6-ortoplex

Hexacross de 6 ortoplex
Proyección ortogonal dentro del polígono de Petrie
Tipo	Politopo 6 regular
Familia	ortoplex
Símbolos de Schläfli	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
Diagramas de Coxeter-Dynkin	=
5 caras	64 {3 ⁴ }
4 caras	192 {3 ³ }
Células	240 {3,3}
Caras	160 {3}
Bordes	60
Vértices	12
Figura de vértice	5-ortoplex
Polígono de Petrie	dodecágono
Grupos de Coxeter	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Dual	6 cubos
Propiedades	convexo , politopo de Hanner

En geometría , un 6-ortoplex , o politopo de 6 cruces , es un 6-politopo regular con 12 vértices , 60 aristas , 160 caras triangulares , 240 celdas de tetraedro , 192 5 celdas de 4 caras y 64 5 caras .

Tiene dos formas construidas, la primera regular con el símbolo de Schläfli {3 ⁴ ,4}, y la segunda con facetas etiquetadas alternativamente (en tablero de ajedrez), con el símbolo de Schläfli {3,3,3,3 ^1,1 } o el símbolo de Coxeter 3 ₁₁ .

Forma parte de una familia infinita de politopos, llamados politopos cruzados u ortoplexos . El politopo dual es el hipercubo de 6 , o hexeracto .

Nombres alternativos

Hexacross , derivado de la combinación del nombre de familia cross polytope con hex para seis (dimensiones) en griego .
Hexacontitetrapeton como un 6-politopo de 64 facetas .

Como configuración

Esta matriz de configuración representa el 6-ortoplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras y 5-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 6-ortoplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. ^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}12&10&40&80&80&32\\2&60&8&24&32&16\\3&3&160&6&12&8\\4&6&4&240&4&4\\5&10&10&5&192&2\\6&15&20&15&6&64\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Construcción

Hay tres grupos de Coxeter asociados con el 6-ortoplex, uno regular , dual del hexeracto con el grupo de Coxeter C ₆ o [4,3,3,3,3] , y una semisimetría con dos copias de facetas 5-símplex, alternadas, con el grupo de Coxeter D ₆ o [3 ^3,1,1 ]. Una construcción de simetría mínima se basa en un dual de un 6- ortotopo , llamado 6-fusil .

Nombre	Colapso	Simetría	Orden
Ortoplex 6 regular	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Ortoplex 6 cuasirregular	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6 fusiles	{3,3,3,4}+{}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4}+{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2{3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4}+2{}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4}+{4}+{}	[4,3,2,4,2]	768
	3{4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4}+3{}	[4,3,2,2,2]	384
	2{4}+2{}	[4,2,4,2,2]	256
	{4}+4{}	[4,2,2,2,2]	128
	6{}	[2,2,2,2,2]	64

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un 6-ortoplex, centrado en el origen son

(±1,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0), (0,0, 0,±1,0,0), (0,0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,0,±1)

Cada par de vértices está conectado por una arista , excepto los opuestos.

Imágenes

proyecciones ortográficas
Avión Coxeter	B6	B ₅	B4
Gráfico
Simetría diedral	[12]	[10]	[8]
Avión Coxeter	B3	B2
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[4]
Avión Coxeter	Un ₅	Un ₃
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[4]

Politopos relacionados

El 6-ortoplex se puede proyectar en 3 dimensiones en los vértices de un icosaedro regular . ^[3]

2D		3D
Icosaedro {3,5} = Avión H ₃ Coxeter	6-ortoplex {3,3,3,3 ^1,1 } = Avión D ₆ Coxeter	Icosaedro	6-ortoplex
Esta construcción puede verse geométricamente como los 12 vértices del 6-ortoplex proyectados a 3 dimensiones como los vértices de un icosaedro regular . Esto representa un plegado geométrico de los grupos de Coxeter de D ₆ a H ₃ : :aA la izquierda, vistos mediante estas proyecciones ortogonales del plano de Coxeter 2D , los dos vértices centrales superpuestos definen el tercer eje en esta proyección. Todos los pares de vértices del 6-ortoplex están conectados, excepto los opuestos: 30 aristas se comparten con el icosaedro, mientras que 30 aristas más del 6-ortoplex se proyectan hacia el interior del icosaedro.

Se trata de una serie dimensional de politopos y panales uniformes, expresada por Coxeter como una serie 3 _k1 . (Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como teselación de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico ).

Figuras tridimensionales de 3 _k1
Espacio	Finito				Euclidiano	Hiperbólico
norte	4	5	6	7	8	9
Grupo Coxeter	Un ₃ Un ₁	Un ₅	D6	E7	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ = _E7⁺⁺
Diagrama de Coxeter
Simetría	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Orden	48	720	46.080	2.903.040	∞
Gráfico					-	-
Nombre	3 _1,-1	3 ₁₀	311	3 ₂₁	3 ₃₁	341

Este politopo es uno de los 63 politopos 6 uniformes generados a partir del plano de Coxeter B ₆ , incluido el 6-cubo o 6-ortoplex regular.

Politopos B6
β6	t1β6	t2β6	t2γ6	t1γ6	γ6	t0,1β6	t0,2β6
t1,2β6	t0,3β6	t1,3β6	t2,3γ6	t0,4β6	t1,4γ6	t1,3γ6	t1,2γ6
t _0,5 γ ₆	t _0,4 γ ₆	t0,3γ6	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	t0,1,2β6	t0,1,3β6	t0,2,3β6
t1,2,3β6	t0,1,4β6	t0,2,4β6	t1,2,4β6	t0,3,4β6	t1,2,4γ6	t1,2,3γ6	t0,1,5β6
t0,2,5β6	t0,3,4γ6	t _0,2,5 γ6	t0,2,4γ6	t0,2,3γ6	t _0,1,5 γ6	t _0,1,4 γ6	t _0,1,3 γ6
t _0,1,2 γ6	t0,1,2,3β6	t0,1,2,4β6	t0,1,3,4β6	t0,2,3,4β6	t1,2,3,4γ6	t0,1,2,5β6	t0,1,3,5β6
t0,2,3,5 γ6	t _0,2,3,4 γ6	t _0,1,4,5 γ6	t _0,1,3,5 γ6	t _0,1,3,4 γ6	t _0,1,2,5 γ6	t _0,1,2,4 γ6	t _0,1,2,3 γ6
t0,1,2,3,4β6	t0,1,2,3,5β6	t0,1,2,4,5 β6	t _0,1,2,4,5 γ6	t _0,1,2,3,5 γ6	t _0,1,2,3,4 γ6	t _0,1,2,3,4,5 γ6

Referencias

HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
- NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , Ph.D. 1966
Klitzing, Richard. "Polipetas (politopos) uniformes 6D x3o3o3o3o4o - gee".

Específico

^ Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones
^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
^ Cuasicristales y geometría , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, pág. 64. 2.7.1 El cristal I ₆

Enlaces externos

Olshevsky, George. «Politopo cruzado». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
Politopos de varias dimensiones
Glosario multidimensional

en a mi Politopos fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–10
Familia	Un	Bn	Yo ₂ (p) / D _n	Mi ₆ / Mi ₇ / Mi ₈ / Fa ₄ / Sol ₂	H- _n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Semicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentachoron	16 celdas • Tesseract	Acto de Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
Politopo 5 uniforme	5-símplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubes
Politopo uniforme de 6 elementos	6-símplex	6-ortoplex • 6-cubo	6-demicubes	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Politopo 7 uniforme	7-símplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Politopo 8 uniforme	8-símplex	8-ortoplex • 8-cubo	8-demicubes	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Politopo uniforme de 9 elementos	9-símplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubes
Politopo uniforme de 10	10-símplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubes
Politopo uniforme n	n - símplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicubo	1 _k2 • 2 _k1 • k21	n - politopo pentagonal
Temas: Familias de politopos • Politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

[1] Coxeter, Politopos regulares, sección 1.8 Configuraciones

[2] Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117

[3] Cuasicristales y geometría , Marjorie Senechal, 1996, Cambridge University Press, pág. 64. 2.7.1 El cristal I ₆