Área

Área
Las áreas de este cuadrado y este disco son las mismas.
Símbolos comunes	A o S
Unidad SI	Metro cuadrado [ m2 ]
En unidades base del SI	1  metro cuadrado
Dimensión	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{2}}$

El área es la medida del tamaño de una región en una superficie . El área de una región plana o área plana se refiere al área de una forma o lámina plana , mientras que el área de superficie se refiere al área de una superficie abierta o el límite de un objeto tridimensional . El área puede entenderse como la cantidad de material con un espesor dado que sería necesaria para crear un modelo de la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. ^[1] Es el análogo bidimensional de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o el volumen de un sólido (un concepto tridimensional). Dos regiones diferentes pueden tener la misma área (como en la cuadratura del círculo ); por sinécdoque , "área" a veces se usa para referirse a la región, como en un " área poligonal ".

El área de una forma se puede medir comparándola con cuadrados de un tamaño fijo. ^[2] En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m ² ), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden un metro de largo. ^[3] Una forma con un área de tres metros cuadrados tendría la misma área que tres de esos cuadrados. En matemáticas , el cuadrado unitario se define como que tiene un área de uno, y el área de cualquier otra forma o superficie es un número real adimensional .

Existen varias fórmulas conocidas para las áreas de formas simples, como triángulos , rectángulos y círculos . Con estas fórmulas, se puede encontrar el área de cualquier polígono dividiendo el polígono en triángulos . ^[4] Para las formas con un borde curvo, generalmente se requiere cálculo para calcular el área. De hecho, el problema de determinar el área de figuras planas fue una motivación importante para el desarrollo histórico del cálculo . ^[5]

Para una forma sólida como una esfera , un cono o un cilindro, el área de su superficie límite se denomina área superficial . ^{[1] [6] [7] Los} antiguos griegos calcularon fórmulas para las áreas superficiales de formas simples , pero calcular el área superficial de una forma más complicada generalmente requiere cálculo multivariable .

El área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su obvia importancia en geometría y cálculo, el área está relacionada con la definición de determinantes en álgebra lineal , y es una propiedad básica de las superficies en geometría diferencial . ^[8] En análisis , el área de un subconjunto del plano se define utilizando la medida de Lebesgue , ^[9] aunque no todos los subconjuntos son medibles si se supone el axioma de elección. ^[10] En general, el área en matemáticas superiores se considera un caso especial de volumen para regiones bidimensionales. ^[1]

El área se puede definir mediante el uso de axiomas, definiéndola como una función de un conjunto de ciertas figuras planas respecto del conjunto de los números reales. Se puede demostrar que tal función existe.

Una forma de definir lo que se entiende por "área" es a través de axiomas . "Área" puede definirse como una función de una colección M de tipos especiales de figuras planas (denominadas conjuntos mensurables) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades: ^[11]

• Para todo S en M , a ( S ) ≥ 0 .
• Si S y T están en M entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T , y también a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) .
• Si S y T están en M con S ⊆ T entonces T − S está en M y a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) .
• Si un conjunto S está en M y S es congruente con T entonces T también está en M y a ( S ) = a ( T ) .
• Todo rectángulo R está en M . Si el rectángulo tiene longitud h y ancho k entonces a ( R ) = hk .
• Sea Q un conjunto encerrado entre dos regiones escalonadas S y T . Una región escalonada se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, S ⊆ Q ⊆ T . Si hay un número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas esas regiones escalonadas S y T , entonces a ( Q ) = c .

Se puede demostrar que dicha función de área realmente existe. ^[12]

Cada unidad de longitud tiene una unidad de área correspondiente, es decir, el área de un cuadrado con la longitud de lado dada. Por lo tanto, las áreas se pueden medir en metros cuadrados (m ² ), centímetros cuadrados (cm ² ), milímetros cuadrados (mm ² ), kilómetros cuadrados (km ² ), pies cuadrados (ft ² ), yardas cuadradas (yd ² ), millas cuadradas (mi ² ), y así sucesivamente. ^[13] Algebraicamente, estas unidades pueden considerarse como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.

La unidad de área del SI es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI . ^[3]

El cálculo del área de un cuadrado cuyo largo y ancho son 1 metro sería:

1 metro × 1 metro = 1 m ²

y así, un rectángulo con lados diferentes (digamos de largo 3 metros y ancho 2 metros) tendría un área en unidades cuadradas que se puede calcular como:

3 metros × 2 metros = 6 m ² . Esto equivale a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son:

• 1 kilómetro cuadrado = 1.000.000 de metros cuadrados
• 1 metro cuadrado = 10.000 centímetros cuadrados = 1.000.000 de milímetros cuadrados
• 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

En unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.

1 pie = 12 pulgadas ,

La relación entre pies cuadrados y pulgadas cuadradas es

1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,

donde 144 = 12 ² = 12 × 12. De manera similar:

• 1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados
• 1 milla cuadrada = 3.097.600 yardas cuadradas = 27.878.400 pies cuadrados

Además, los factores de conversión incluyen:

• 1 pulgada cuadrada = 6,4516 centímetros cuadrados
• 1 pie cuadrado = 0,092 903 04 metros cuadrados
• 1 yarda cuadrada = 0,836 127 36 metros cuadrados
• 1 milla cuadrada = 2,589 988 110 336 kilómetros cuadrados

Existen otras unidades comunes para medir el área. El área fue la unidad original de área en el sistema métrico , con:

• 1 área = 100 metros cuadrados

Aunque el área ha caído en desuso, la hectárea todavía se usa comúnmente para medir la tierra: ^[13]

• 1 hectárea = 100 áreas = 10.000 metros cuadrados = 0,01 kilómetros cuadrados

Otras unidades métricas de área poco comunes incluyen la tétrada , la hectada y la miríada .

El acre también se utiliza comúnmente para medir áreas de tierra, donde

• 1 acre = 4,840 yardas cuadradas = 43,560 pies cuadrados.

Un acre es aproximadamente el 40% de una hectárea.

En la escala atómica, el área se mide en unidades de barns , de modo que: ^[13]

• 1 granero = 10 ⁻²⁸ metros cuadrados.

El término granero se utiliza comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear . ^[13]

En el sur de Asia (principalmente en la India), aunque los países utilizan las unidades del SI como unidades oficiales, muchos habitantes del sur de Asia siguen utilizando unidades tradicionales. Cada división administrativa tiene su propia unidad de área, algunas de ellas tienen el mismo nombre, pero con valores diferentes. No existe un consenso oficial sobre los valores de las unidades tradicionales. Por lo tanto, las conversiones entre las unidades del SI y las unidades tradicionales pueden tener resultados diferentes, dependiendo de la referencia que se haya utilizado. ^{[14] [15] [16] [17]}

Algunas unidades tradicionales del sur de Asia que tienen un valor fijo:

• 1 killa = 1 acre
• 1 Ghumaon = 1 acre
• 1 canal = 0,125 acre (1 acre = 8 canales)
• 1 decimal = 48,4 yardas cuadradas
• 1 Chatak = 180 pies cuadrados

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en demostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la luna de Hipócrates , ^[18] pero no identificó la constante de proporcionalidad . Eudoxo de Cnido , también en el siglo V a. C., también descubrió que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado. ^[19]

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides trató la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes utilizó las herramientas de la geometría euclidiana para demostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Medición de un círculo . (La circunferencia es 2 π r , y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da el área π r ² para el disco.) Arquímedes aproximó el valor de π (y, por lo tanto, el área de un círculo de radio unitario) con su método de duplicación , en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para obtener un hexágono regular , luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba cada vez más a la del círculo (e hizo lo mismo con los polígonos circunscritos ).

En el siglo VII d. C., Brahmagupta desarrolló una fórmula, conocida actualmente como fórmula de Brahmagupta , para el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en términos de sus lados. En 1842, los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt encontraron de forma independiente una fórmula, conocida como fórmula de Bretschneider , para el área de cualquier cuadrilátero.

El desarrollo de las coordenadas cartesianas por René Descartes en el siglo XVII permitió el desarrollo de la fórmula del topógrafo para el área de cualquier polígono con ubicaciones de vértices conocidas por Gauss en el siglo XIX.

El desarrollo del cálculo integral a finales del siglo XVII proporcionó herramientas que posteriormente pudieron utilizarse para calcular áreas más complicadas, como el área de una elipse y las áreas de superficie de varios objetos tridimensionales curvos.

Para un polígono no autointersecante ( simple ), cuyas coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) son conocidas , el área viene dada por la fórmula del topógrafo : ^[25]${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

donde cuando i = n -1, entonces i +1 se expresa como módulo n y por lo tanto se refiere a 0.

La fórmula de área más básica es la fórmula del área de un rectángulo . Dado un rectángulo con longitud l y ancho w , la fórmula del área es: ^[2]

A = lw  (rectángulo).

Es decir, el área del rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Como caso especial, como l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con un lado de longitud s viene dada por la fórmula: ^{[1] [2]}

A = s2 ⁽  cuadrado).

La fórmula para el área de un rectángulo se desprende directamente de las propiedades básicas del área y, a veces, se toma como una definición o un axioma . Por otra parte, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética , esta fórmula se puede utilizar para definir la multiplicación de números reales .

La mayoría de las demás fórmulas simples para el área se derivan del método de disección . Este implica cortar una forma en pedazos, cuyas áreas deben sumar el área de la forma original. Por ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapezoide, la figura resultante es un rectángulo. De ello se deduce que el área del paralelogramo es la misma que el área del rectángulo: ^[2]

A = bh  (paralelogramo).

Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse por una diagonal en dos triángulos congruentes , como se muestra en la figura de la derecha. De ello se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo: ^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  (triángulo).

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapezoide ^[26] así como para polígonos más complicados . ^[27]

La fórmula para el área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco ) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r , es posible dividir el círculo en sectores , como se muestra en la figura de la derecha. Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por lo tanto, el área total del círculo es π r ² : ^[2]

A = π r ²  (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error se hace cada vez más pequeño a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente π r ² , que es el área del círculo. ^[28]

Este argumento es en realidad una aplicación sencilla de las ideas del cálculo . En la antigüedad, el método de exhaución se utilizaba de forma similar para hallar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como precursor del cálculo integral . Con métodos modernos, el área de un círculo se puede calcular utilizando una integral definida :

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

La fórmula para el área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semiejes mayor y semieje menor x e y la fórmula es: ^[2]

${\displaystyle A=\pi xy.}$

La mayoría de las fórmulas básicas para el área de superficie se pueden obtener cortando superficies y aplanándolas (ver: superficies desarrollables ). Por ejemplo, si la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma ) se corta longitudinalmente, la superficie se puede aplanar hasta formar un rectángulo. De manera similar, si se hace un corte a lo largo del costado de un cono , la superficie lateral se puede aplanar hasta formar un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula para el área de la superficie de una esfera es más difícil de obtener: debido a que una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero , no se puede aplanar. La fórmula para el área de la superficie de una esfera fue obtenida por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro . La fórmula es: ^[6]

A = 4 πr ²  (esfera),

donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza inherentemente métodos similares al cálculo .

• Un triángulo : (donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea en la que se encuentra B hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si se conoce la altura h . Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede utilizar la fórmula de Heron : donde a , b , c son los lados del triángulo y es la mitad de su perímetro. ^[2] Si se dan un ángulo y sus dos lados incluidos, el área es donde C es el ángulo dado y a y b son sus lados incluidos. ^[2] Si el triángulo se grafica en un plano de coordenadas, se puede utilizar una matriz y se simplifica al valor absoluto de . Esta fórmula también se conoce como la fórmula del cordón y es una forma fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x ₁ ,y ₁ ) , (x ₂ ,y ₂ ) y (x ₃ ,y ₃ ) . La fórmula del cordón también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• Un polígono simple construido sobre una cuadrícula de puntos equidistantes (es decir, puntos con coordenadas enteras ) de manera que todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: , donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick . ^[29]${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores a y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, está dada por la integral de a a b de la función que representa la curva: ^[1]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• El área entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función , f ( x ), menos la integral de la otra función, g ( x ):

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$¿Dónde está la curva con el mayor valor y?${\displaystyle f(x)}$

• Un área delimitada por una función expresada en coordenadas polares es: ^[1]${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• El área encerrada por una curva paramétrica con puntos finales está dada por las integrales de línea :${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

o el componente z de

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Para más detalles, véase el teorema de Green § Cálculo del área ). Este es el principio del dispositivo mecánico planímetro .

Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas , primero restamos una de la otra, escribiendo la diferencia como donde f ( x ) es el límite superior cuadrático y g ( x ) es el límite inferior cuadrático. Por las fórmulas de integral de área anteriores y la fórmula de Vieta , podemos obtener que ^{[30] [31]} Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones límite es lineal en lugar de cuadrática.$${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$$$${\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$$

• Cono : ^[32] , donde r es el radio de la base circular y h es la altura. Esto también se puede reescribir como ^[32] o donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono. es el área de la base mientras que es el área de la superficie lateral del cono. ^[32]${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle \pi rl}$
• Cubo : , donde s es la longitud de una arista. ^[6]${\displaystyle 6s^{2}}$
• Cilindro : , donde r es el radio de una base y h es la altura. También se puede reescribir como , donde d es el diámetro.${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$${\displaystyle 2\pi r}$${\displaystyle \pi d}$
• Prisma : , donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base y h es la altura del prisma.${\displaystyle 2B+Ph}$
• pirámide : , donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base y L es la longitud de la inclinación.${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• Prisma rectangular : , donde es la longitud, w es el ancho y h es la altura.${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$${\displaystyle \ell }$

La fórmula general para el área de superficie de la gráfica de una función continuamente diferenciable donde y es una región en el plano xy con el límite suave:${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

Una fórmula aún más general para el área del gráfico de una superficie paramétrica en forma vectorial donde es una función vectorial continuamente diferenciable de es: ^[8]${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

Fórmulas comunes adicionales para el área:

Forma	Fórmula	Variables
Cuadrado	${\displaystyle A=s^{2}}$
Rectángulo	${\displaystyle A=ab}$
Triángulo	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh\,\!}$
Triángulo	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!}$
Triángulo ( Fórmula de Herón )	${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
Triángulo isósceles	${\displaystyle A={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
Triángulo regular ( triángulo equilátero )	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
Rombo / Cometa	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}de}$
Paralelogramo	${\displaystyle A=ah_{a}\,\!}$
Trapecio	${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!}$
Hexágono regular	${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Octágono regular	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Polígono regular ( lados)${\displaystyle n}$	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle p=na\ }$( perímetro ) radio del círculo radio del círculo ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle r:}$ ${\displaystyle R:}$
Círculo	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$ ( diámetro )${\displaystyle d=2r:}$
Sector circular	${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}$
Elipse	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
Integral	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
	Área de superficie
Esfera	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
Cuboides	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
Cilindro (incl. parte inferior y superior)	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
Cono (incl. fondo)	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
Toro	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Superficie de revolución	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$ (rotación alrededor del eje x)

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes .

Las áreas de polígonos irregulares (y por lo tanto arbitrarios) se pueden calcular utilizando la " fórmula del agrimensor " (fórmula del cordón de zapato). ^[28]

La desigualdad isoperimétrica establece que, para una curva cerrada de longitud L (por lo que la región que encierra tiene perímetro L ) y para el área A de la región que encierra,

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

y la igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo . Por lo tanto, un círculo tiene el área más grande de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.

En el otro extremo, una figura con un perímetro dado L podría tener un área arbitrariamente pequeña, como lo ilustra un rombo que está "inclinado" arbitrariamente de modo que dos de sus ángulos están arbitrariamente cerca de 0° y los otros dos están arbitrariamente cerca de 180°.

En el caso de un círculo, la relación entre el área y la circunferencia (el término que designa el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r . Esto se puede ver en la fórmula del área πr ² y la fórmula de la circunferencia 2 πr .

El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicado por la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto más cercano de cualquier lado).

Al duplicar las longitudes de los lados de un polígono se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y la del antiguo) elevado a la segunda potencia (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Pero si se duplican todas las longitudes unidimensionales de un fractal dibujado en dos dimensiones, el contenido espacial del fractal aumenta en una potencia de dos que no es necesariamente un número entero. Esta potencia se denomina dimensión fractal del fractal. ^[33]

Hay una infinidad de líneas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellas son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y son concurrentes en el baricentro del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices de área que pasan por el baricentro. Cualquier línea que pase por un triángulo y divida tanto el área como el perímetro del triángulo por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia inscrita ). Hay una, dos o tres de estas para cualquier triángulo dado.

Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área.

Todas las bisectrices de un círculo o de otra elipse pasan por el centro, y cualquier cuerda que pase por el centro biseca el área. En el caso de un círculo, son los diámetros del círculo.

Dado un contorno de alambre, la superficie que lo abarca ("rellena") con el menor área es una superficie mínima . Ejemplos conocidos son las burbujas de jabón .

La cuestión del área de llenado del círculo de Riemann permanece abierta. ^[34]

El círculo tiene el área más grande de cualquier objeto bidimensional que tenga el mismo perímetro.

Un polígono cíclico (inscrito en un círculo) tiene el área más grande de cualquier polígono con un número dado de lados de la misma longitud.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos aquellos con un perímetro dado es equilátero . ^[35]

El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado es equilátero. ^[36]

La relación entre el área del círculo inscrito y el área de un triángulo equilátero, , es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero. ^[37]${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

La relación entre el área y el cuadrado del perímetro de un triángulo equilátero es mayor que la de cualquier otro triángulo. ^[35]${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

• Cuadrilátero de Brahmagupta , un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteras y área entera.
• Mapa equiáreo
• Triángulo heroniano , triángulo con lados enteros y área entera.
• Lista de desigualdades triangulares
• Triángulo de área un séptimo , un triángulo interior con un séptimo del área del triángulo de referencia.

• Teorema de Routh , una generalización del triángulo de área un séptimo.

• Órdenes de magnitud : una lista de áreas por tamaño.
• Derivación de la fórmula de un pentágono
• Planímetro , instrumento para medir áreas pequeñas, por ejemplo en mapas.
• Área de un cuadrilátero convexo
• Pentágono de Robbins , un pentágono cíclico cuyos lados y áreas son todos números racionales.