Lógica modal normal

En lógica , una lógica modal normal es un conjunto L de fórmulas modales tales que L contiene:

• Todas las tautologías proposicionales ;
• Todas las instancias del esquema Kripke :${\displaystyle \Caja (A\a B)\a (\Caja A\a \Caja B)}$

y queda cerrado bajo:

• Regla de separación ( modus ponens ): implica ;${\displaystyle A\a B,A\en L}$${\estilo de visualización B\en L}$
• Regla de necesidad: implica .${\displaystyle A\en L}$${\displaystyle \Cuadro A\en L}$

La lógica más pequeña que satisface las condiciones anteriores se llama K . La mayoría de las lógicas modales que se usan comúnmente en la actualidad (en términos de tener motivaciones filosóficas), por ejemplo, S4 y S5 de CI Lewis , son normales (y, por lo tanto, son extensiones de K ). Sin embargo, varias lógicas deónticas y epistémicas , por ejemplo, no son normales, a menudo porque abandonan el esquema de Kripke.

Toda lógica modal normal es regular y por lo tanto clásica .

La siguiente tabla enumera varios sistemas modales normales comunes. La notación se refiere a la tabla que se encuentra en Kripke semantics § Common modal axiom schemata . Las condiciones marco para algunos de los sistemas se simplificaron: las lógicas son sólidas y completas con respecto a las clases de marcos dadas en la tabla, pero pueden corresponder a una clase más grande de marcos.

Nombre	Axiomas	Estado del marco
K	—	Todos los marcos
yo	yo	reflexivo
K4	4	transitivo
S4	T, 4	hacer un pedido
S5	T, 5 o D, B, 4	relación de equivalencia
S4.3	T, 4, H	Pedido anticipado total
S4.1	T, 4, M	hacer un pedido,${\displaystyle \para todo w\,\existe u\,(w\,R\,u\land \para todo v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))}$
S4.2	T, 4, sol	pedido anticipado dirigido
GL , K4W	GL o 4, GL	orden parcial estricto finito
Gracias, S4Grz	Grz o T, 4, Grz	orden parcial finito
D	D	de serie
D45	D, 4, 5	transitiva, serial y euclidiana

• Alexander Chagrov y Michael Zakharyaschev, Modal Logic , vol. 35 de Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.

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