkin
4 caras	32 {3 3 }
Células	80 {3,3}
Caras	80 {3}
Bordes	40
Vértices	10
Figura de vértice	16 celdas
Polígono de Petrie	decágono
Grupos de Coxeter	antes de Cristo 5 , [3,3,3,4] D 5 , [3 2,1,1 ]
Dual	5 cubos
Propiedades	convexo , politopo de Hanner

En geometría de cinco dimensiones , un 5-ortoplex , o politopo de 5 cruces , es un politopo de cinco dimensiones con 10 vértices , 40 aristas , 80 caras triangulares , 80 celdas de tetraedro y 32 5 celdas de 4 caras .

Tiene dos formas construidas, la primera regular con el símbolo de Schläfli {3 ³ ,4}, y la segunda con facetas etiquetadas alternativamente (en tablero de ajedrez), con el símbolo de Schläfli {3,3,3 ^1,1 } o el símbolo de Coxeter 2 ₁₁ .

Forma parte de una familia infinita de politopos, llamados politopos cruzados u ortoplexos . El politopo dual es el 5- hipercubo o 5-cubo .

• pentacross , derivado de la combinación del nombre de familia cross polytope con pente por cinco (dimensiones) en griego .
• Triacontaditeron (o triacontakaiditeron ): como un politopo 5 de 32 facetas (politerón).

Esta matriz de configuración representa el 5-ortoplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 5-ortoplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}10&8&24&32&16\\2&40&6&12&8\\3&3&80&4&4\\4&6&4&80&2\\5&10&10&5&32\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un 5-ortoplex, centrado en el origen son

(±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0 ), (0,0,0,0,±1)

Hay tres grupos de Coxeter asociados con el 5-ortoplex, uno regular , dual del penteracto con el grupo de Coxeter C ₅ o [4,3,3,3] , y una simetría inferior con dos copias de facetas de 5 celdas , alternando, con el grupo de Coxeter D ₅ o [3 ^2,1,1 ], y el último como un 5- ortotopo dual , llamado 5-fusil que puede tener una variedad de subsimetrías.

Nombre	Diagrama de Coxeter	Símbolo de Schläfli	Simetría	Orden	Figura (s) de vértice
5-ortoplex regular		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
Ortoplex 5 cuasirregular		{3,3,3 1,1 }	[3,3,3 1,1 ]	1920
5 fusiles
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4}+{}	[4,3,3,2]	768
		{3,4}+{4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4}+2{}	[4,3,2,2]	192
		2{4}+{}	[4,2,4,2]	128
		{4}+3{}	[4,2,2,2]	64
		5{}	[2,2,2,2]	32

proyecciones ortográficas

Avión Coxeter	B 5	B4 / D5​	B3 / D4 / A2​
Gráfico
Simetría diedral	[10]	[8]	[6]
Avión Coxeter	B2​	Un 3
Gráfico
Simetría diedral	[4]	[4]

La proyección en perspectiva (3D a 2D) de una proyección estereográfica (4D a 3D) del diagrama de Schlegel (5D a 4D) del 5-ortoplex. 10 conjuntos de 4 aristas forman 10 círculos en el diagrama de Schlegel 4D: dos de estos círculos son líneas rectas en la proyección estereográfica porque contienen el centro de la proyección.

2 k 1 cifras en n dimensiones
Espacio	Finito						Euclidiano	Hiperbólico
norte	3	4	5	6	7	8	9	10
Grupo Coxeter	E3 = Un2Un1​​​	E4 = A4​	E5 = D5​	E6​	E7​	E8​	E9 = = E8 +​${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E10 = = E8 ++​${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
Diagrama de Coxeter
Simetría	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Orden	12	120	384	51.840	2.903.040	696.729.600	∞
Gráfico							-	-
Nombre	2 −1,1	2 01	211	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Este politopo es uno de los 31 5-politopos uniformes generados a partir del plano de Coxeter B ₅ , incluidos el 5-cubo y el 5-ortoplex regulares.

Politopos B5
β5	t1β5​​​	t2γ5​​​	t1γ5​​​	γ5​	t 0,1 β 5	t0,2β5​​​	t1,2β5​​​
t0,3β5​​​	t1,3γ5​​​	t1,2γ5​​​	t 0,4 γ 5	t 0,3 γ ​​5	t 0,2 γ 5	t 0,1 γ 5	t0,1,2β5​​​
t0,1,3β5​​​	t0,2,3β5​​​	t1,2,3γ5​​​	t0,1,4β5​​​	t0,2,4γ5​​​	t0,2,3γ5​​​	t 0,1,4 γ 5	t 0,1,3 γ 5
t 0,1,2 γ 5	t0,1,2,3β5​​​	t0,1,2,4β5​​​	t 0,1,3,4 γ 5	t 0,1,2,4 γ 5	t0,1,2,3γ5​​​	t 0,1,2,3,4 γ 5

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (politera) x3o3o3o4o - tac".

• Olshevsky, George. «Politopo cruzado». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional