Polígono regular

Polígono regular

Aristas y vértices	${\estilo de visualización n}$
Símbolo de Schläfli	${\estilo de visualización \{n\}}$
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetría	D n , orden 2n
Polígono dual	Auto-dual
Área (con longitud de lado )${\estilo de visualización s}$	${\displaystyle A={\frac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Angulo interno	${\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}$
Suma de ángulos internos	${\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi }}$
Diámetro del círculo inscrito	${\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Diámetro del círculo circunscrito	${\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría euclidiana , un polígono regular es un polígono que es equiangular directo (todos los ángulos tienen la misma medida) y equilátero (todos los lados tienen la misma longitud). Los polígonos regulares pueden ser convexos , estrellados o estriados . En el límite , una secuencia de polígonos regulares con un número creciente de lados se aproxima a un círculo , si el perímetro o área es fijo, o a un apeirógono regular (efectivamente una línea recta ), si la longitud de la arista es fija.

Estas propiedades se aplican a todos los polígonos regulares, ya sean convexos o estrellados .

Un polígono regular de n lados tiene simetría rotacional de orden n .

Todos los vértices de un polígono regular se encuentran en un círculo común (el círculo circunscrito ); es decir, son puntos concíclicos. Es decir, un polígono regular es un polígono cíclico .

Junto con la propiedad de que los lados tienen la misma longitud, esto implica que todo polígono regular también tiene un círculo inscrito o incírculo que es tangente a cada lado en el punto medio. Por lo tanto, un polígono regular es un polígono tangencial .

Un polígono regular de n lados se puede construir con regla y compás si y solo si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos . Véase polígono construible .

Un polígono regular de n lados se puede construir con origami si y solo si para algún , donde cada distinto es un primo de Pierpont . ^[1]${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$${\displaystyle r\in \mathbb {N}}$$estilo de visualización p_{i}}$

El grupo de simetría de un polígono regular de n lados es el grupo diedro D _n (de orden 2 n ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... Está formado por las rotaciones en C _n , junto con la simetría de reflexión en n ejes que pasan por el centro. Si n es par, entonces la mitad de estos ejes pasan por dos vértices opuestos y la otra mitad por el punto medio de lados opuestos. Si n es impar, entonces todos los ejes pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Todos los polígonos regulares simples (un polígono simple es aquel que no se corta a sí mismo en ningún punto) son convexos. Los que tienen el mismo número de lados también son semejantes .

Un polígono regular convexo de n lados se denota por su símbolo de Schläfli { n }. Para n < 3, tenemos dos casos degenerados :

Monógono {1}

Degenerado en el espacio ordinario . (La mayoría de las autoridades no consideran al monógono como un verdadero polígono, en parte debido a esto, y también porque las fórmulas siguientes no funcionan, y su estructura no es la de ningún polígono abstracto .)

Digon {2}; un "segmento de línea doble"

Degenerado en el espacio ordinario . (Algunas autoridades no consideran al dígono como un verdadero polígono debido a esto.)

En ciertos contextos, todos los polígonos considerados serán regulares. En tales circunstancias, se acostumbra a omitir el prefijo regular. Por ejemplo, todas las caras de los poliedros uniformes deben ser regulares y las caras se describirán simplemente como triángulo, cuadrado, pentágono, etc.

Para un n -gono convexo regular , cada ángulo interior tiene una medida de:

${\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}$grados;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$radianes; o

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$vueltas completas ,

y cada ángulo exterior (es decir, suplementario al ángulo interior) tiene una medida de grados, siendo la suma de los ángulos exteriores igual a 360 grados o 2π radianes o una vuelta completa.${\displaystyle {\frac {360}{n}}}$

A medida que n se acerca al infinito, el ángulo interno se acerca a 180 grados. Para un polígono regular con 10.000 lados (un miriágono ), el ángulo interno es 179,964°. A medida que aumenta el número de lados, el ángulo interno puede llegar a ser muy cercano a 180°, y la forma del polígono se acerca a la de un círculo. Sin embargo, el polígono nunca puede convertirse en un círculo. El valor del ángulo interno nunca puede llegar a ser exactamente igual a 180°, ya que la circunferencia se convertiría efectivamente en una línea recta (ver apeirógono ). Por esta razón, un círculo no es un polígono con un número infinito de lados.

Para n > 2, el número de diagonales es ; es decir, 0, 2, 5, 9, ..., para un triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, ... . Las diagonales dividen el polígono en 1, 4, 11, 24, ... piezas OEIS : A007678 .${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

Para un n -gono regular inscrito en un círculo de radio unitario, el producto de las distancias desde un vértice dado a todos los demás vértices (incluidos los vértices adyacentes y los vértices conectados por una diagonal) es igual a n .

Para un n -gono regular simple con radio circunscrito R y distancias d _i desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices, tenemos ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.}$

Para potencias mayores de distancias desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices de un -gono regular , si${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

entonces ^[3]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

y

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

donde es un entero positivo menor que .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Si es la distancia desde un punto arbitrario en el plano hasta el centroide de un -gono regular con radio circunscrito , entonces ^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}}$,

donde = 1, 2, …, .${\displaystyle m}$${\displaystyle n-1}$

Para un n -gono regular, la suma de las distancias perpendiculares desde cualquier punto interior a los n lados es n veces la apotema ^{[4] : p. 72} (la apotema es la distancia desde el centro a cualquier lado). Esta es una generalización del teorema de Viviani para el caso n = 3. ^{[5] [6]}

El circunradio R desde el centro de un polígono regular hasta uno de los vértices está relacionado con la longitud del lado s o con la apotema a por

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

Para los polígonos construibles , existen expresiones algebraicas para estas relaciones (ver Polígono bicéntrico § Polígonos regulares ) .

La suma de las perpendiculares desde los vértices de un n -gono regular a cualquier línea tangente al círculo circunscrito es igual a n veces el radio circunscrito. ^{[4] : p. 73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los vértices de un n -gono regular a cualquier punto de su circunferencia circunscrita es igual a 2 nR ² donde R es el radio circunscrito. ^{[4] : p.73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los puntos medios de los lados de un n -gono regular hasta cualquier punto del círculo circunscrito es 2 nR ² − ⁠1/4⁠ ns ² , donde s es la longitud del lado y R es el radio circunscrito. ^{[4] : pág. 73}

Si son las distancias desde los vértices de un -gono regular a cualquier punto de su circunferencia circunscrita, entonces ^[3]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en o${\displaystyle {\tbinom {m}{2}}}$1/2⁠ m ( m − 1) paralelogramos. Estas teselas están contenidas como subconjuntos de vértices, aristas y caras en proyecciones ortogonales m -cubos . ^[7] En particular, esto es cierto para cualquier polígono regular con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. La lista OEIS : A006245 da el número de soluciones para polígonos más pequeños.

Ejemplos de disecciones para polígonos regulares de lados pares seleccionados

2 metros	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Imagen
Rombos	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

El área A de un polígono regular convexo de n lados que tiene un lado s , un radio circunscrito R , una apotema a y un perímetro p está dada por ^{[8] [9]}

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$

Para polígonos regulares con lado s = 1, radio circunscrito R = 1 o apotema a = 1, esto produce la siguiente tabla: ^[10] ( Dado que como${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$ , el área cuando tiende a como crece).${\displaystyle s=1}$${\displaystyle n^{2}/4\pi }$${\displaystyle n}$

Número de lados	Área cuando el lado s = 1		Área cuando el radio circunscrito R = 1			Área cuando la apotema a = 1
	Exacto	Aproximación	Exacto	Aproximación	Relativo al área del círculo circunscrito	Exacto	Aproximación	Relativo al área del círculo incluido
norte	${\displaystyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$
3	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}}$	0,433012702	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$	1.299038105	0,4134966714	⁠ ⁠${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0,6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1.720477401	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.377641291	0,7568267288	⁠ ⁠${\displaystyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	0,8269933428	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0,8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠ ⁠${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4.828427125	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$	2.828427125	0,9003163160	⁠ ⁠${\displaystyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0,9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7.694208843	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.938926262	0,9354892840	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0,9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠ ⁠${\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11.19615242	3	3.000000000	0,9549296586	⁠ ⁠${\displaystyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0,9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0,9667663859		3.195408642	1.017130161
15	[11]	17.64236291	[12]	3.050524822	0,9710122088	[13]	3.188348426	1.014882824
16	[14]	20.10935797	⁠ ⁠${\displaystyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	3.061467460	0,9744953584	[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0,9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0,9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0,9818729854		3.170539238	1.009213984
20	[16]	31.56875757	[17]	3.090169944	0,9836316430	[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0,9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0,9999934200		3.141602989	1.000003290
10.000		7957746.893		3.141592448	0,9999999345		3.141592757	1.000000033
1.000.000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene el área más grande es regular. ^[19]

Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con compás y regla ; otros polígonos regulares no son construibles en absoluto. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo construir un polígono regular con 3, 4 o 5 lados, ^{[20] : p. xi} y sabían cómo construir un polígono regular con el doble del número de lados de un polígono regular dado. ^{[20] : pp. 49–50} Esto llevó a plantear la pregunta: ¿es posible construir todos los n -gonos regulares con compás y regla? Si no, ¿qué n -gonos son construibles y cuáles no?

Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del polígono regular de 17 polígonos en 1796. Cinco años después, desarrolló la teoría de los periodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de los polígonos regulares:

Se puede construir un n -gono regular con compás y regla si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos (incluido ninguno).

(Un primo de Fermat es un número primo de la forma ) Gauss afirmó sin pruebas que esta condición también era necesaria , pero nunca publicó su prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel .${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

De manera equivalente, un n -gono regular es construible si y sólo si el coseno de su ángulo común es un número construible , es decir, puede escribirse en términos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas.

El cubo contiene un hexágono regular oblicuo , visto como 6 aristas rojas que zigzaguean entre dos planos perpendiculares al eje diagonal del cubo.

Los bordes laterales en zigzag de un antiprisma n representan un n- gono oblicuo regular , como se muestra en este antiprisma 17-gonal .

Un polígono oblicuo regular en el espacio tridimensional puede verse como trayectorias no planas que zigzaguean entre dos planos paralelos, definidos como los bordes laterales de un antiprisma uniforme . Todos los bordes y ángulos internos son iguales.

Los sólidos platónicos (el tetraedro , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro ) tienen polígonos de Petrie, vistos en rojo aquí, con lados 4, 6, 6, 10 y 10 respectivamente.

En términos más generales, los polígonos oblicuos regulares se pueden definir en el espacio n . Algunos ejemplos son los polígonos de Petrie , caminos poligonales de aristas que dividen un politopo regular en dos mitades y que se consideran un polígono regular en proyección ortogonal.

En el límite infinito los polígonos oblicuos regulares se convierten en apeirógonos oblicuos .

Polígonos estrellados regulares

2 < 2q < p, mcd (p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
Símbolo de Schläfli	{p/q}
Vértices y aristas	pag
Densidad	q
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diédrico (D p )
Polígono dual	Auto-dual
Angulo interno ( grados )	${\displaystyle 180-{\frac {360q}{p}}}$[21]

Un polígono regular no convexo es un polígono regular en forma de estrella . El ejemplo más común es el pentagrama , que tiene los mismos vértices que un pentágono , pero conecta vértices alternados.

En el caso de un polígono en estrella de n lados, el símbolo de Schläfli se modifica para indicar la densidad o "cualidad de estrella" m del polígono, como { n / m }. Si m es 2, por ejemplo, entonces se unen cada segundo punto. Si m es 3, entonces se unen cada tercer punto. El límite del polígono gira alrededor del centro m veces.

Las estrellas regulares (no degeneradas) de hasta 12 lados son:

• Pentagrama – {5/2}
• Heptagrama – {7/2} y {7/3}
• Octagrama – {8/3}
• Eneagrama – {9/2} y {9/4}
• Decagramo – {10/3}
• Hendecagrama – {11/2}, {11/3}, {11/4} y {11/5}
• Dodecagrama – {12/5}

m y n deben ser coprimos , o la cifra se degenerará.

Las estrellas regulares degeneradas de hasta 12 lados son:

• Tetrágono – {4/2}
• Hexágonos – {6/2}, {6/3}
• Octágonos – {8/2}, {8/4}
• Eneágono – {9/3}
• Decágonos: {10/2}, {10/4} y {10/5}
• Dodecágonos: {12/2}, {12/3}, {12/4} y {12/6}

Dos interpretaciones de {6/2}

Árbol verde {6/2} o 2{3} [22]	Coxeter 2 {3} o {6}[2{3}]{6}
Hexágono de doble vuelta	Hexagrama como compuesto de dos triángulos

Dependiendo de la derivación precisa del símbolo de Schläfli, existen diferentes opiniones sobre la naturaleza de la figura degenerada. Por ejemplo, {6/2} puede tratarse de dos maneras:

• Durante gran parte del siglo XX (véase por ejemplo Coxeter (1948)), comúnmente hemos tomado el /2 para indicar la unión de cada vértice de un convexo {6} a sus vecinos cercanos a dos pasos de distancia, para obtener el compuesto regular de dos triángulos, o hexagrama .
  Coxeter clarifica este compuesto regular con una notación {kp}[k{p}]{kp} para el compuesto {p/k}, por lo que el hexagrama se representa como {6}[2{3}]{6}. ^[23] De manera más compacta, Coxeter también escribe 2 {n/2}, como 2 {3} para un hexagrama tan compuesto como alternancias de polígonos regulares de lados pares, con cursiva en el factor principal para diferenciarlo de la interpretación coincidente. ^[24]
• Muchos geómetras modernos, como Grünbaum (2003), ^[22] consideran que esto es incorrecto. Toman el /2 para indicar que se mueven dos lugares alrededor del {6} en cada paso, obteniendo un triángulo de "doble vuelta" que tiene dos vértices superpuestos en cada punto de esquina y dos aristas a lo largo de cada segmento de línea. Esto no solo se ajusta mejor a las teorías modernas de politopos abstractos , sino que también copia más de cerca la forma en que Poinsot (1809) creó sus polígonos estrellados: tomando un solo trozo de alambre y doblándolo en puntos sucesivos a través del mismo ángulo hasta que la figura se cerró.

Todos los polígonos regulares son autoduales a la congruencia, y para n impar son autoduales a la identidad.

Además, las figuras estelares regulares (compuestas), al estar formadas por polígonos regulares, también son autoduales.

Un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras, de modo que por cada dos vértices hay una isometría que asigna uno al otro (tal como ocurre en un polígono regular).

Un poliedro cuasirregular es un poliedro uniforme que tiene sólo dos tipos de caras alternadas alrededor de cada vértice.

Un poliedro regular es un poliedro uniforme que tiene un solo tipo de cara.

Los poliedros convexos restantes (no uniformes) con caras regulares se conocen como sólidos de Johnson .

Un poliedro que tiene triángulos regulares como caras se llama deltaedro .

• Teselación euclidiana mediante polígonos regulares convexos
• Sólido platónico
• Lista de politopos regulares y compuestos
• Polígono equilátero
• Círculo de Carlyle

• Lee, Hwa Young; "Números construibles con origami".
• Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares . Methuen and Co.
• Grünbaum, B.; ¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros?, Geometría discreta y computacional: la tesis de Goodman-Pollack , Ed. Aronov et al., Springer (2003), págs. 461–488.
• Poinsot, L .; Memoria sobre los polígonos y poliedres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), págs. 16–48.

• Weisstein, Eric W. "Polígono regular". MathWorld .
• Descripción de polígono regular con animación interactiva
• Circunferencia de un polígono regular con animación interactiva
• Área de un polígono regular Tres fórmulas diferentes, con animación interactiva
• Construcciones de polígonos regulares realizadas por artistas del Renacimiento en Convergencia