Politopo complejo

This article has problems which may render some text or images unreadable or difficult to read in dark mode. Desktop readers can switch to light mode temporarily using the eyeglasses icon at the top of the page. You can help fix these problems; see the official how-to. (September 2024)

En geometría , un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria .

Un politopo complejo puede entenderse como una colección de puntos, líneas, planos, etc. complejos, donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, y así sucesivamente.

Sólo existen definiciones precisas para los politopos complejos regulares, que son configuraciones . Los politopos complejos regulares han sido completamente caracterizados y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .

También se han descrito algunos politopos complejos que no son totalmente regulares.

La línea compleja tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Se dice que al aplicar coordenadas reales a ambas dimensiones se obtienen dos dimensiones sobre los números reales. Un plano real, con el eje imaginario etiquetado como tal, se denomina diagrama de Argand . Por eso, a veces se lo denomina plano complejo. El espacio complejo de 2 dimensiones (también llamado a veces plano complejo) es, por tanto, un espacio de cuatro dimensiones sobre los números reales, y así sucesivamente en dimensiones superiores.${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

Un politopo complejo n en un espacio n complejo es el análogo de un politopo real n en un espacio n real . Sin embargo, no existe un análogo complejo natural del ordenamiento de los puntos en una línea real (ni de las propiedades combinatorias asociadas). Por ello, un politopo complejo no puede verse como una superficie contigua y no limita un interior como lo hace un politopo real.

En el caso de los politopos regulares , se puede hacer una definición precisa utilizando la noción de simetría. Para cualquier politopo regular , el grupo de simetría (aquí un grupo de reflexión complejo , llamado grupo de Shephard ) actúa transitivamente sobre los flags , es decir, sobre las sucesiones anidadas de un punto contenido en una línea contenida en un plano, y así sucesivamente.

De manera más completa, digamos que una colección P de subespacios afines (o planos ) de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si cumple las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}

• para cada −1 ≤ i < j < k ≤ n , si F es un plano en P de dimensión i y H es un plano en P de dimensión k tal que F ⊂ H entonces hay al menos dos planos G en P de dimensión j tales que F ⊂ G ⊂ H ;
• para cada i , j tales que −1 ≤ i < j − 2, j ≤ n , si F ⊂ G son planos de P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G es conexo, en el sentido de que se puede llegar desde cualquier miembro de este conjunto a cualquier otro mediante una secuencia de contenciones; y
• el subconjunto de transformaciones unitarias de V que fijan P son transitivas sobre las banderas F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n de planos de P (con F _i de dimensión i para todo i ).

(Aquí, un plano de dimensión −1 se toma como el conjunto vacío.) Por lo tanto, por definición, los politopos complejos regulares son configuraciones en el espacio unitario complejo.

Los politopos complejos regulares fueron descubiertos por Shephard (1952) y la teoría fue desarrollada posteriormente por Coxeter (1974).

Tres vistas del polígono complejo regular ₄ {4} ₂ ,

Este polígono complejo tiene 8 aristas (líneas complejas), etiquetadas como .. h , y 16 vértices. Cuatro vértices se encuentran en cada arista y dos aristas se intersecan en cada vértice. En la imagen de la izquierda, los cuadrados delineados no son elementos del politopo, sino que se incluyen simplemente para ayudar a identificar los vértices que se encuentran en la misma línea compleja. El perímetro octagonal de la imagen de la izquierda no es un elemento del politopo, sino un polígono de Petrie . [3] En la imagen del medio, cada arista se representa como una línea real y los cuatro vértices de cada línea se pueden ver más claramente.

Un boceto en perspectiva que representa los 16 vértices como grandes puntos negros y las 8 aristas de 4 lados como cuadrados delimitados dentro de cada arista. El camino verde representa el perímetro octogonal de la imagen de la izquierda.

Un politopo complejo existe en el espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo (un plano en el que cada punto tiene dos números complejos como coordenadas, que no debe confundirse con el plano de Argand de números complejos), y las aristas son líneas complejas que existen como subespacios (afines) del plano y se intersecan en los vértices. Por lo tanto, como espacio complejo unidimensional, a una arista se le puede dar su propio sistema de coordenadas, dentro del cual los puntos de la arista están representados cada uno por un solo número complejo. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

En un politopo complejo regular, los vértices incidentes en la arista están dispuestos simétricamente respecto de su centroide , que a menudo se utiliza como el origen del sistema de coordenadas de la arista (en el caso real, el centroide es simplemente el punto medio de la arista). La simetría surge de una reflexión compleja sobre el centroide; esta reflexión dejará la magnitud de cualquier vértice sin cambios, pero cambiará su argumento en una cantidad fija, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en orden. Por lo tanto, podemos suponer (después de una elección adecuada de la escala) que los vértices en la arista satisfacen la ecuación donde p es el número de vértices incidentes. Por lo tanto, en el diagrama de Argand de la arista, los puntos de vértice se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen.${\displaystyle x^{p}-1=0}$

Arriba se ilustran tres proyecciones reales del polígono complejo regular 4{4}2, con aristas a, b, c, d, e, f, g, h . Tiene 16 vértices, que para mayor claridad no se han marcado individualmente. Cada arista tiene cuatro vértices y cada vértice se encuentra sobre dos aristas, por lo tanto, cada arista se encuentra con otras cuatro aristas. En el primer diagrama, cada arista está representada por un cuadrado. Los lados del cuadrado no son partes del polígono, sino que se dibujan simplemente para ayudar a relacionar visualmente los cuatro vértices. Las aristas están dispuestas simétricamente. (Obsérvese que el diagrama parece similar a la proyección del plano de Coxeter B ₄ del teseracto , pero es estructuralmente diferente).

El diagrama central abandona la simetría octogonal en favor de la claridad. Cada arista se muestra como una línea real y cada punto de encuentro de dos líneas es un vértice. La conectividad entre las distintas aristas es evidente.

El último diagrama da una idea de la estructura proyectada en tres dimensiones: los dos cubos de vértices son de hecho del mismo tamaño, pero se ven en perspectiva a diferentes distancias en la cuarta dimensión.

Un politopo unidimensional real existe como un segmento cerrado en la línea real , definido por sus dos puntos finales o vértices en la línea. Su símbolo de Schläfli es {} .${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

De manera análoga, un politopo 1 complejo existe como un conjunto de p puntos de vértice en la línea compleja . Estos pueden representarse como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y )= x + iy . Un politopo regular complejo unidimensional _p {} tiene p ( p ≥ 2) puntos de vértice dispuestos para formar un polígono regular convexo { p } en el plano de Argand. ^[4]${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

A diferencia de los puntos de la línea real, los puntos de la línea compleja no tienen un orden natural. Por lo tanto, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir ningún interior. ^[5] A pesar de esto, los 1-politopos complejos a menudo se dibujan, como aquí, como un polígono regular acotado en el plano de Argand.

Un politopo real regular unidimensional se representa mediante un símbolo de Schläfli vacío {}, o diagrama de Coxeter-Dynkin El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin representa en sí mismo un generador de reflexión, mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en la reflexión, por lo que su imagen reflejada es un punto distinto de sí mismo. Por extensión, un politopo regular complejo unidimensional en tiene diagrama de Coxeter-Dynkin${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ , para cualquier entero positivo p , 2 o mayor, que contenga p vértices. p se puede suprimir si es 2. También se puede representar mediante un símbolo de Schläfli vacío _p {}, } _p {, {} _p o _p {2} ₁ . El 1 es un marcador de posición de notación, que representa una reflexión inexistente o un generador de identidad de período 1. (Un politopo 0, real o complejo es un punto y se representa como } { o ₁ {2} ₁ ).

La simetría se denota mediante el diagrama de Coxeter. , y puede describirse alternativamente en notación de Coxeter como _p [], [] _p o ] _p [, _p [2] ₁ o _p [1] _p . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , orden p . ^[6] Los subgrupos de _p [] son ​​cualquier divisor entero d , _d [], donde d ≥2.

Un generador de operador unitario parase ve como una rotación de 2π/ p radianes en sentido antihorario y unaEl borde se crea mediante aplicaciones secuenciales de una única reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitaria para un 1-politopo con p vértices es e ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p ) . Cuando p = 2, el generador es e ^{π i} = –1, lo mismo que una reflexión puntual en el plano real.

En politopos de mayor complejidad, los politopos 1 forman aristas p . Una arista 2 es similar a una arista real ordinaria, en el sentido de que contiene dos vértices, pero no necesita existir en una línea real.

Mientras que los 1-politopos pueden tener p ilimitados , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de prisma doble _p {4} ₂ , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los apeirógonos regulares infinitos también incluyen elementos de 6 aristas (aristas hexagonales).

Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p ₁ -aristas, con un p ₂ -conjunto como figura de vértice y un grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p ₁ ( g ) p ₂ .

El número de vértices V es entonces g / p ₂ y el número de aristas E es g / p ₁ .

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p ₁ = 4) y dieciséis vértices ( p ₂ = 2). De esto podemos deducir que g = 32, lo que da el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2.

Una notación más moderna _{p 1} { q } _{p 2} se debe a Coxeter , ^[7] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es _{p 1} [ q ] _{p 2} .

El grupo de simetría _{p 1} [ q ] _{p 2} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

Para ₄ [4] ₂ tiene R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Para ₃ [5] ₃ tiene R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Coxeter también generalizó el uso de los diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo _p { q } _r se representa mediantey el grupo de simetría equivalente, _p [ q ] _r , es un diagrama sin anilloLos nodos p y r representan espejos que producen imágenes p y r en el plano. Los nodos sin etiquetar en un diagrama tienen etiquetas 2 implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es ₂ { q } ₂ o { q } o.

Una limitación: los nodos conectados por órdenes de ramificación impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no es así, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos.yson ordinarios, mientrasEstá estrellado.

Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono complejo regular, _p { q } _r o${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, tiene p -aristas y r -figuras de vértices gonales . _p { q } _r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q -2).

Su simetría se escribe como _p [ q ] _r , llamado grupo de Shephard , análogo a un grupo de Coxeter , aunque también permite reflexiones unitarias .

Para los grupos no estelares, el orden del grupo _p [ q ] _r se puede calcular como . ^[9]${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

El número de Coxeter para _p [ q ] _r es , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal.${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:

Grupo	G3 = G( q ,1,1)	G2 = G( p , 1,2)	G 4	G 6	G 5	G 8	G 14	G 9	G10​	G20​	G 16	G21​	G 17	G 18
	2 [ q ] 2 , q =3,4...	p [4] 2 , p =2,3...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
Orden	2 q	2 pág. 2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
yo	q	2 p	6	12			24			30		60

Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [ 5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ y ₃ [11] ₂ .

Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:,,,,, y.

El polígono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un polígono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semisimetría _p [ q ] _p , por lo que un polígono regulares lo mismo que cuasirregular. Además, polígono regular con el mismo orden de nodos,, tienen una construcción alternada, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. ^[10]

El orden de grupo, g , se utiliza para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá g / r vértices y g / p aristas. Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.

El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: ^[11]

Nombre	R1​	R2​
Orden	pag	a
Matriz	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Con

k=${\displaystyle {\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

Ejemplos

Nombre R1​ R2​ Orden pag q Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]}$	Nombre R1​ R2​ Orden pag 2 Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	Nombre R1​ R2​ Orden 3 3 Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]}$
Nombre R1​ R2​ Orden 4 4 Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]}$	Nombre R1​ R2​ Orden 4 2 Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	Nombre R1​ R2​ Orden 3 2 Matriz ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. ^[12]

Grupo	Orden	Número de Coxeter	Polígono		Vértices	Bordes		Notas
G(q,q,2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q=2,3,4,...	2 q	q	2 { q } 2		q	q	{}	Polígonos regulares reales Igual que Lo mismo quesi q aun

Grupo	Orden	Número de Coxeter	Polígono			Vértices	Bordes		Notas
G( p ,1,2) p [4] 2 p=2,3,4,...	2 pág. 2	2 p	pág. (2 pág. 2 )2	pág {4} 2		pág. 2	2 p	pag {}	lo mismo que p {}× p {} o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duoprisma p - p
			2(2 pág. 2 ) pág.	2 {4} p		2 p	pág. 2	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duopirámide p - p
G(2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4		2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	lo mismo que {}×{} o Cuadrado real
G(3,1,2) 3 [4] 2	18	6	6(18)2	3 {4} 2		9	6	3 {}	lo mismo que 3 {}× 3 {} o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duoprisma 3-3
			2(18)3	2 {4} 3		6	9	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duopirámide 3-3
G(4,1,2) 4 [4] 2	32	8	8(32)2	4 {4} 2		16	8	4 {}	lo mismo que 4 {}× 4 {} o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como duoprisma 4-4 o {4,3,3}
			2(32)4	2 {4} 4		8	16	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duopirámide 4-4 o {3,3,4}
G(5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5(50)2	5 {4} 2		25	10	5 {}	lo mismo que 5 {}× 5 {} o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duoprisma 5-5
			2(50)5	2 {4} 5		10	25	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duopirámide 5-5
G(6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6(72)2	6 {4} 2		36	12	6 {}	lo mismo que 6 {}× 6 {} o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duoprisma 6-6
			2(72)6	2 {4} 6		12	36	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Representación como duopirámide 6-6
G 4 = G (1, 1, 2) 3 [3] 3 <2, 3, 3>	24	6	3(24)3	3 {3} 3		8	8	3 {}	Configuración autodual de Möbius-Kantor, igual que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como {3,3,4}
G63 [ 6 ] 2	48	12	3(48)2	3 {6} 2		24	16	3 {}	Lo mismo que
				3 {3} 2					polígono estrellado
			2(48)3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					polígono estrellado
G 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	3 {4} 3		24	24	3 {}	auto-dual, lo mismo que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como {3,4,3}
G84 [ 3 ] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4		24	24	4 {}	auto-dual, lo mismo que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como {3,4,3}
G143 [ 8 ] 2	144	24	3(144)2	3 {8} 2		72	48	3 {}	Lo mismo que
				3 {8/3} 2					polígono estrellado, lo mismo que
			2(144)3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					polígono estrellado
G94 [ 6 ] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2		96	48	4 {}	Lo mismo que
			2(192)4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	polígono estrellado
				2 {3} 4		48	96	{}	polígono estrellado
G10 4 [ 4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					polígono estrellado
		24	3(288)4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					polígono estrellado
G203 [ 5 ] 3	360	30	3(360)3	3 {5} 3		120	120	3 {}	auto-dual, lo mismo que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como {3,3,5}
				3 {5/2} 3					Polígono estrellado autodual
G16 5 [3 ] 5	600	30	5(600)5	5 {3} 5		120	120	5 {}	auto-dual, lo mismo que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$representación como {3,3,5}
		10		5 {5/2} 5					Polígono estrellado autodual
G213 [ 10 ] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2		360	240	3 {}	Lo mismo que
				3 {5} 2					polígono estrellado
				3 {10/3} 2					polígono estrellado, lo mismo que
				3 {5/2} 2					polígono estrellado
			2(720)3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					polígono estrellado
				2 {10/3} 3					polígono estrellado
				2 {5/2} 3					polígono estrellado
G17 5 [6 ] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2		600	240	5 {}	Lo mismo que
		20		5 {5} 2					polígono estrellado
		20		5 {10/3} 2					polígono estrellado
		60		5 {3} 2					polígono estrellado
		60	2(1200)5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					polígono estrellado
		20		2 {10/3} 5					polígono estrellado
		60		2 {3} 5					polígono estrellado
G18 5 [4 ] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					polígono estrellado
		30		5 {3} 3					polígono estrellado
		30		5 {5/2} 3					polígono estrellado
		60	3(1800)5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					polígono estrellado
		30		3 {3} 5					polígono estrellado
		30		3 {5/2} 5					polígono estrellado

Los polígonos de la forma _p {2 r } _q se pueden visualizar mediante q conjuntos de colores de p -aristas. Cada p -arista se ve como un polígono regular, aunque no hay caras.

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos ₂ { r } _q

Los polígonos de la forma ₂ {4} _q se denominan ortoplexos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.

• 
  ₂ {4} ₂ ,, con 4 vértices y 4 aristas
• 
  ₂ {4} ₃ ,, con 6 vértices y 9 aristas ^[13]
• 
  ₂ {4} ₄ ,, con 8 vértices y 16 aristas
• 
  ₂ {4} ₅ ,, con 10 vértices y 25 aristas
• 
  ₂ {4} ₆ ,, con 12 vértices y 36 aristas
• 
  ₂ {4} ₇ ,, con 14 vértices y 49 aristas
• 
  ₂ {4} ₈ ,, con 16 vértices y 64 aristas
• 
  ₂ {4} ₉ ,, con 18 vértices y 81 aristas
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,, con 20 vértices y 100 aristas

Polígonos complejos _p {4} ₂

Los polígonos de la forma _p {4} ₂ se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por p-aristas. Los vértices se dibujan en verde y las p -aristas se dibujan en colores alternos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para las dimensiones impares para mover los vértices superpuestos desde el centro.

• 
  ₂ {4} ₂ ,o, con 4 vértices y 4 aristas de 2 caras
• 
  ₃ {4} ₂ ,o, con 9 vértices y 6 aristas triangulares ^[13]
• 
  ₄ {4} ₂ ,o, con 16 vértices y 8 aristas cuadradas de 4 lados
• 
  ₅ {4} ₂ ,o, con 25 vértices y 10 aristas de 5 lados (pentagonales)
• 
  ₆ {4} ₂ ,o, con 36 vértices y 12 aristas (hexagonales) de 6
• 
  ₇ {4} ₂ ,o, con 49 vértices y 14 aristas (heptagonales) de 7 lados
• 
  ₈ {4} ₂ ,o, con 64 vértices y 16 aristas de 8 caras (octagonales)
• 
  ₉ {4} ₂ ,o, con 81 vértices y 18 aristas de 9 lados (aneogonales)
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,o, con 100 vértices y 20 aristas de 10 (decagonales)

Proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos _p {4} ₂ . Los duales ₂ {4} _p

se ven agregando vértices dentro de los bordes y agregando bordes en lugar de vértices.

• 
  ₃ {4} ₂ , ocon 9 vértices, 6 aristas de 3 lados en 2 conjuntos de colores
• 
  ₂ {4} ₃ ,con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
• 
  ₄ {4} ₂ ,ocon 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 conjuntos de colores y cuadrado relleno de 4 aristas
• 
  ₅ {4} ₂ ,ocon 25 vértices, 10 de 5 aristas en 2 conjuntos de colores

Otros polígonos complejos _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,o, con 24 vértices en negro y 16 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[14]
• 
  ₃ {8} ₂ ,o, con 72 vértices en negro y 48 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[15]

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, _p { r } _p

Los polígonos de la forma _p { r } _p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son autoduales.

• 
  ₃ {3} ₃ ,o, con 8 vértices en negro y 8 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[16]
• 
  ₃ {4} ₃ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 3 lados que se muestran en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno ^[17]
• 
  ₄ {3} ₄ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 4 lados que se muestran en 4 conjuntos de colores ^[17]
• 
  ₃ {5} ₃ ,o, con 120 vértices y 120 3 aristas ^[18]
• 
  ₅ {3} ₅ ,o, con 120 vértices y 120 aristas de 5 puntos ^[19]

En general, un politopo complejo regular se representa por Coxeter como _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... o diagrama de Coxeter..., que tiene simetría _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s ... o.... ^[20]

Existen infinitas familias de politopos complejos regulares que se dan en todas las dimensiones, generalizando los hipercubos y politopos cruzados en el espacio real. El "ortótopo generalizado" de Shephard generaliza el hipercubo; su símbolo es γ.^pn
_​= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂ y diagrama...Su grupo de simetría tiene el diagrama _p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂ ; en la clasificación de Shephard–Todd, este es el grupo G( p , 1, n ) que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", se representa con el símbolo β^pn
_​= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _p y diagrama.... ^[21]

Un politopo complejo regular unidimensional se representa como${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, que tiene p vértices, y su representación real es un polígono regular , { p }. Coxeter también le da el símbolo γ^pág.
₁o β^pág.
₁como hipercubo generalizado unidimensional o politopo cruzado. Su simetría es _p [] o, un grupo cíclico de orden p . En un politopo superior, _p {} orepresenta un elemento de borde p , con un borde 2, {} o, que representa un borde real ordinario entre dos vértices. ^[21]

Un politopo complejo dual se construye intercambiando k y ( n -1- k )-elementos de un n -politopo. Por ejemplo, un polígono complejo dual tiene vértices centrados en cada arista, y las nuevas aristas están centradas en los vértices antiguos. Un vértice de v -valencia crea una nueva arista v , y las aristas e se convierten en vértices de e -valencia. ^[22] El dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo invertido. Los politopos complejos regulares con símbolos simétricos, es decir , _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p , etc. son autoduales .

Coxeter enumeró esta lista de poliedros complejos regulares no estelares en , incluidos los 5 sólidos platónicos en . ^[23]${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Un poliedro complejo regular, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r o, tienecaras,bordes, y figuras de vértice .

Un poliedro regular complejo _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r requiere que tanto g ₁ = order( _p [ n ₁ ] _q ) como g ₂ = order( _q [ n ₂ ] _r ) sean finitos.

Dado g = orden ( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), el número de vértices es g / g ₂ , y el número de caras es g / g ₁ . El número de aristas es g / pr .

Espacio	Grupo	Orden	Número de Coxeter	Polígono		Vértices	Bordes		Caras		Figura de vértice	Polígono de Van Oss	Notas
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3]	24	4	α3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3 }		4	6	{}	4	{3}	{3}	ninguno	Tetraedro real Igual que
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5 ]	120	10	2 {3} 2 {5} 2 = {3,5}		12	30	{}	20	{3}	{5}	ninguno	Icosaedro real
				2 {5} 2 {3} 2 = {5,3}		20	30	{}	12	{5}	{3}	ninguno	Dodecaedro real
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4]	48	6	β2 3= β3 = {3,4}		6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Octaedro real Igual que {}+{}+{}, orden 8 Igual que, orden 24
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$				gamma2 3= γ3 = {4,3}		8	12	{}	6	{4}	{3}	ninguno	Cubo real Igual que {}×{}×{} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	6 pág. 3	3 p	βpág. 3= 2 {3} 2 {4} p		3 p	3 pág. 2	{}	pág. 3	{3}	2 {4} p	2 {4} p	Octaedro generalizado Igual que p {}+ p {}+ p {}, orden p 3 Igual que, orden 6 p 2
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				gammapág. 3= p {4} 2 {3} 2		pág. 3	3 pág. 2	pag {}	3 p	pág {4} 2	{3}	ninguno	Cubo generalizado Igual que p {}× p {}× p {} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	β3 3= 2 {3} 2 {4} 3		9	27	{}	27	{3}	2 {4} 3	2 {4} 3	Igual que 3 {}+ 3 {}+ 3 {}, orden 27 Igual que, orden 54
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				gamma3 3= 3 {4} 2 {3} 2		27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	ninguno	Lo mismo que 3 {}× 3 {}× 3 {} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4	384	12	β4 3= 2 {3} 2 {4} 4		12	48	{}	64	{3}	2 {4} 4	2 {4} 4	Igual que 4 {}+ 4 {}+ 4 {}, orden 64 Igual que, orden 96
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				gamma4 3= 4 {4} 2 {3} 2		64	48	4 {}	12	4 {4} 2	{3}	ninguno	Igual que 4 {}× 4 {}× 4 {} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	15	β5 3= 2 {3} 2 {4} 5		15	75	{}	125	{3}	2 {4} 5	2 {4} 5	Igual que 5 {}+ 5 {}+ 5 {}, orden 125 Igual que, orden 150
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				gamma5 3= 5 {4} 2 {3} 2		125	75	5 {}	15	5 {4} 2	{3}	ninguno	Lo mismo que 5 {}× 5 {}× 5 {} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	18	β6 3= 2 {3} 2 {4} 6		36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	Igual que 6 {}+ 6 ​​{}+ 6 ​​{}, orden 216 Igual que, orden 216
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				gamma6 3= 6 {4} 2 {3} 2		216	108	6 {}	18	6 {4} 2	{3}	ninguno	Igual que 6 {}× 6 {}× 6 {} o
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G25 3 [ 3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3		27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	Lo mismo que. representación como poliedro de Hesse 2 21 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$
	G26 2 [ 4] 3 [3] 3	1296	18	2 {4} 3 {3} 3		54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
				3 {3} 3 {4} 2		72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	Lo mismo que[24] representación como 1 22 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, _p { s } _t { r } _r

• 
  Real {3,3} ,otiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,o, tiene 27 vértices, 72 aristas triples y 27 caras, con una cara resaltada en azul. ^[25]
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃ ,tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, con una cara resaltada en azul. ^[26]
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,o, tiene 72 vértices, 216 3 aristas y 54 vértices, con una cara resaltada en azul. ^[27]

Octaedros generalizados

Los octaedros generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Real {3,4} ,o, con 6 vértices, 12 aristas y 8 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃ ,o, con 9 vértices, 27 aristas y 27 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄ ,o, con 12 vértices, 48 ​​aristas y 64 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅ ,o, con 15 vértices, 75 aristas y 125 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆ ,o, con 18 vértices, 108 aristas y 216 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇ ,o, con 21 vértices, 147 aristas y 343 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈ ,o, con 24 vértices, 192 aristas y 512 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉ ,o, con 27 vértices, 243 aristas y 729 caras
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ ,o, con 30 vértices, 300 aristas y 1000 caras

Cubos generalizados

Los cubos generalizados tienen una construcción regular comoy construcción prismática como, un producto de tres 1-politopos p -gonales. Los elementos son cubos generalizados de menor dimensión.

• 
  Real {4,3} ,otiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ ,otiene 27 vértices, 27 aristas triples y 9 caras ^[25]
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 64 vértices, 48 ​​aristas y 12 caras
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 125 vértices, 75 aristas y 15 caras
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 216 vértices, 108 aristas y 18 caras
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 343 vértices, 147 aristas y 21 caras
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 512 vértices, 192 aristas y 24 caras
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 729 vértices, 243 aristas y 27 caras
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ ,o, con 1000 vértices, 300 aristas y 30 caras

Coxeter enumeró esta lista de 4-politopos complejos regulares no estelares en , incluidos los 6 4-politopos regulares convexos en . ^[23]${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Espacio	Grupo	Orden	Número de Coxeter	Politopo	Vértices	Bordes	Caras	Células	Polígono de Van Oss	Notas
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G(1,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3,3]	120	5	α4 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3,3 }	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	ninguno	5 celdas reales (simplex)
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G 28 2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 = [3,4,3]	1152	12	2 {3} 2 {4} 2 {3} 2 = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Real de 24 celdas
	G 30 2 [3] 2 [3] 2 [5] 2 = [3,3,5]	14400	30	2 {3} 2 {3} 2 {5} 2 = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	600 celdas reales
				2 {5} 2 {3} 2 {3} 2 = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}		120 celdas reales
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G(2,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p = [3,3,4]	384	8	β2 4= β 4 = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	Real 16 celdas Igual que, orden 192
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$				gamma2 4= γ 4 = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	ninguno	Teseracto real Igual que {} 4 o, orden 16
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	24 pág. 4	4 p	βpág. 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4}​	4 p	6 pág. 2 {}	4 pág. 3 {3}	pág. 4 {3,3}	2 {4} p	Ortoplex 4 generalizado Igual que, pedido 24 p 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				gammapág. 4= p {4} 2 {3} 2 {3} 2	pág. 4	4p3p { }​​	6p2p {4} 2​​​	4 págs {4} 2 {3} 2 ​	ninguno	Teseracto generalizado Igual que p {} 4 o, orden p 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	β3 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	Ortoplex 4 generalizado Igual que, orden 648
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				gamma3 4= 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	81	108 3 {}	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	ninguno	Lo mismo que 3 {} 4 o, orden 81
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	β4 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	2 {4} 4	Lo mismo que, orden 1536
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				gamma4 4= 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	ninguno	Lo mismo que 4 {} 4 o, orden 256
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	20	β5 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	Lo mismo que, orden 3000
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				gamma5 4= 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	20 5 {4} 2 {3} 2	ninguno	Lo mismo que 5 {} 4 o, orden 625
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	β6 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	2 {4} 6	Lo mismo que, orden 5184
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				gamma6 4= 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 6 {4} 2 {3} 2	ninguno	Lo mismo que 6 {} 4 o, orden 1296
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G32 3 [ 3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	30	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	Representación politópica de Witting como 4 21 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$