Axioma

Un axioma , postulado o suposición es una afirmación que se toma como verdadera , para servir como premisa o punto de partida para razonamientos y argumentos posteriores. La palabra proviene del griego antiguo ἀξίωμα ( axíōma ), que significa 'aquello que se considera digno o adecuado' o 'aquello que se recomienda como evidente'. ^{[1] [2]}

La definición precisa varía según los campos de estudio. En la filosofía clásica , un axioma es una afirmación tan evidente o bien establecida que se acepta sin controversia ni cuestionamiento. ^{[3] En} la lógica moderna , un axioma es una premisa o punto de partida para el razonamiento. ^[4]

En matemáticas , un axioma puede ser un "axioma lógico" o un "axioma no lógico". Los axiomas lógicos se consideran verdaderos dentro del sistema de lógica que definen y a menudo se muestran en forma simbólica (por ejemplo, ( A y B ) implica A ), mientras que los axiomas no lógicos son afirmaciones sustantivas sobre los elementos del dominio de una teoría matemática específica, por ejemplo a  + 0 =  a en aritmética de números enteros.

Los axiomas no lógicos también pueden denominarse "postulados", "suposiciones" o "axiomas propios". ^[5] En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en la deducción para construir una teoría matemática, y puede o no ser evidente por naturaleza (por ejemplo, el postulado de las paralelas en la geometría euclidiana ). Axiomatizar un sistema de conocimiento es mostrar que sus afirmaciones pueden derivarse de un pequeño conjunto de oraciones bien entendidas (los axiomas), y normalmente hay muchas formas de axiomatizar un dominio matemático dado.

Todo axioma es un enunciado que sirve como punto de partida del cual se derivan lógicamente otros enunciados. Si tiene sentido (y, en caso afirmativo, qué significa) que un axioma sea "verdadero" es un tema de debate en la filosofía de las matemáticas . ^[6]

La palabra axioma proviene del griego ἀξίωμα ( axíōma ), un sustantivo verbal del verbo ἀξιόειν ( axioein ), que significa «considerar digno», pero también «requerir», que a su vez proviene de ἄξιος ( áxios ), que significa «estar en equilibrio», y por lo tanto «tener (el mismo) valor (que)», «digno», «adecuado». Entre los filósofos y matemáticos griegos antiguos , los axiomas se consideraban proposiciones inmediatamente evidentes, fundamentales y comunes a muchos campos de investigación, y evidentemente verdaderas sin ningún argumento o prueba adicional. ^[7]

El significado raíz de la palabra postulado es "exigir"; por ejemplo, Euclides exige que uno acepte que algunas cosas pueden hacerse (por ejemplo, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una línea recta). ^[8]

Los geómetras antiguos mantenían cierta distinción entre axiomas y postulados. Al comentar los libros de Euclides, Proclo señala que « Gémino sostenía que este [cuarto] postulado no debía clasificarse como postulado sino como axioma, puesto que no afirma, como los tres primeros postulados, la posibilidad de alguna construcción sino que expresa una propiedad esencial». ^[9] Boecio tradujo «postulado» como petitio y llamó a los axiomas notiones communes, pero en manuscritos posteriores este uso no siempre se mantuvo estrictamente. ^{[ cita requerida ]}

El método lógico-deductivo, por el cual las conclusiones (nuevos conocimientos) se siguen de las premisas (antiguos conocimientos) mediante la aplicación de argumentos sólidos ( silogismos , reglas de inferencia ), fue desarrollado por los antiguos griegos y se ha convertido en el principio central de las matemáticas modernas. Excluidas las tautologías , nada se puede deducir si no se supone nada. Los axiomas y postulados son, por lo tanto, los supuestos básicos que subyacen a un cuerpo dado de conocimiento deductivo. Se aceptan sin demostración. Todas las demás afirmaciones ( teoremas , en el caso de las matemáticas) deben probarse con la ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado desde la antigüedad hasta la actualidad y, en consecuencia, los términos axioma y postulado tienen un significado ligeramente diferente para el matemático actual que para Aristóteles y Euclides . ^[7]

Los antiguos griegos consideraban la geometría como una ciencia más entre varias y consideraban que los teoremas de la geometría eran equivalentes a los hechos científicos. Por ello, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo como medio para evitar errores y para estructurar y comunicar el conocimiento. El análisis posterior de Aristóteles es una exposición definitiva de la visión clásica. ^{[ cita requerida ]}

Un "axioma", en la terminología clásica, se refería a una suposición evidente y común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que:

Cuando a dos cosas iguales se les quita una cantidad igual, el resultado es una cantidad igual.

En la base de las distintas ciencias se encuentran ciertas hipótesis adicionales que se aceptan sin pruebas. Esas hipótesis se denominan postulados . Si bien los axiomas son comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia en particular son diferentes. Su validez debe establecerse mediante la experiencia del mundo real. Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no puede comunicarse con éxito si el alumno duda de la verdad de los postulados. ^[10]

El enfoque clásico está bien ilustrado ^[a] por los Elementos de Euclides , donde se da una lista de postulados (hechos geométricos de sentido común extraídos de nuestra experiencia), seguidos de una lista de "nociones comunes" (afirmaciones muy básicas y evidentes).

Postulados

1. Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
2. Es posible extender un segmento de línea continuamente en ambas direcciones.
3. Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Es cierto que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. (" Postulado de las paralelas ") Es cierto que, si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan en aquel lado cuyos ángulos son menores que los dos rectos.

Nociones comunes

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí.
2. Si se suman números iguales a números iguales, los totales son iguales.
3. Si se restan números iguales de números iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Una lección que han aprendido las matemáticas en los últimos 150 años es que resulta útil despojar de significado a las afirmaciones matemáticas (axiomas, postulados, proposiciones , teoremas) y definiciones. Hay que admitir la necesidad de nociones primitivas , o términos o conceptos indefinidos, en cualquier estudio. Tal abstracción o formalización hace que el conocimiento matemático sea más general, capaz de múltiples significados diferentes y, por lo tanto, útil en múltiples contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri y Giuseppe Peano fueron pioneros en este movimiento.

Las matemáticas estructuralistas van más allá y desarrollan teorías y axiomas (p. ej. , teoría de campos , teoría de grupos , topología , espacios vectoriales ) sin ninguna aplicación particular en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides están motivados de manera provechosa al decir que conducen a una gran riqueza de hechos geométricos. La verdad de estos hechos complicados se basa en la aceptación de las hipótesis básicas. Sin embargo, al descartar el quinto postulado de Euclides, se pueden obtener teorías que tienen significado en contextos más amplios (p. ej., geometría hiperbólica ). Como tal, uno simplemente debe estar preparado para usar etiquetas como "línea" y "paralela" con mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a los matemáticos que es útil considerar los postulados como enunciados puramente formales, y no como hechos basados ​​en la experiencia.

Cuando los matemáticos emplean los axiomas de campo , las intenciones son aún más abstractas. Las proposiciones de la teoría de campos no se refieren a ninguna aplicación particular; el matemático trabaja ahora en una abstracción completa. Hay muchos ejemplos de campos; la teoría de campos proporciona conocimiento correcto sobre todos ellos.

No es correcto decir que los axiomas de la teoría de campos son "proposiciones que se consideran verdaderas sin prueba". Más bien, los axiomas de campo son un conjunto de restricciones. Si cualquier sistema dado de adición y multiplicación satisface estas restricciones, entonces uno está en condiciones de conocer instantáneamente una gran cantidad de información adicional sobre ese sistema.

Las matemáticas modernas formalizan sus fundamentos hasta tal punto que las teorías matemáticas pueden considerarse objetos matemáticos y las matemáticas mismas pueden considerarse una rama de la lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert y Gödel son algunas de las figuras clave de este desarrollo.

Otra lección aprendida en las matemáticas modernas es examinar cuidadosamente las supuestas pruebas para detectar suposiciones ocultas.

En la concepción moderna, un conjunto de axiomas es cualquier conjunto de afirmaciones formalmente enunciadas de las que se desprenden otras afirmaciones formalmente enunciadas mediante la aplicación de ciertas reglas bien definidas. En esta perspectiva, la lógica se convierte en otro sistema formal más. Un conjunto de axiomas debería ser coherente ; debería ser imposible derivar una contradicción de los axiomas. Un conjunto de axiomas también debería ser no redundante; una afirmación que pueda deducirse de otros axiomas no necesita ser considerada como un axioma.

Los lógicos modernos albergaron la esperanza de que varias ramas de las matemáticas, quizás todas las matemáticas, pudieran derivarse de una colección coherente de axiomas básicos. Un éxito temprano del programa formalista fue la formalización de Hilbert ^[b] de la geometría euclidiana ^[11] y la demostración relacionada de la coherencia de esos axiomas.

En un contexto más amplio, se intentó basar toda la matemática en la teoría de conjuntos de Cantor . En este caso, la aparición de la paradoja de Russell y otras antinomias similares de la teoría ingenua de conjuntos planteó la posibilidad de que cualquier sistema de ese tipo pudiera resultar inconsistente.

El proyecto formalista sufrió un revés hace un siglo, cuando Gödel demostró que es posible, para cualquier conjunto suficientemente grande de axiomas ( los axiomas de Peano , por ejemplo), construir un enunciado cuya verdad sea independiente de ese conjunto de axiomas. Como corolario , Gödel demostró que la consistencia de una teoría como la aritmética de Peano es una afirmación indemostrable dentro del ámbito de esa teoría. ^[12]

Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano porque se satisface en el sistema de números naturales , un sistema formal infinito pero intuitivamente accesible. Sin embargo, en la actualidad, no se conoce ninguna forma de demostrar la consistencia de los axiomas modernos de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Además, utilizando técnicas de forzamiento ( Cohen ) se puede demostrar que la hipótesis del continuo (Cantor) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. ^[13] Por lo tanto, incluso este conjunto muy general de axiomas no puede considerarse como el fundamento definitivo de las matemáticas.

Las ciencias experimentales, a diferencia de las matemáticas y la lógica, también tienen afirmaciones fundacionales generales a partir de las cuales se puede construir un razonamiento deductivo para expresar proposiciones que predicen propiedades, ya sean generales o mucho más especializadas para un contexto experimental específico. Por ejemplo, las leyes de Newton en la mecánica clásica, las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo clásico, la ecuación de Einstein en la relatividad general, las leyes de la genética de Mendel , la ley de selección natural de Darwin , etc. Estas afirmaciones fundacionales suelen llamarse principios o postulados para distinguirlas de los axiomas matemáticos .

En realidad, el papel de los axiomas en matemáticas y el de los postulados en las ciencias experimentales es diferente. En matemáticas no se "prueba" ni se "rebate" un axioma. Un conjunto de axiomas matemáticos proporciona un conjunto de reglas que fijan un ámbito conceptual, en el que los teoremas se siguen lógicamente. En cambio, en las ciencias experimentales, un conjunto de postulados debe permitir deducir resultados que coincidan o no con los resultados experimentales. Si los postulados no permiten deducir predicciones experimentales, no establecen un marco conceptual científico y deben completarse o hacerse más precisos. Si los postulados permiten deducir predicciones de resultados experimentales, la comparación con los experimentos permite refutar ( falsificar ) la teoría que los postulados instalan. Una teoría se considera válida mientras no haya sido refutada.

Ahora bien, la transición entre los axiomas matemáticos y los postulados científicos siempre es un poco borrosa, especialmente en física. Esto se debe al uso intensivo de herramientas matemáticas para apoyar las teorías físicas. Por ejemplo, la introducción de las leyes de Newton rara vez establece como requisito previo ni la geometría euclidiana ni el cálculo diferencial que implican. Se hizo más evidente cuando Albert Einstein introdujo por primera vez la relatividad especial , donde la cantidad invariante ya no es la longitud euclidiana (definida como ) > sino el intervalo espacio-temporal de Minkowski (definido como ), y luego la relatividad general , donde la geometría plana minkowskiana se reemplaza por la geometría pseudo-riemanniana en variedades curvas .${\estilo de visualización l}$${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$${\estilo de visualización s}$${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

En física cuántica, dos conjuntos de postulados han coexistido durante algún tiempo, lo que proporciona un ejemplo muy bonito de falsación. La " escuela de Copenhague " ( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born ) desarrolló un enfoque operacional con un formalismo matemático completo que implica la descripción del sistema cuántico por vectores ("estados") en un espacio de Hilbert separable, y magnitudes físicas como operadores lineales que actúan en este espacio de Hilbert. Este enfoque es completamente falsable y hasta ahora ha producido las predicciones más precisas en física. Pero tiene el aspecto insatisfactorio de no permitir respuestas a preguntas que uno se haría naturalmente. Por esta razón, otro enfoque de " variables ocultas " fue desarrollado durante algún tiempo por Albert Einstein, Erwin Schrödinger , David Bohm . Fue creado para tratar de dar una explicación determinista a fenómenos como el entrelazamiento . Este enfoque suponía que la descripción de la escuela de Copenhague no estaba completa y postulaba que se debía añadir a la teoría alguna variable aún desconocida para permitir responder algunas de las preguntas que no responde (cuyos elementos fundadores se discutieron como la paradoja EPR en 1935). Tomándose en serio esta idea, John Bell derivó en 1964 una predicción que conduciría a diferentes resultados experimentales ( las desigualdades de Bell ) en el caso de Copenhague y el de la variable oculta. El experimento fue realizado por primera vez por Alain Aspect a principios de la década de 1980, y el resultado excluía el enfoque simple de la variable oculta (podrían seguir existiendo variables ocultas sofisticadas, pero sus propiedades seguirían siendo más inquietantes que los problemas que intentan resolver). Esto no significa que el marco conceptual de la física cuántica pueda considerarse completo ahora, ya que todavía existen algunas preguntas abiertas (el límite entre los reinos cuántico y clásico, lo que sucede durante una medición cuántica, lo que sucede en un sistema cuántico completamente cerrado como el propio universo, etc.).

En el campo de la lógica matemática , se hace una clara distinción entre dos nociones de axiomas: lógicos y no lógicos (algo similar a la antigua distinción entre "axiomas" y "postulados" respectivamente).

Se trata de ciertas fórmulas de un lenguaje formal que tienen validez universal , es decir, fórmulas que se satisfacen con cualquier asignación de valores. Normalmente se toman como axiomas lógicos al menos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías del lenguaje; en el caso de la lógica de predicados se requieren más axiomas lógicos para probar verdades lógicas que no sean tautologías en sentido estricto.

En lógica proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas de las siguientes formas, donde , , y pueden ser cualquier fórmula del lenguaje y donde los conectivos primitivos incluidos son sólo " " para la negación de la proposición inmediatamente siguiente y " " para la implicación de la proposición antecedente a la consecuente:${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \chi}$${\estilo de visualización \psi}$${\estilo de visualización \neg}$${\displaystyle \to}$

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$
3. ${\displaystyle (\lno \phi \a \lno \psi )\a (\psi \a \phi ).}$

Cada uno de estos patrones es un esquema axiomático , una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si , , y son variables proposicionales , entonces y son ambas instancias del esquema axiomático 1, y por lo tanto son axiomas. Se puede demostrar que con solo estos tres esquemas axiomáticos y modus ponens , se pueden probar todas las tautologías del cálculo proposicional. También se puede demostrar que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías con modus ponens .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle A\a (B\a A)}$${\displaystyle (A\a \lno B)\a (C\a (A\a \lno B))}$

Se pueden construir alternativamente otros esquemas axiomáticos que involucren los mismos o diferentes conjuntos de conectivos primitivos. ^[14]

Estos esquemas axiomáticos también se utilizan en el cálculo de predicados , pero se necesitan axiomas lógicos adicionales para incluir un cuantificador en el cálculo. ^[15]

Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula puede considerarse un axioma. Además, en este ejemplo, para que esto no caiga en la vaguedad y en una serie interminable de "nociones primitivas", primero debe establecerse bien una noción precisa de lo que queremos decir con (o, en este caso, "ser igual"), o bien debe imponerse un uso puramente formal y sintáctico del símbolo , considerándolo únicamente como una cadena y solo una cadena de símbolos, y la lógica matemática efectivamente hace eso.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x=x}$${\estilo de visualización x=x}$${\estilo de visualización =}$

Otro ejemplo de esquema axiomático más interesante es el que nos proporciona lo que se conoce como Instanciación Universal :

Donde el símbolo representa la fórmula con el término sustituido por . (Véase Sustitución de variables .) En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que, si sabemos que una determinada propiedad se cumple para cada y que representa un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos poder afirmar . Nuevamente, estamos afirmando que la fórmula es válida , es decir, debemos ser capaces de dar una "prueba" de este hecho, o más propiamente hablando, una metaprueba . Estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática, ya que estamos tratando con el concepto mismo de prueba . Aparte de esto, también podemos tener Generalización existencial :$estilo de visualización {\phi _{t}^{x}}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización P(t)}$ ${\displaystyle \para todo x\phi \a \phi _{t}^{x}}$

Los axiomas no lógicos son fórmulas que cumplen el papel de supuestos específicos de una teoría. El razonamiento sobre dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los enteros , puede implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no lógicos tienen como objetivo capturar lo que es especial acerca de una estructura particular (o conjunto de estructuras, como los grupos ). Por lo tanto, los axiomas no lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías . Otro nombre para un axioma no lógico es postulado . ^[5]

Casi todas las teorías matemáticas modernas parten de un conjunto dado de axiomas no lógicos, y se pensaba que, en principio, cada teoría podía axiomatizarse de esta manera y formalizarse hasta el lenguaje básico de las fórmulas lógicas. ^{[ cita requerida ] [ se necesita más explicación ]}

En el discurso matemático, los axiomas no lógicos se denominan simplemente axiomas . Esto no significa que se afirme que sean verdaderos en algún sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, la operación de grupo es conmutativa , y esto se puede afirmar con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma, podemos desarrollar bastante bien la teoría de grupos (más general), e incluso podemos tomar su negación como un axioma para el estudio de grupos no conmutativos.

Así, un axioma es una base elemental de un sistema lógico formal que junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo .

En esta sección se ofrecen ejemplos de teorías matemáticas que se desarrollan enteramente a partir de un conjunto de axiomas no lógicos (axiomas, en adelante). Un tratamiento riguroso de cualquiera de estos temas comienza con una especificación de estos axiomas.

Las teorías básicas, como la aritmética , el análisis real y el análisis complejo, se introducen a menudo de forma no axiomática, pero implícita o explícitamente se suele suponer que los axiomas que se utilizan son los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elección, abreviada como ZFC, o algún sistema muy similar de teoría de conjuntos axiomática como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , una extensión conservadora de ZFC. A veces se utilizan teorías ligeramente más fuertes, como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley o la teoría de conjuntos con un cardinal fuertemente inaccesible que permite el uso de un universo de Grothendieck , pero, de hecho, la mayoría de los matemáticos pueden demostrar todo lo que necesitan en sistemas más débiles que ZFC, como la aritmética de segundo orden . ^{[ cita requerida ]}

El estudio de la topología en matemáticas se extiende a través de la topología de conjuntos puntuales , la topología algebraica , la topología diferencial y toda la parafernalia relacionada, como la teoría de la homología y la teoría de la homotopía . El desarrollo del álgebra abstracta trajo consigo la teoría de grupos , los anillos , los campos y la teoría de Galois .

Esta lista podría ampliarse para incluir la mayoría de los campos de las matemáticas, incluida la teoría de la medida , la teoría ergódica , la probabilidad , la teoría de la representación y la geometría diferencial .

Los axiomas de Peano son la axiomatización más utilizada de la aritmética de primer orden . Son un conjunto de axiomas lo suficientemente fuertes como para demostrar muchos hechos importantes sobre la teoría de números y permitieron a Gödel establecer su famoso segundo teorema de incompletitud . ^[16]

Tenemos un lenguaje donde es un símbolo constante y es una función unaria y los siguientes axiomas:${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización S}$

1. ${\displaystyle \para todo x.\lno (Sx=0)}$
2. ${\displaystyle \para todo x.\para todo y.(Sx=Sy\to x=y)}$
3. ${\displaystyle (\phi (0)\land \para todo x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \para todo x.\phi (x)}$para cualquier fórmula con una variable libre.${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}}$${\estilo de visualización \phi}$

La estructura estándar es donde es el conjunto de números naturales, es la función sucesora y se interpreta naturalmente como el número 0.${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle }$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización 0}$

Probablemente la lista de axiomas más antigua y famosa son los postulados de Euclides de la geometría plana 4 + 1. Los axiomas se conocen como "4 + 1" porque durante casi dos milenios se sospechó que el quinto postulado (paralelo) ("a través de un punto fuera de una línea hay exactamente una paralela") era derivable de los primeros cuatro. Finalmente, se descubrió que el quinto postulado era independiente de los primeros cuatro. Se puede suponer que existe exactamente una paralela a través de un punto fuera de una línea, o que existen infinitas. Esta elección nos da dos formas alternativas de geometría en las que los ángulos interiores de un triángulo suman exactamente 180 grados o menos, respectivamente, y se conocen como geometrías euclidianas e hiperbólicas . Si también se elimina el segundo postulado ("una línea puede extenderse indefinidamente"), surge la geometría elíptica , donde no hay ninguna paralela a través de un punto fuera de una línea, y en la que los ángulos interiores de un triángulo suman más de 180 grados.

Los objetivos del estudio se encuentran dentro del dominio de los números reales . Los números reales se seleccionan de forma única (salvo isomorfismo ) por las propiedades de un cuerpo ordenado completo de Dedekind , lo que significa que cualquier conjunto no vacío de números reales con un límite superior tiene un límite superior mínimo. Sin embargo, expresar estas propiedades como axiomas requiere el uso de la lógica de segundo orden . Los teoremas de Löwenheim-Skolem nos dicen que si nos limitamos a la lógica de primer orden , cualquier sistema axiomático para los números reales admite otros modelos, incluidos tanto modelos que son más pequeños que los reales como modelos que son más grandes. Algunos de estos últimos se estudian en análisis no estándar .

Un sistema deductivo consta de un conjunto de axiomas lógicos, un conjunto de axiomas no lógicos y un conjunto de reglas de inferencia . Una propiedad deseable de un sistema deductivo es que sea completo . Se dice que un sistema es completo si, para todas las fórmulas ,${\estilo de visualización \Lambda}$${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}}$${\estilo de visualización \phi}$

es decir, para cualquier enunciado que sea una consecuencia lógica de existe en realidad una deducción del enunciado a partir de . Esto a veces se expresa como "todo lo que es verdadero es demostrable", pero debe entenderse que "verdadero" aquí significa "hecho verdadero por el conjunto de axiomas", y no, por ejemplo, "verdadero en la interpretación pretendida". El teorema de completitud de Gödel establece la completitud de un cierto tipo de sistema deductivo de uso común.${\estilo de visualización \Sigma}$${\estilo de visualización \Sigma}$

Nótese que "completitud" tiene un significado diferente aquí que en el contexto del primer teorema de incompletitud de Gödel , que establece que ningún conjunto recursivo y consistente de axiomas no lógicos de la teoría de la aritmética es completo , en el sentido de que siempre existirá un enunciado aritmético tal que ni ni no puedan demostrarse a partir del conjunto dado de axiomas.${\estilo de visualización \Sigma}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle \lno \phi}$

Existe, pues, por una parte, la noción de completitud de un sistema deductivo y, por otra, la de completitud de un conjunto de axiomas no lógicos . El teorema de completitud y el teorema de incompletitud, a pesar de sus nombres, no se contradicen.

Los primeros matemáticos consideraban la geometría axiomática como un modelo del espacio físico y, obviamente, sólo podía haber un modelo de ese tipo. La idea de que pudieran existir sistemas matemáticos alternativos era muy preocupante para los matemáticos del siglo XIX y los desarrolladores de sistemas como el álgebra de Boole hicieron elaborados esfuerzos para derivarlos de la aritmética tradicional. Galois demostró justo antes de su prematura muerte que estos esfuerzos fueron en gran medida en vano. En última instancia, los paralelos abstractos entre los sistemas algebraicos se consideraron más importantes que los detalles, y nació el álgebra moderna . En la visión moderna, los axiomas pueden ser cualquier conjunto de fórmulas, siempre que no se sepa que son inconsistentes.

• Sistema axiomático
• Dogma
• Primer principio , axioma en ciencia y filosofía
• Lista de axiomas
• Teoría de modelos
• Reglamento Juris
• Teorema
• Presuposición
• Principio

• Mendelson, Elliot (1987). Introducción a la lógica matemática. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0 
• John Cook Wilson (1889), Sobre una teoría evolucionista de axiomas: conferencia inaugural pronunciada el 15 de octubre de 1889 (1.ª ed.), Oxford, Wikidata  Q26720682{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )

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Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Axiom ".

• Axioma en PhilPapers
• Axioma en PlanetMath .
• Página de axiomas de Metamath