Verdad vacía

En matemáticas y lógica , una verdad vacua es un enunciado condicional o universal (un enunciado universal que puede convertirse en un enunciado condicional) que es verdadero porque el antecedente no puede satisfacerse . ^[1] A veces se dice que un enunciado es vacuamente verdadero porque en realidad no dice nada. ^[2] Por ejemplo, el enunciado "todos los teléfonos móviles de la habitación están apagados" será verdadero cuando no haya ningún teléfono móvil presente en la habitación. En este caso, el enunciado "todos los teléfonos móviles de la habitación están encendidos " también sería vacuamente verdadero, al igual que la conjunción de los dos: "todos los teléfonos móviles de la habitación están encendidos y apagados", que de otro modo sería incoherente y falsa.

De manera más formal, un uso relativamente bien definido se refiere a una declaración condicional (o una declaración condicional universal) con un antecedente falso . ^{[1] [3] [2] [4]} Un ejemplo de tal declaración es "si Tokio está en España, entonces la Torre Eiffel está en Bolivia".

Tales afirmaciones se consideran verdades vacías porque el hecho de que el antecedente sea falso impide usar la afirmación para inferir algo sobre el valor de verdad del consecuente . En esencia, una afirmación condicional, que se basa en el condicional material , es verdadera cuando el antecedente ("Tokio está en España" en el ejemplo) es falso independientemente de si la conclusión o el consecuente ("la Torre Eiffel está en Bolivia" en el ejemplo) son verdaderos o falsos porque el condicional material está definido de esa manera.

Los ejemplos comunes en el habla cotidiana incluyen frases condicionales utilizadas como modismos de improbabilidad como "cuando el infierno se congele..." y "cuando los cerdos puedan volar...", lo que indica que antes de que se cumpla la condición dada (imposible) el hablante no aceptará alguna proposición respectiva (normalmente falsa o absurda).

En matemáticas puras , las afirmaciones vacuamente verdaderas generalmente no son de interés por sí mismas, pero con frecuencia surgen como el caso base de demostraciones por inducción matemática . ^[5] Esta noción tiene relevancia en matemáticas puras , así como en cualquier otro campo que utilice la lógica clásica .

Fuera de las matemáticas, las afirmaciones en forma de verdades vacías, aunque lógicamente válidas, pueden ser engañosas. Dichas afirmaciones hacen afirmaciones razonables sobre objetos calificados que en realidad no existen . Por ejemplo, un niño puede decirle a su padre con la verdad "me comí todas las verduras de mi plato", cuando en realidad no había ninguna verdura en su plato. En este caso, el padre puede creer que el niño realmente ha comido algunas verduras, aunque eso no sea cierto.

Una afirmación es "vacuamente verdadera" si se parece a una afirmación condicional material , donde se sabe que el antecedente es falso. ^{[1] [3] [2]}${\estilo de visualización S}$${\displaystyle P\Flecha derecha Q}$ ${\estilo de visualización P}$

Entre los enunciados vacuamente verdaderos que pueden reducirse ( con transformaciones adecuadas ) a esta forma básica (condicional material) se incluyen los siguientes enunciados cuantificados universalmente :

• ${\displaystyle \para todo x:P(x)\Flecha derecha Q(x)}$, donde es el caso que . ^[4]${\displaystyle \para todo x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \para todo x\en A:Q(x)}$, donde el conjunto está vacío .${\estilo de visualización A}$
  • Esta forma lógica se puede convertir a la forma condicional material para identificar fácilmente el antecedente . Para el ejemplo anterior "todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados", se puede escribir formalmente como donde es el conjunto de todos los teléfonos celulares en la habitación y es " está apagado". Esto se puede escribir en una declaración condicional material donde es el conjunto de todas las cosas en la habitación (incluidos los teléfonos celulares si existen en la habitación), el antecedente es " es un teléfono celular", y el consecuente es " está apagado".${\displaystyle \para todo x\en A:Q(x)}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \para todo x\en A:Q(x)}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle Q(x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \para todo x\en B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización P(x)}$${\estilo de visualización x}$ ${\displaystyle Q(x)}$${\estilo de visualización x}$
• ${\displaystyle \paratodos \xi :Q(\xi )}$, donde el símbolo está restringido a un tipo que no tiene representantes.${\estilo de visualización \xi}$

Las verdades vacías aparecen más comúnmente en la lógica clásica con dos valores de verdad . Sin embargo, las verdades vacías también pueden aparecer, por ejemplo, en la lógica intuicionista , en las mismas situaciones que las dadas anteriormente. De hecho, si es falsa, entonces producirá una verdad vacía en cualquier lógica que use el condicional material ; si es una falsedad necesaria , entonces también producirá una verdad vacía bajo el condicional estricto .${\estilo de visualización P}$${\displaystyle P\Flecha derecha Q}$${\estilo de visualización P}$

Otras lógicas no clásicas, como la lógica de relevancia , pueden intentar evitar verdades vacías mediante el uso de condicionales alternativos (como el caso del condicional contrafáctico ).

Muchos entornos de programación tienen un mecanismo para consultar si cada elemento de una colección de elementos satisface algún predicado. Es común que una consulta de este tipo siempre dé como resultado verdadero en el caso de una colección vacía. Por ejemplo:

• En JavaScript , el método de matrizevery ejecuta una función de devolución de llamada proporcionada una vez por cada elemento presente en la matriz, y solo se detiene (si y cuando) encuentra un elemento donde la función de devolución de llamada devuelve falso. En particular, llamar al everymétodo en una matriz vacía devolverá verdadero para cualquier condición. ^[6]
• En Pythonall() , la función incorporada retorna Truesolo cuando todos los elementos de una matriz son Trueo la matriz es de longitud cero como se muestra en estos ejemplos: all([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==True. ^[7] Una forma menos ambigua de expresar esto es decir all()que devuelve True cuando ninguno de los elementos es False .
• En Rust , la Iterator::allfunción acepta un iterador y un predicado y retorna truesolo cuando el predicado retorna truepara todos los elementos producidos por el iterador, o si el iterador no produce ningún elemento. ^[8]

Estos ejemplos, uno de matemáticas y otro del lenguaje natural , ilustran el concepto de verdades vacías:

• "Para cualquier entero x , si x > 5 entonces x > 3 ". ^[9] – Esta afirmación es verdadera de manera no vacía (ya que algunos números enteros son de hecho mayores que 5), pero algunas de sus implicaciones son solo verdaderas de manera vacía: por ejemplo, cuando x es el entero 2, la afirmación implica la verdad vacía de que "si 2 > 5 entonces 2 > 3 ".
• "Todos mis hijos son cabras" es una verdad vacía cuando la dice alguien que no tiene hijos. De manera similar, "Ninguno de mis hijos es una cabra" también sería una verdad vacía si la dijera la misma persona.

• Descripción definida
• Las leyes de De Morgan , específicamente la ley que establece que un enunciado universal es verdadero sólo en el caso de que no exista ningún contraejemplo:${\displaystyle \para todo x\,P(x)\equiv \neg \existe x\,\neg P(x)}$
• Suma vacía y producto vacío
• Función vacía
• Paradojas de la implicación material , especialmente el principio de explosión
• Presuposición , doble pregunta
• Estado de cosas (filosofía)
• Tautología (lógica) : otro tipo de enunciado verdadero que tampoco transmite ninguna información sustancial.
• Trivialidad (matemáticas) y degeneración (matemáticas)