Lógica modal

La lógica modal es un tipo de lógica que se utiliza para representar afirmaciones sobre la necesidad y la posibilidad . Desempeña un papel importante en la filosofía y campos relacionados como herramienta para comprender conceptos como el conocimiento , la obligación y la causalidad . Por ejemplo, en la lógica modal epistémica , la fórmula se puede utilizar para representar la afirmación de que se sabe. En la lógica modal deóntica , esa misma fórmula puede representar que es una obligación moral. La lógica modal considera las inferencias a las que dan lugar las afirmaciones modales. Por ejemplo, la mayoría de las lógicas modales epistémicas tratan la fórmula como una tautología , que representa el principio de que solo las afirmaciones verdaderas pueden contar como conocimiento. Sin embargo, esta fórmula no es una tautología en la lógica modal deóntica, ya que lo que debería ser cierto puede ser falso.${\displaystyle \Cuadro P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Cuadro P\rightarrow P}$

Las lógicas modales son sistemas formales que incluyen operadores unarios como y , que representan posibilidad y necesidad respectivamente. Por ejemplo, la fórmula modal puede leerse como "posiblemente ", mientras que puede leerse como "necesariamente ". En la semántica relacional estándar para la lógica modal, a las fórmulas se les asignan valores de verdad relativos a un mundo posible . El valor de verdad de una fórmula en un mundo posible puede depender de los valores de verdad de otras fórmulas en otros mundos posibles accesibles . En particular, es verdadero en un mundo si es verdadero en algún mundo posible accesible, mientras que es verdadero en un mundo si es verdadero en todo mundo posible accesible. Existe una variedad de sistemas de prueba que son sólidos y completos con respecto a la semántica que se obtiene al restringir la relación de accesibilidad. Por ejemplo, la lógica modal deóntica D es sólida y completa si se requiere que la relación de accesibilidad sea serial .${\displaystyle \Diamante}$${\displaystyle \Cuadro}$${\displaystyle \Diamante P}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Cuadro P}$${\estilo de visualización P}$ ${\displaystyle \Diamante P}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \Cuadro P}$${\estilo de visualización P}$

Si bien la intuición detrás de la lógica modal se remonta a la antigüedad, los primeros sistemas axiomáticos modales fueron desarrollados por CI Lewis en 1912. La semántica relacional, ahora estándar, surgió a mediados del siglo XX a partir del trabajo de Arthur Prior , Jaakko Hintikka y Saul Kripke . Los desarrollos recientes incluyen semánticas topológicas alternativas , como la semántica de vecindad , así como aplicaciones de la semántica relacional más allá de su motivación filosófica original. ^[1] Tales aplicaciones incluyen la teoría de juegos , ^{[2] la teoría} moral y legal , ^[2] el diseño web , ^[2] la teoría de conjuntos basada en multiversos , ^[3] y la epistemología social . ^[4]

La lógica modal se diferencia de otros tipos de lógica en que utiliza operadores modales como y . El primero se lee convencionalmente en voz alta como "necesariamente", y se puede utilizar para representar nociones como obligación moral o legal , conocimiento , inevitabilidad histórica , entre otras. El último se lee típicamente como "posiblemente" y se puede utilizar para representar nociones como permiso , capacidad , compatibilidad con evidencia . Si bien las fórmulas bien formadas de la lógica modal incluyen fórmulas no modales como , también contiene fórmulas modales como , , , etc. ${\displaystyle \Cuadro}$${\displaystyle \Diamante}$${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle \Caja (P\land Q)}$${\displaystyle P\land\Caja Q}$${\displaystyle \Box (\Diamante P\land \Diamante Q)}$

Así, el lenguaje de la lógica proposicional básica puede definirse recursivamente de la siguiente manera.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. Si es una fórmula atómica, entonces es una fórmula de .${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
2. Si es una fórmula de , entonces también lo es.${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\estilo de visualización\neg\phi}$
3. Si y son fórmulas de , entonces es también.${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \phi \land \psi }$
4. Si es una fórmula de , entonces también lo es.${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Diamante \phi }$
5. Si es una fórmula de , entonces también lo es.${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \Cuadro \phi}$

Los operadores modales se pueden agregar a otros tipos de lógica introduciendo reglas análogas a las n.° 4 y n.° 5 anteriores. La lógica de predicados modales es una variante ampliamente utilizada que incluye fórmulas como . En sistemas de lógica modal donde y son duales , se puede tomar como una abreviatura de , eliminando así la necesidad de una regla sintáctica separada para introducirlo. Sin embargo, se necesitan reglas sintácticas separadas en sistemas donde los dos operadores no son interdefinibles.${\displaystyle \para todo x\Diamante P(x)}$${\displaystyle \Cuadro}$${\displaystyle \Diamante}$${\displaystyle \Cuadro \phi}$${\displaystyle \neg \Diamond \neg \phi }$

Las variantes de notación más comunes incluyen símbolos como y en sistemas de lógica modal utilizados para representar conocimiento y y en aquellos utilizados para representar creencias. Estas notaciones son particularmente comunes en sistemas que utilizan múltiples operadores modales simultáneamente. Por ejemplo, una lógica epistémica-deóntica combinada podría utilizar la fórmula que se lee como "Sé que P está permitido". Los sistemas de lógica modal pueden incluir una cantidad infinita de operadores modales que se distinguen por índices, es decir , , , , etc.${\estilo de visualización [K]}$${\displaystyle \langle K\rangle }$${\estilo de visualización [B]}$${\displaystyle \langle B\rangle }$${\displaystyle [K]\langle D\rangle P}$${\displaystyle \Cuadro _{1}}$${\displaystyle \Cuadro _{2}}$${\displaystyle \Cuadro _{3}}$

La semántica estándar para la lógica modal se denomina semántica relacional . En este enfoque, la verdad de una fórmula se determina en relación con un punto que a menudo se denomina mundo posible . Para una fórmula que contiene un operador modal, su valor de verdad puede depender de lo que es cierto en otros mundos accesibles . Por lo tanto, la semántica relacional interpreta fórmulas de lógica modal utilizando modelos definidos de la siguiente manera. ^[5]

• Un modelo relacional es una tupla donde:${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle }$

1. ${\estilo de visualización W}$es un conjunto de mundos posibles
2. ${\estilo de visualización R}$es una relación binaria en${\estilo de visualización W}$
3. ${\estilo de visualización V}$es una función de valoración que asigna un valor de verdad a cada par de una fórmula atómica y un mundo (es decir, donde es el conjunto de fórmulas atómicas)${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$${\estilo de visualización F}$

El conjunto se denomina a menudo universo . La relación binaria se denomina relación de accesibilidad y controla qué mundos pueden "verse" entre sí con el fin de determinar qué es verdadero. Por ejemplo, significa que el mundo es accesible desde el mundo . Es decir, el estado de cosas conocido como es una posibilidad viva para . Por último, la función se conoce como función de valoración. Determina qué fórmulas atómicas son verdaderas en qué mundos.${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización wRu}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización V}$

Luego definimos recursivamente la verdad de una fórmula en un mundo en un modelo :${\estilo de visualización w}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\modelos P}$si y solo si${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\modelos \neg P}$si y solo si${\displaystyle w\no \modelos P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\modelos (P\wedge Q)}$si y solo si${\displaystyle w\modelos P}$${\displaystyle w\modelos Q}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\modelos \Box P}$si y solo si para cada elemento de , entonces${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización wRu}$${\displaystyle u\modelos P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamante P}$si y solo si para algún elemento de , se cumple que y${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización W}$${\estilo de visualización wRu}$${\displaystyle u\modelos P}$

Según esta semántica, una fórmula es necesaria con respecto a un mundo si se cumple en cada mundo accesible desde . Es posible si se cumple en algún mundo accesible desde . La posibilidad depende, por tanto, de la relación de accesibilidad , que nos permite expresar la naturaleza relativa de la posibilidad. Por ejemplo, podríamos decir que dadas nuestras leyes de la física no es posible que los humanos viajen más rápido que la velocidad de la luz, pero que dadas otras circunstancias podría haber sido posible hacerlo. Usando la relación de accesibilidad podemos traducir este escenario de la siguiente manera: En todos los mundos accesibles a nuestro propio mundo, no es el caso de que los humanos puedan viajar más rápido que la velocidad de la luz, sino que en uno de estos mundos accesibles hay otro mundo accesible desde esos mundos pero no accesible desde el nuestro en el que los humanos pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz.${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización R}$

La elección de la relación de accesibilidad por sí sola puede ser suficiente a veces para garantizar la verdad o falsedad de una fórmula. Por ejemplo, considere un modelo cuya relación de accesibilidad es reflexiva . Como la relación es reflexiva, tendremos eso para cualquier independientemente de qué función de valoración se utilice. Por esta razón, los lógicos modales a veces hablan de marcos , que son la parte de un modelo relacional que excluye la función de valoración.${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\modelos P\rightarrow \Diamante P}$${\displaystyle w\in G}$

• Un marco relacional es un par donde es un conjunto de mundos posibles, es una relación binaria en .${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle }$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización G}$

Los diferentes sistemas de lógica modal se definen mediante condiciones marco . Un marco se denomina:

• reflexivo si w R w , para cada w en G
• simétrico si w R u implica u R w , para todo w y u en G
• transitivo si w R u y u R q juntos implican w R q , para todo w , u , q en G .
• serial si, para cada w en G existe algún u en G tal que w R u .
• Euclidiana si, para cada u , t y w , w R u y w R t implica u R t (por simetría, también implica t R u , así como t R t y u R u )

Las lógicas que se derivan de estas condiciones marco son:

• K  := sin condiciones
• D  := serie
• T  := reflexivo
• B  := reflexivo y simétrico
• S4  := reflexivo y transitivo
• S5  := reflexiva y euclidiana

La propiedad euclidiana junto con la reflexividad produce simetría y transitividad. (La propiedad euclidiana también se puede obtener a partir de la simetría y la transitividad). Por lo tanto, si la relación de accesibilidad R es reflexiva y euclidiana, R es demostrablemente simétrica y transitiva también. Por lo tanto, para los modelos de S5, R es una relación de equivalencia , porque R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Podemos demostrar que estos marcos producen el mismo conjunto de oraciones válidas que los marcos donde todos los mundos pueden ver todos los demás mundos de W ( es decir , donde R es una relación "total"). Esto da el gráfico modal correspondiente que es totalmente completo ( es decir , no se pueden agregar más aristas (relaciones)). Por ejemplo, en cualquier lógica modal basada en condiciones de marco:

${\displaystyle w\modelos \Diamond P}$si y sólo si para algún elemento u de G , se cumple que y w R u .${\displaystyle u\modelos P}$

Si consideramos los marcos basados ​​en la relación total, podemos decir simplemente que

${\displaystyle w\modelos \Diamond P}$si y sólo si para algún elemento u de G , se cumple que .${\displaystyle u\modelos P}$

Podemos eliminar la cláusula de accesibilidad de la última estipulación porque en tales marcos totales es trivialmente cierto para todos los w y u que w R u . Pero esto no tiene por qué ser así en todos los marcos S5, que aún pueden constar de múltiples partes que están completamente conectadas entre sí pero aún desconectadas entre sí.

Todos estos sistemas lógicos también pueden definirse axiomáticamente, como se muestra en la siguiente sección. Por ejemplo, en S5, los axiomas , y (que corresponden a la simetría , la transitividad y la reflexividad , respectivamente) son válidos, mientras que al menos uno de estos axiomas no es válido en cada una de las otras lógicas más débiles.${\displaystyle P\implica \Caja \Rombo P}$${\displaystyle \Caja P\implica \Caja \Caja P}$${\displaystyle \Box P\implica P}$

La lógica modal también se ha interpretado utilizando estructuras topológicas. Por ejemplo, la semántica interior interpreta las fórmulas de la lógica modal de la siguiente manera.

Un modelo topológico es una tupla donde es un espacio topológico y es una función de valoración que asigna cada fórmula atómica a un subconjunto de . La semántica interior básica interpreta las fórmulas de la lógica modal de la siguiente manera:${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau,V\rangle }$${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos P}$si y solo si${\displaystyle x\en V(P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos \neg \phi}$si y solo si${\displaystyle \mathrm {X} ,x\no \modelos \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos \phi \land \chi}$si y solo si${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos \phi}$${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos \chi}$
• ${\displaystyle \mathrm {X},x\modelos \Box \phi}$Si para algunos tenemos ambos , y también eso para todos.${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle x\en U}$${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$${\displaystyle y\en U}$

Los enfoques topológicos incorporan los relacionales, lo que permite lógicas modales no normales . La estructura adicional que proporcionan también permite una forma transparente de modelar ciertos conceptos, como la evidencia o la justificación que uno tiene para sus creencias. La semántica topológica se utiliza ampliamente en trabajos recientes en epistemología formal y tiene antecedentes en trabajos anteriores, como las lógicas para contrafácticos de David Lewis y Angelika Kratzer .

Las primeras formalizaciones de la lógica modal fueron axiomáticas . Desde que C. I. Lewis comenzó a trabajar en el área en 1912, se han propuesto numerosas variaciones con propiedades muy diferentes. Hughes y Cresswell (1996), por ejemplo, describen 42 lógicas modales normales y 25 no normales. Zeman (1973) describe algunos sistemas que Hughes y Cresswell omiten.

Los tratamientos modernos de la lógica modal comienzan ampliando el cálculo proposicional con dos operaciones unarias, una que denota "necesidad" y la otra "posibilidad". La notación de CI Lewis , muy empleada desde entonces, denota "necesariamente p " mediante un "cuadro" prefijado (□ p ) cuyo alcance se establece mediante paréntesis. Del mismo modo, un "rombo" prefijado (◇ p ) denota "posiblemente p ". De manera similar a los cuantificadores en la lógica de primer orden , "necesariamente p " (□ p ) no supone que el rango de cuantificación (el conjunto de mundos posibles accesibles en la semántica de Kripke ) no esté vacío, mientras que "posiblemente p " (◇ p ) a menudo supone implícitamente (es decir, que el conjunto de mundos posibles accesibles no está vacío). Independientemente de la notación, cada uno de estos operadores es definible en términos del otro en la lógica modal clásica:${\displaystyle\Diamante\arriba}$

• □ p (necesariamente p ) es equivalente a ¬◇¬ p ("no es posible que no- p ")
• ◇ p (posiblemente p ) es equivalente a ¬□¬ p ("no necesariamente no- p ")

Por lo tanto, □ y ◇ forman un par dual de operadores.

En muchas lógicas modales, los operadores de necesidad y posibilidad satisfacen los siguientes análogos de las leyes de De Morgan del álgebra de Boole :

"No es necesario que X " es lógicamente equivalente a "Es posible que no X ".

"No es posible que X " es lógicamente equivalente a "Es necesario que no X ".

Precisamente qué axiomas y reglas deben añadirse al cálculo proposicional para crear un sistema utilizable de lógica modal es una cuestión de opinión filosófica, a menudo impulsada por los teoremas que uno desea demostrar; o, en informática, es una cuestión de qué tipo de sistema computacional o deductivo uno desea modelar. Muchas lógicas modales, conocidas colectivamente como lógicas modales normales , incluyen la siguiente regla y axioma:

• N , Regla de Necesidad : Si p es un teorema / tautología (de cualquier sistema/modelo que invoque N ), entonces □ p es igualmente un teorema (es decir, ).${\displaystyle (\modelos p)\implies (\modelos \Box p)}$
• K , Axioma de distribución : □( p → q ) → (□ p → □ q ).

La lógica modal normal más débil , llamada " K " en honor a Saul Kripke , es simplemente el cálculo proposicional aumentado por □, la regla N y el axioma K. K es débil en el sentido de que no logra determinar si una proposición puede ser necesaria , sino solo contingentemente necesaria. Es decir, no es un teorema de K que si □ p es verdadero entonces □□ p es verdadero, es decir, que las verdades necesarias son "necesariamente necesarias". Si tales perplejidades se consideran forzadas y artificiales, este defecto de K no es grande. En cualquier caso, diferentes respuestas a tales preguntas producen diferentes sistemas de lógica modal.

La adición de axiomas a K da lugar a otros sistemas modales bien conocidos. No se puede probar en K que si " p es necesario" entonces p es verdadero. El axioma T remedia este defecto:

• T , Axioma de reflexividad : □ p → p (Si p es necesario, entonces p es el caso).

T se cumple en la mayoría de las lógicas modales, pero no en todas. Zeman (1973) describe algunas excepciones, como S1 ⁰ .

Otros axiomas elementales bien conocidos son:

• 4 :${\displaystyle \Caja p\to \Caja \Caja p}$
• B :${\displaystyle p\to \Caja \Diamante p}$
• D :${\displaystyle \Cuadro p\to \Rombo p}$
• 5 :${\displaystyle \Diamante p\to \Caja \Diamante p}$

Estos producen los sistemas (axiomas en negrita, sistemas en cursiva):

• K  := K + N
• T  := K + T
• S4  := T + 4
• S5  := T + 5
• D  := K + D .

K a S5 forman una jerarquía anidada de sistemas, que constituyen el núcleo de la lógica modal normal . Pero reglas específicas o conjuntos de reglas pueden ser apropiados para sistemas específicos. Por ejemplo, en lógica deóntica , (Si debería ser que p , entonces se permite que p ) parece apropiado, pero probablemente no deberíamos incluir que . De hecho, hacerlo es cometer la falacia naturalista (es decir, afirmar que lo que es natural también es bueno, al decir que si p es el caso, p debería ser permitido).${\displaystyle \Cuadro p\to \Rombo p}$${\displaystyle p\to \Caja \Diamante p}$

El sistema S5, que se emplea habitualmente , simplemente hace que todas las verdades modales sean necesarias. Por ejemplo, si p es posible, entonces es "necesario" que p sea posible. Asimismo, si p es necesario, entonces es necesario que p sea necesario. Se han formulado otros sistemas de lógica modal, en parte porque S5 no describe todos los tipos de modalidades de interés.

Se han desarrollado cálculos secuenciales y sistemas de deducción natural para varias lógicas modales, pero ha resultado difícil combinar la generalidad con otras características esperadas de buenas teorías de prueba estructural , como la pureza (la teoría de la prueba no introduce nociones extralógicas como etiquetas) y la analiticidad (las reglas lógicas respaldan una noción clara de prueba analítica ). Se han aplicado cálculos más complejos a la lógica modal para lograr generalidad. ^{[ cita requerida ]}

Las tablas analíticas proporcionan el método de decisión más popular para las lógicas modales. ^[6]

Las modalidades de necesidad y posibilidad se denominan modalidades aléticas . También se las denomina a veces modalidades especiales , del latín " species" . La lógica modal se desarrolló primero para tratar estos conceptos, y sólo después se extendió a otros. Por esta razón, o quizás por su familiaridad y simplicidad, la necesidad y la posibilidad se tratan a menudo de manera informal como el objeto de estudio de la lógica modal. Además, es más fácil comprender la relativización de la necesidad, por ejemplo, en términos legales, físicos, nomológicos , epistémicos , etc., que comprender la relativización de otras nociones.

En la lógica modal clásica , se dice que una proposición es

• posible si no es necesariamente falso (independientemente de si es realmente verdadero o realmente falso);
• necesario si no es posiblemente falso (es decir, verdadero y necesariamente verdadero);
• contingente si no es necesariamente falso ni necesariamente verdadero (es decir, posible pero no necesariamente verdadero);
• imposible si no es posiblemente verdadero (es decir, falso y necesariamente falso).

En la lógica modal clásica, por lo tanto, la noción de posibilidad o necesidad puede considerarse básica, definiéndose estas otras nociones en función de ella a la manera de la dualidad de De Morgan . La lógica modal intuicionista trata la posibilidad y la necesidad como no perfectamente simétricas.

Por ejemplo, supongamos que mientras caminamos hacia la tienda de conveniencia pasamos por la casa de Friedrich y observamos que las luces están apagadas. Al regresar, observamos que están encendidas.

• "Alguien o algo encendió las luces" es necesario .
• "Friedrich encendió las luces", "Max, el compañero de habitación de Friedrich, encendió las luces" y "Un ladrón llamado Adolf entró en la casa de Friedrich y encendió las luces" son contingentes .
• Todas las afirmaciones anteriores son posibles .
• Es imposible que Sócrates (que murió hace más de dos mil años) encendiera las luces.

(Por supuesto, esta analogía no aplica la modalidad alética de una manera verdaderamente rigurosa; para que lo hiciera, tendría que hacer axiomáticamente declaraciones como "los seres humanos no pueden resucitar de entre los muertos", "Sócrates era un ser humano y no un vampiro inmortal", y "no tomamos drogas alucinógenas que nos hicieron creer falsamente que las luces estaban encendidas", ad infinitum . La certeza absoluta de verdad o falsedad existe solo en el sentido de conceptos abstractos construidos lógicamente como "es imposible dibujar un triángulo con cuatro lados" y "todos los solteros son solteros").

Para quienes tienen dificultades con el concepto de que algo es posible pero no verdadero, el significado de estos términos puede hacerse más comprensible si se piensa en múltiples "mundos posibles" (en el sentido de Leibniz ) o "universos alternativos"; algo "necesario" es verdadero en todos los mundos posibles, algo "posible" es verdadero en al menos un mundo posible. Estas "semánticas de mundos posibles" se formalizan con la semántica de Kripke .

Algo es física o nómicamente posible si lo permiten las leyes de la física . ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, se cree que la teoría actual permite que exista un átomo con un número atómico de 126, ^[7] incluso si no existen tales átomos. Por el contrario, si bien es lógicamente posible acelerar más allá de la velocidad de la luz , ^[8] la ciencia moderna estipula que no es físicamente posible para las partículas materiales o la información. ^[9]

Los filósofos ^{[ ¿quiénes? ]} debaten si los objetos tienen propiedades independientes de las que dictan las leyes científicas. Por ejemplo, podría ser metafísicamente necesario, como han pensado algunos defensores del fisicalismo , que todos los seres pensantes tengan cuerpos ^[10] y puedan experimentar el paso del tiempo . Saul Kripke ha sostenido que cada persona tiene necesariamente los padres que tiene: cualquiera que tuviera padres diferentes no sería la misma persona. ^[11]

Se ha pensado que la posibilidad metafísica es más restrictiva que la pura posibilidad lógica ^[12] (es decir, hay menos cosas metafísicamente posibles que lógicamente posibles). Sin embargo, su relación exacta (si la hay) con la posibilidad lógica o con la posibilidad física es un tema de disputa. Los filósofos ^{[¿ quiénes? ]} también están en desacuerdo sobre si las verdades metafísicas son necesarias simplemente "por definición", o si reflejan algunos hechos profundos subyacentes sobre el mundo, o algo completamente distinto.

Las modalidades epistémicas (del griego episteme , conocimiento) se ocupan de la certeza de las oraciones. El operador □ se traduce como "x tiene la certeza de que...", y el operador ◇ se traduce como "Para todo lo que x sabe, puede ser cierto que...". En el lenguaje corriente, las modalidades metafísicas y epistémicas suelen expresarse con palabras similares; los siguientes contrastes pueden resultar de ayuda:

Una persona, Jones, podría decir razonablemente ambas cosas : (1) "No, no es posible que Bigfoot exista; estoy bastante seguro de eso"; y , (2) "Seguro, es posible que los Bigfoot puedan existir". Lo que Jones quiere decir con (1) es que, dada toda la información disponible, no queda ninguna duda sobre si Bigfoot existe. Esta es una afirmación epistémica. Con (2) hace la afirmación metafísica de que es posible que Bigfoot exista, aunque no exista : no hay ninguna razón física o biológica para que criaturas grandes, bípedas, sin plumas y con pelo espeso no puedan existir en los bosques de América del Norte (independientemente de si existen o no). De manera similar, "es posible que la persona que lee esta oración mida catorce pies de alto y se llame Chad" es metafísicamente cierto (esa persona no se vería impedida de alguna manera de hacerlo debido a su altura y nombre), pero no es aléticamente cierto a menos que coincida con esa descripción, y no es epistémicamente cierto si se sabe que los seres humanos de catorce pies de alto nunca han existido.

Desde la otra dirección, Jones podría decir: (3) "Es posible que la conjetura de Goldbach sea verdadera; pero también es posible que sea falsa", y también (4) "si es verdadera, entonces es necesariamente verdadera, y no posiblemente falsa". Aquí Jones quiere decir que es epistémicamente posible que sea verdadera o falsa, por todo lo que sabe (no se ha demostrado que la conjetura de Goldbach sea verdadera o falsa), pero si hay una prueba (hasta ahora no descubierta), entonces mostraría que no es lógicamente posible que la conjetura de Goldbach sea falsa: no podría haber ningún conjunto de números que la viole. La posibilidad lógica es una forma de posibilidad alética ; (4) afirma si es posible (es decir, lógicamente hablando) que una verdad matemática haya sido falsa, pero (3) solo afirma si es posible, por todo lo que Jones sabe (es decir, hablando de certeza) que la afirmación matemática sea específicamente verdadera o falsa, y por lo tanto, nuevamente Jones no se contradice. Vale la pena observar que Jones no tiene necesariamente razón: es posible (epistémicamente) que la conjetura de Goldbach sea a la vez verdadera e indemostrable.

Las posibilidades epistémicas también afectan al mundo real de una manera que no lo hacen las posibilidades metafísicas. Las posibilidades metafísicas afectan a las maneras en que el mundo podría haber sido, pero las posibilidades epistémicas afectan a la manera en que el mundo puede ser (por lo que sabemos). Supongamos, por ejemplo, que quiero saber si debo llevar o no un paraguas antes de salir. Si me dices "es posible que esté lloviendo afuera" -en el sentido de posibilidad epistémica-, eso influiría en si llevo o no el paraguas. Pero si simplemente me dices "es posible que llueva afuera" -en el sentido de posibilidad metafísica- , entonces no me beneficia este poco de iluminación modal.

Algunas características de la lógica modal epistémica están en debate. Por ejemplo, si x sabe que p , ¿ sabe x que sabe que p ? Es decir, ¿debería ser □ P → □□ P un axioma en estos sistemas? Si bien la respuesta a esta pregunta no está clara, ^[13] hay al menos un axioma que generalmente se incluye en la lógica modal epistémica, porque es mínimamente cierto para todas las lógicas modales normales (ver la sección sobre sistemas axiomáticos):

• K , Axioma de distribución : .${\displaystyle \Caja (p\a q)\a (\Caja p\a \Caja q)}$

Se ha cuestionado si las modalidades epistémica y alética deben considerarse distintas entre sí. La crítica afirma que no hay una diferencia real entre “la verdad en el mundo” (alética) y “la verdad en la mente de un individuo” (epistémica). ^[14] Una investigación no ha encontrado un solo idioma en el que las modalidades alética y epistémica se distingan formalmente, como por medio de un modo gramatical . ^[15]

La lógica temporal es un enfoque de la semántica de expresiones con tiempo , es decir, expresiones con calificaciones de cuándo. Algunas expresiones, como '2 + 2 = 4', son verdaderas en todo momento, mientras que las expresiones con tiempo, como 'Juan está feliz', solo son verdaderas algunas veces.

En lógica temporal, las construcciones de tiempo se tratan en términos de modalidades, donde un método estándar para formalizar el habla del tiempo es usar dos pares de operadores, uno para el pasado y otro para el futuro (P simplemente significará 'es actualmente el caso que P'). Por ejemplo:

F P  : A veces ocurrirá que P

G P  : Siempre será el caso que P

P P  : En algún momento ocurrió que P

H P  : Siempre ha sido así que P

Existen entonces al menos tres lógicas modales que podemos desarrollar. Por ejemplo, podemos estipular que:

${\displaystyle \Diamante P}$= P es el caso en algún momento t

${\displaystyle \Cuadro P}$= P es el caso en cada momento t

O podemos intercambiar estos operadores para que trabajen únicamente con el futuro (o el pasado). Por ejemplo,

${\displaystyle \Diamante _{1}P}$= F.P.​

${\displaystyle \Box _{1}P}$= GP​

o,

${\displaystyle \Diamante _{2}P}$= P y/o F P

${\displaystyle \Box _{2}P}$= P y G P

Los operadores F y G pueden parecer extraños en un principio, pero crean sistemas modales normales . F P es lo mismo que ¬ G ¬ P. Podemos combinar los operadores anteriores para formar enunciados complejos. Por ejemplo, P P → □ P P dice (efectivamente), Todo lo que es pasado y verdadero es necesario .

Parece razonable decir que es posible que llueva mañana y es posible que no; por otra parte, puesto que no podemos cambiar el pasado, si es cierto que ayer llovió, no puede ser cierto que ayer no haya llovido. Parece que el pasado está "fijo", o es necesario, de un modo en que el futuro no lo está. A esto a veces se le llama necesidad accidental . Pero si el pasado está "fijo", y todo lo que está en el futuro acabará estando en el pasado, entonces parece plausible decir que los acontecimientos futuros también son necesarios.

De manera similar, el problema de los contingentes futuros considera la semántica de las afirmaciones sobre el futuro: ¿es verdadera alguna de las proposiciones “Mañana habrá una batalla naval” o “Mañana no habrá una batalla naval”? La consideración de esta tesis llevó a Aristóteles a rechazar el principio de bivalencia para las afirmaciones sobre el futuro.

Los operadores binarios adicionales también son relevantes para las lógicas temporales (ver Lógica temporal lineal ).

Se pueden utilizar versiones de la lógica temporal en informática para modelar operaciones informáticas y demostrar teoremas sobre ellas. En una versión, ◇ P significa "en un momento futuro del cómputo es posible que el estado del ordenador sea tal que P sea verdadero"; □ P significa "en todos los momentos futuros del cómputo P será verdadero". En otra versión, ◇ P significa "en el siguiente estado inmediato del cómputo, P podría ser verdadero"; □ P significa "en el siguiente estado inmediato del cómputo, P será verdadero". Estas se diferencian en la elección de la relación de accesibilidad . (P siempre significa "P es verdadero en el estado actual del ordenador"). Estos dos ejemplos implican cálculos no deterministas o no totalmente comprendidos; hay muchas otras lógicas modales especializadas en diferentes tipos de análisis de programas. Cada una de ellas conduce naturalmente a axiomas ligeramente diferentes.

De la misma manera, hablar de moralidad, o de obligación y normas en general, parece tener una estructura modal. La diferencia entre “Debes hacer esto” y “Puedes hacer esto” se parece mucho a la diferencia entre “Esto es necesario” y “Esto es posible”. Esas lógicas se denominan deónticas , del griego “deber”.

Las lógicas deónticas carecen comúnmente del axioma T que corresponde semánticamente a la reflexividad de la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke : en símbolos, . Interpretando □ como "es obligatorio que", T dice informalmente que toda obligación es verdadera. Por ejemplo, si es obligatorio no matar a otros (es decir, matar está moralmente prohibido), entonces T implica que las personas en realidad no matan a otras. El consecuente es obviamente falso.${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

En cambio, utilizando la semántica de Kripke , decimos que aunque nuestro propio mundo no realiza todas las obligaciones, los mundos accesibles a él sí lo hacen (es decir, T se cumple en estos mundos). Estos mundos se denominan mundos idealizados . P es obligatorio con respecto a nuestro propio mundo si se cumple P en todos los mundos idealizados accesibles a nuestro mundo . Aunque esta fue una de las primeras interpretaciones de la semántica formal, recientemente ha sido objeto de críticas. ^[16]

Otro principio que se acepta a menudo (al menos tradicionalmente) como principio deóntico es D , que corresponde a la serialidad (o extensibilidad o ilimitación) de la relación de accesibilidad. Es una materialización de la idea kantiana de que "deber implica poder". (Es evidente que el "poder" puede interpretarse en varios sentidos, por ejemplo, en un sentido moral o alético).${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

Cuando tratamos de formalizar la ética con la lógica modal estándar, nos topamos con algunos problemas. Supongamos que tenemos una proposición K : has robado algo de dinero, y otra, Q : has robado una pequeña cantidad de dinero. Ahora supongamos que queremos expresar la idea de que "si has robado algo de dinero, debería ser una pequeña cantidad de dinero". Hay dos candidatos probables,

(1)${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

(2)${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

Pero (1) y K juntas implican □ Q , lo que dice que debería ser el caso de que usted haya robado una pequeña cantidad de dinero. Esto seguramente no es correcto, porque usted no debería haber robado nada en absoluto. Y (2) tampoco funciona: si la representación correcta de "si usted ha robado algo de dinero, debería ser una pequeña cantidad" es (2), entonces la representación correcta de (3) "si usted ha robado algo de dinero, entonces debería ser una gran cantidad" es . Ahora supongamos (como parece razonable) que usted no debería robar nada, o . Pero entonces podemos deducir mediante y (el contrapositivo de ); por lo que la oración (3) se sigue de nuestra hipótesis (por supuesto, la misma lógica muestra la oración (2)). Pero eso no puede ser correcto, y no lo es cuando usamos lenguaje natural. Decirle a alguien que no debería robar ciertamente no implica que deba robar grandes cantidades de dinero si comete un robo. ^[17]${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box \lnot K}$${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$${\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$${\displaystyle Q\to K}$

La lógica doxástica se ocupa de la lógica de la creencia (de un conjunto de agentes). El término doxástico se deriva del griego antiguo doxa , que significa "creencia". Normalmente, una lógica doxástica utiliza □, a menudo escrito "B", para significar "Se cree que", o cuando se relaciona con un agente en particular, "Se cree que s".

En la interpretación más común de la lógica modal, se consideran " mundos lógicamente posibles ". Si una afirmación es verdadera en todos los mundos posibles , entonces es una verdad necesaria. Si una afirmación es verdadera en nuestro mundo, pero no lo es en todos los mundos posibles, entonces es una verdad contingente. Una afirmación que es verdadera en algún mundo posible (no necesariamente el nuestro) se llama verdad posible.

Bajo este “idioma de los mundos posibles”, para sostener que la existencia de Bigfoot es posible pero no real, se dice: “Hay un mundo posible en el que Bigfoot existe; pero en el mundo real, Bigfoot no existe”. Sin embargo, no está claro a qué nos compromete esta afirmación. ¿Realmente estamos alegando la existencia de mundos posibles, tan reales como nuestro mundo real, pero no reales? Saul Kripke cree que “mundo posible” es algo así como un nombre inapropiado, que el término “mundo posible” es solo una forma útil de visualizar el concepto de posibilidad. ^[18] Para él, las oraciones “podrías haber sacado un 4 en lugar de un 6” y “hay un mundo posible en el que sacaste un 4, pero sacaste un 6 en el mundo real” no son afirmaciones significativamente diferentes, y ninguna nos compromete con la existencia de un mundo posible. ^[19] David Lewis , por otra parte, se hizo famoso por su postura de no arriesgarse, afirmando que todos los mundos meramente posibles son tan reales como el nuestro, y que lo que distingue a nuestro mundo como real es simplemente que es, de hecho, nuestro mundo: este mundo. ^[20] Esa posición es un principio fundamental del " realismo modal ". Algunos filósofos se niegan a respaldar cualquier versión del realismo modal, considerándola ontológicamente extravagante, y prefieren buscar diversas formas de parafrasear estos compromisos ontológicos. Robert Adams sostiene que es mejor pensar en los "mundos posibles" como "historias del mundo" o conjuntos consistentes de proposiciones. Por lo tanto, es posible que haya sacado un 4 si tal estado de cosas puede describirse de manera coherente. ^[21]

Los informáticos suelen elegir una interpretación muy específica de los operadores modales especializados en el tipo particular de cálculo que se analiza. En lugar de "todos los mundos", se puede decir "todos los posibles próximos estados del ordenador" o "todos los posibles estados futuros del ordenador".

Las lógicas modales han comenzado a utilizarse en áreas de las humanidades como la literatura, la poesía, el arte y la historia. ^{[22] [23]} En la filosofía de la religión , las lógicas modales se utilizan comúnmente en los argumentos a favor de la existencia de Dios . ^[24]

Las ideas básicas de la lógica modal se remontan a la antigüedad. Aristóteles desarrolló una silogística modal en el Libro I de sus Analíticos Priores (cap. 8-22), que Teofrasto intentó mejorar. ^[25] También hay pasajes en la obra de Aristóteles, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione §9, que ahora se consideran anticipaciones de la conexión de la lógica modal con la potencialidad y el tiempo. En el período helenístico, los lógicos Diodoro Cronos , Filón el dialéctico y el estoico Crisipo desarrollaron cada uno un sistema modal que explicaba la interdefinibilidad de la posibilidad y la necesidad, aceptaron el axioma T (ver más abajo) y combinaron elementos de la lógica modal y la lógica temporal en intentos de resolver el notorio Argumento Maestro . ^[26] El primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena , quien finalmente desarrolló una teoría de la silogística " temporalmente modal". ^[27] La ​​lógica modal como tema autoconsciente debe mucho a los escritos de los escolásticos , en particular Guillermo de Ockham y Juan Duns Escoto , quienes razonaron informalmente de manera modal, principalmente para analizar enunciados sobre la esencia y el accidente .

En el siglo XIX, Hugh MacColl hizo contribuciones innovadoras a la lógica modal, pero no encontró mucho reconocimiento. ^[28] CI Lewis fundó la lógica modal moderna en una serie de artículos académicos que comenzaron en 1912 con "Implicación y el álgebra de la lógica". ^{[29] [30]} Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , sobre la base de que la lógica clásica otorga paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . ^[31] Este trabajo culminó en su libro de 1932 Lógica simbólica (con CH Langford ), ^[32] que introdujo los cinco sistemas S1 a S5 .

Después de Lewis, la lógica modal recibió poca atención durante varias décadas. Nicholas Rescher ha argumentado que esto se debió a que Bertrand Russell la rechazó. ^[33] Sin embargo, Jan Dejnozka ha argumentado en contra de esta visión, afirmando que un sistema modal que Dejnozka llama "MDL" se describe en las obras de Russell, aunque Russell creía que el concepto de modalidad "proviene de confundir proposiciones con funciones proposicionales ", como escribió en El análisis de la materia . ^[34]

Ruth C. Barcan (posteriormente Ruth Barcan Marcus ) desarrolló los primeros sistemas axiomáticos de lógica modal cuantificada: extensiones de primer y segundo orden de S2 , S4 y S5 de Lewis . ^{[35] [36] [37]} Arthur Norman Prior le advirtió que se preparara bien para los debates sobre lógica modal cuantificada con Willard Van Orman Quine , debido a su sesgo en contra de la lógica modal. ^[38]

La era contemporánea de la semántica modal comenzó en 1959, cuando Saul Kripke (que entonces tenía tan solo 18 años y estudiaba en la Universidad de Harvard ) introdujo la semántica de Kripke, ahora estándar, para la lógica modal. Estas se conocen comúnmente como semántica de "mundos posibles". Kripke y AN Prior ya habían mantenido una correspondencia extensa. La semántica de Kripke es básicamente simple, pero las demostraciones se facilitan utilizando tablas semánticas o tablas analíticas , como explicó EW Beth .

AN Prior creó la lógica temporal moderna , estrechamente relacionada con la lógica modal, en 1957 al agregar los operadores modales [F] y [P] que significan "eventualmente" y "previamente". Vaughan Pratt introdujo la lógica dinámica en 1976. En 1977, Amir Pnueli propuso usar la lógica temporal para formalizar el comportamiento de programas concurrentes que operan continuamente . Los tipos de lógica temporal incluyen la lógica dinámica proposicional (PDL), la lógica temporal lineal ( ^{proposicional} ) (LTL), la lógica de árbol de cómputo (CTL), la lógica de Hennessy-Milner y la lógica T. ^{[ aclaración necesaria} ]

La estructura matemática de la lógica modal, es decir, las álgebras de Boole aumentadas con operaciones unarias (a menudo llamadas álgebras modales ), comenzó a surgir con la prueba de JCC McKinsey de 1941 de que S2 y S4 son decidibles, ^[39] y alcanzó su pleno apogeo en el trabajo de Alfred Tarski y su estudiante Bjarni Jónsson (Jónsson y Tarski 1951-52). Este trabajo reveló que S4 y S5 son modelos del álgebra interior , una extensión adecuada del álgebra de Boole diseñada originalmente para capturar las propiedades de los operadores interiores y de clausura de la topología . Los textos sobre lógica modal normalmente hacen poco más que mencionar sus conexiones con el estudio de las álgebras de Boole y la topología . Para un estudio exhaustivo de la historia de la lógica modal formal y de las matemáticas asociadas, véase Robert Goldblatt (2006). ^[40]

• Este artículo incluye material del Diccionario gratuito en línea de informática , utilizado con permiso bajo la GFDL .
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• S4prover Un probador de tablas para lógica S4
• "Algunas observaciones sobre lógica y topología" – por Richard Moot; expone una semántica topológica para la lógica modal S4.
• LoTREC El demostrador más genérico para lógicas modales del IRIT/Universidad de Toulouse