Hipercubo

En geometría , un hipercubo es un análogo n -dimensional de un cuadrado ( n = 2 ) y un cubo ( n = 3 ); el caso especial para n = 4 se conoce como teseracto . Es una figura cerrada , compacta y convexa cuyo esqueleto unidimensional consiste en grupos de segmentos de línea paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio , perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de un hipercubo unitario en n dimensiones es igual a .${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Un hipercubo n -dimensional se conoce más comúnmente como un n -cubo o, a veces, como un cubo n -dimensional . ^{[1] [2]} El término politopo de medida (originalmente de Elte, 1912) ^[3] también se utiliza, en particular en el trabajo de HSM Coxeter, quien también etiqueta a los hipercubos como politopos γ n . ^[4]

El hipercubo es el caso especial de un hiperrectángulo (también llamado n-ortótopo ).

Un hipercubo unitario es un hipercubo cuyo lado tiene una longitud de una unidad . A menudo, el hipercubo cuyos vértices son los 2 ⁿ puntos en R ⁿ con cada coordenada igual a 0 o 1 se denomina hipercubo unitario.

Un hipercubo se puede definir aumentando el número de dimensiones de una forma:

0 – Un punto es un hipercubo de dimensión cero.

1 – Si uno mueve este punto una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es un hipercubo unitario de dimensión uno.

2 – Si uno mueve este segmento de línea en dirección perpendicular a sí mismo, barre un cuadrado bidimensional.

3 – Si uno mueve el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular al plano en el que se encuentra, generará un cubo tridimensional.

4 – Si uno mueve el cubo una unidad de longitud hacia la cuarta dimensión, genera un hipercubo unitario de 4 dimensiones (un teseracto unitario ).

Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones. Este proceso de barrido de volúmenes se puede formalizar matemáticamente como una suma de Minkowski : el hipercubo de dimensión d es la suma de Minkowski de d segmentos de línea de longitud unitaria mutuamente perpendiculares y, por lo tanto, es un ejemplo de zonotopo .

El esqueleto 1 de un hipercubo es un gráfico de hipercubo .

Un hipercubo unitario de dimensión es la envoltura convexa de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas son iguales a o . Estos puntos son sus vértices . El hipercubo con estas coordenadas es también el producto cartesiano de copias del intervalo unitario . Otro hipercubo unitario, centrado en el origen del espacio ambiente, se puede obtener a partir de éste mediante una traslación . Es la envoltura convexa de los puntos cuyos vectores de coordenadas cartesianas son${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2^{n}}$${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

Aquí el símbolo significa que cada coordenada es igual a o a . Este hipercubo unitario es también el producto cartesiano . Cualquier hipercubo unitario tiene una longitud de arista de y un volumen dimensional de .${\estilo de visualización \pm}$${\estilo de visualización 1/2}$${\estilo de visualización -1/2}$${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 1}$

El hipercubo -dimensional obtenido como la envoltura convexa de los puntos con coordenadas o, equivalentemente, como el producto cartesiano, también se considera a menudo debido a la forma más simple de las coordenadas de sus vértices. Su longitud de arista es , y su volumen -dimensional es .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2^{n}}$

Todo hipercubo admite, como caras, hipercubos de una dimensión inferior contenidos en su contorno. Un hipercubo de dimensión admite facetas , o caras de dimensión : un segmento de línea (-dimensional) tiene puntos finales; un cuadrado (-dimensional) tiene lados o aristas; un cubo (-dimensional) tiene caras cuadradas; un teseracto (-dimensional) tiene cubos tridimensionales como facetas. El número de vértices de un hipercubo de dimensión es (un cubo habitual, de dimensión 1, tiene vértices, por ejemplo). ^[5]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización n-1}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización 6}$${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización 8}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización 2^{n}}$${\estilo de visualización 3}$$Estilo de visualización 2^{3}=8$

El número de hipercubos -dimensionales (a los que de ahora en adelante simplemente nos referiremos como -cubos) contenidos en el límite de un -cubo es${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$, ^[6]     donde y denota el factorial de .${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$${\estilo de visualización n!}$${\estilo de visualización n}$

Por ejemplo, el límite de un -cubo ( ) contiene cubos ( -cubos), cuadrados ( -cubos), segmentos de línea ( -cubos) y vértices ( -cubos). Esta identidad se puede demostrar mediante un argumento combinatorio simple: para cada uno de los vértices del hipercubo, hay formas de elegir una colección de aristas incidentes a ese vértice. Cada una de estas colecciones define una de las caras -dimensionales incidentes al vértice considerado. Haciendo esto para todos los vértices del hipercubo, cada una de las caras -dimensionales del hipercubo se cuenta veces ya que tiene esa cantidad de vértices, y necesitamos dividir por este número.${\estilo de visualización 4}$${\estilo de visualización n=4}$${\estilo de visualización 8}$${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización 24}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 32}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 16}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 2^{n}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización 2^{m}}$${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

El número de facetas del hipercubo se puede utilizar para calcular el volumen -dimensional de su límite: ese volumen es multiplicado por el volumen de un hipercubo -dimensional; es decir, donde es la longitud de los bordes del hipercubo.${\estilo de visualización (n-1)}$${\estilo de visualización 2n}$${\estilo de visualización (n-1)}$$Estilo de visualización 2ns^{n-1}}$${\estilo de visualización s}$

Estos números también pueden generarse mediante la relación de recurrencia lineal .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, con , y cuando , , o .${\displaystyle E_{0,0}=1}$${\displaystyle E_{m,n}=0}$${\estilo de visualización n<m}$${\estilo de visualización n<0}$${\estilo de visualización m<0}$

Por ejemplo, al extender un cuadrado por sus cuatro vértices se agrega un segmento de línea adicional (arista) por vértice. Al agregar el cuadrado opuesto para formar un cubo se obtienen segmentos de línea. ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

El f-vector extendido para un n -cubo también se puede calcular expandiendo (de manera concisa, (2,1) ⁿ ), y leyendo los coeficientes del polinomio resultante . Por ejemplo, los elementos de un teseracto son (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).$Estilo de visualización (2x+1)^{n}}$

Número de caras -dimensionales de un hipercubo -dimensional (secuencia A038207 en la OEIS )$Estilo de visualización E_{m,n}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$

			metro	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
norte	n -cubo	Nombres	Coxeter, el perro guardián	Vértice de cara 0	Borde de 1 cara	Cara a cara	Celda 3 caras	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	8 caras	9 caras	10 caras
0	0-cubo	Punto Monon	( )	1
1	1 cubo	Segmento de recta Dion [7]	{}	2	1
2	2 cubos	Tetrágono cuadrado	{4}	4	4	1
3	3 cubos	Cubo hexaedro	{4,3}	8	12	6	1
4	4 cubos	Teseracto Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5 cubos	Penteract Deca-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6 cubos	Hexeract Dodeca-6-topo	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7 cubos	Hepteracto Tetradeca-7-topo	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8 cubos	Octeract Hexadeca-8-topo	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9 cubos	Enneract Octadeca-9-topos	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10 cubos	Dekeract Icosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Un n -cubo se puede proyectar dentro de un polígono regular 2n - gonal mediante una proyección ortogonal sesgada , que se muestra aquí desde el segmento de línea hasta el 16-cubo.

Proyecciones ortográficas del polígono de Petrie

Segmento de línea	Cuadrado	Cubo	Teseracto
5 cubos	6 cubos	7 cubos	8 cubos
9 cubos	10 cubos	11 cubos	12 cubos
13 cubos	14 cubos	15 cubos

Los hipercubos son una de las pocas familias de politopos regulares que se representan en cualquier número de dimensiones. ^[8]

La familia de hipercubos (desplazados) es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetada por Coxeter como γ _n . Las otras dos son la familia dual de hipercubos, los politopos cruzados , etiquetados como β _n, y los símplices , etiquetados como α _n . Una cuarta familia, las teselaciones infinitas de hipercubos , está etiquetada como δ _n .

Otra familia relacionada de politopos semirregulares y uniformes son los semihipercubos , que se construyen a partir de hipercubos con vértices alternos eliminados y facetas simplex agregadas en los espacios, etiquetados como hγ _n .

Los n -cubos se pueden combinar con sus duales (los politopos cruzados ) para formar politopos compuestos:

• En dos dimensiones, obtenemos la figura estelar octagrámica {8/2},
• En tres dimensiones obtenemos el compuesto de cubo y octaedro ,
• En cuatro dimensiones obtenemos el compuesto de tesseract y 16 celdas.

El gráfico de las aristas del n -hipercubo es isomorfo al diagrama de Hasse de la red de caras del ( n −1) -símplex . Esto se puede ver orientando el n -hipercubo de modo que dos vértices opuestos se encuentren verticalmente, correspondientes al ( n −1)-símplex mismo y al politopo nulo, respectivamente. Cada vértice conectado al vértice superior se asigna entonces de forma única a una de las facetas ( n −2 caras) del ( n −1)-símplex , y cada vértice conectado a esos vértices se asigna a una de las n −3 caras del símplex , y así sucesivamente, y los vértices conectados al vértice inferior se asignan a los vértices del símplex.

Esta relación se puede utilizar para generar la red de caras de un ( n −1)-símplex de manera eficiente, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras aplicables a politopos generales son computacionalmente más costosos.

Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamados hipercubos generalizados , γ^pn
_​= _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , o..Existen soluciones reales con p = 2, es decir γ²
_n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. Para p > 2, existen en . Las facetas son ( n −1)-cubos generalizados y la figura del vértice son símplex regulares .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

El perímetro del polígono regular que se ve en estas proyecciones ortogonales se denomina polígono de Petrie . Los cuadrados generalizados ( n = 2) se muestran con los bordes delineados como bordes p de color rojo y azul alternados , mientras que los cubos n superiores se dibujan con bordes p delineados en negro .

El número de elementos de m caras en un cubo n generalizado p es: . Esto es p ⁿ vértices y pn facetas. ^[9]${\displaystyle p^{nm}{n \elija m}}$

Hipercubos generalizados

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	gamma2 2= {4} = 4 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	gamma3 2= 9 vértices	gamma4 2= 16 vértices	gamma5 2= 25 vértices	gamma6 2= 36 vértices	gamma7 2= 49 vértices	gamma8 2= 64 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	gamma2 3= {4,3} = 8 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	gamma3 3= 27 vértices	gamma4 3= 64 vértices	gamma5 3= 125 vértices	gamma6 3= 216 vértices	gamma7 3= 343 vértices	gamma8 3= 512 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	gamma2 4= {4,3,3} = 16 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	gamma3 4= 81 vértices	gamma4 4= 256 vértices	gamma5 4= 625 vértices	gamma6 4= 1296 vértices	gamma7 4= 2401 vértices	gamma8 4= 4096 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	gamma2 5= {4,3,3,3} = 32 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	gamma3 5= 243 vértices	gamma4 5= 1024 vértices	gamma5 5= 3125 vértices	gamma6 5= 7776 vértices	gamma7 5= 16.807 vértices	gamma8 5= 32.768 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	gamma2 6= {4,3,3,3,3} = 64 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	gamma3 6= 729 vértices	gamma4 6= 4096 vértices	gamma5 6= 15.625 vértices	gamma6 6= 46.656 vértices	gamma7 6= 117.649 vértices	gamma8 6= 262.144 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$	gamma2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$	gamma3 7= 2187 vértices	gamma4 7= 16.384 vértices	gamma5 7= 78.125 vértices	gamma6 7= 279.936 vértices	gamma7 7= 823.543 vértices	gamma8 7= 2.097.152 vértices
${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$	gamma2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 vértices	${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$	gamma3 8= 6561 vértices	gamma4 8= 65.536 vértices	gamma5 8= 390.625 vértices	gamma6 8= 1.679.616 vértices	gamma7 8= 5.764.801 vértices	gamma8 8= 16.777.216 vértices

Cualquier número entero positivo elevado a otra potencia entera positiva dará como resultado un tercer número entero, siendo este tercer número entero un tipo específico de número figurado correspondiente a un n -cubo con un número de dimensiones que corresponde al exponencial. Por ejemplo, el exponente 2 dará como resultado un número cuadrado o "cuadrado perfecto", que se puede organizar en forma de cuadrado con una longitud de lado correspondiente a la de la base. De manera similar, el exponente 3 dará como resultado un cubo perfecto , un número entero que se puede organizar en forma de cubo con una longitud de lado de la base. Como resultado, el acto de elevar un número a 2 o 3 se conoce más comúnmente como " cuadrar " y "cubizar", respectivamente. Sin embargo, los nombres de hipercubos de orden superior no parecen ser de uso común para potencias superiores.

• Red de interconexión de hipercubos de arquitectura informática
• Grupo hiperoctaédrico , grupo de simetría del hipercubo.
• Hiperesfera
• Simplex
• Paralelotopo
• Crucifixión (Corpus Hypercubus) (obra famosa)

• Bowen, JP (abril de 1982). «Hipercubo». Practical Computing . 5 (4): 97–99. Archivado desde el original el 30 de junio de 2008 . Consultado el 30 de junio de 2008 .
• Coxeter, HSM (1973). "§7.2. Véase la ilustración Fig. 7-2c". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover . págs. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n  ≥ 5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introducción a la teoría de conmutación y al diseño lógico: segunda edición . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.Consulte el Capítulo 7.1 "Representación cúbica de funciones booleanas", donde se introduce la noción de "hipercubo" como un medio para demostrar un código de distancia 1 ( código Gray ) como los vértices de un hipercubo, y luego el hipercubo con sus vértices así etiquetados se comprime en dos dimensiones para formar un diagrama de Veitch o un mapa de Karnaugh .

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Hipercubos .

• Weisstein, Eric W. "Hipercubo". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gráficos de hipercubos". MathWorld .
• Rotando un Hipercubo por Enrique Zeleny, Proyecto Demostraciones Wolfram .
• Descargas de Hypercube de Rudy Rucker y Farideh Dormishian
• A001787 Número de aristas en un hipercubo n-dimensional. en OEIS