Equivalencia lógica

En lógica y matemáticas , se dice que las afirmaciones y son lógicamente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en cada modelo . ^[1] La equivalencia lógica de y a veces se expresa como , , , o , dependiendo de la notación que se utilice. Sin embargo, estos símbolos también se utilizan para la equivalencia material , por lo que la interpretación adecuada dependería del contexto. La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material, aunque los dos conceptos están intrínsecamente relacionados.${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle p\equiv q}$${\estilo de visualización p::q}$${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$${\displaystyle p\iff q}$

En lógica, existen muchas equivalencias lógicas comunes que suelen enumerarse como leyes o propiedades. Las siguientes tablas ilustran algunas de ellas.

Equivalencia	Nombre
${\displaystyle p\cuña \superior \equiv p}$ ${\displaystyle p\vee \bot \equiv p}$	Leyes de identidad
${\displaystyle p\vee\top\equiv\top}$ ${\displaystyle p\wedge\bot\equiv\bot}$	Leyes de dominación
${\displaystyle p\vee p\equiv p}$ ${\displaystyle p\cuña p\equiv p}$	Leyes idempotentes o tautológicas
${\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}$	Ley de doble negación
${\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ ${\displaystyle p\cuña q\equiv q\cuña p}$	Leyes conmutativas
${\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}$ ${\displaystyle (p\cuña q)\cuña r\equiv p\cuña (q\cuña r)}$	Leyes asociativas
${\displaystyle p\vee(q\wedge r)\equiv(p\vee q)\wedge(p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Leyes distributivas
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Leyes de De Morgan
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Leyes de absorción
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Leyes de negación

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q\equiv p\oplus q}$

Donde representa XOR .${\displaystyle \oplus }$

Las siguientes afirmaciones son lógicamente equivalentes:

1. Si Lisa está en Dinamarca , entonces está en Europa (una declaración del formato ).${\displaystyle d\implies e}$
2. Si Lisa no está en Europa, entonces no está en Dinamarca (una declaración en el formato ).${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$

Sintácticamente, (1) y (2) son derivables entre sí mediante las reglas de contraposición y doble negación . Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas exactamente en los mismos modelos (interpretaciones, valoraciones); es decir, aquellos en los que o bien Lisa está en Dinamarca es falso o bien Lisa está en Europa es verdadero.

(Tenga en cuenta que en este ejemplo, se supone la lógica clásica . Algunas lógicas no clásicas no consideran que (1) y (2) sean lógicamente equivalentes).

La equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. Las fórmulas y son lógicamente equivalentes si y sólo si el enunciado de su equivalencia material ( ) es una tautología. ^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

La equivalencia material de y (que a menudo se escribe como ) es en sí misma otra afirmación en el mismo lenguaje objeto que y . Esta afirmación expresa la idea "' si y sólo si '". En particular, el valor de verdad de puede cambiar de un modelo a otro.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

Por otra parte, la afirmación de que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es una afirmación en metalenguaje , que expresa una relación entre dos afirmaciones y . Las afirmaciones son lógicamente equivalentes si, en cada modelo, tienen el mismo valor de verdad.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• Vinculación
• Equisatisfacibilidad
• Si y sólo si
• Bicondicional lógico
• Igualdad lógica
• ≡ el símbolo iff (U+2261 IDÉNTICO A )
• ∷ el símbolo a es a b como c es a d (U+2237 PROPORCIÓN )
• ⇔ el bicondicional doblemente golpeado (U+21D4 FLECHA DOBLE IZQUIERDA DERECHA )
• ↔ la flecha bidireccional (U+2194 FLECHA IZQUIERDA DERECHA )