n-esqueleto

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (resp. complejo CW ) se refiere al subespacio X _n que es la unión de los símplices de X (resp. celdas de X ) de dimensiones m ≤ n . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n -esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .

Estos subespacios aumentan con n . El 0-esqueleto es un espacio discreto y el 1-esqueleto un grafo topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en teoría de obstrucciones , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para hacer argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que los X _n no se vuelven constantes cuando n → ∞.

En geometría , un k -esqueleto de un n - politopo P (representado funcionalmente como skel _k ( P )) consta de todos los elementos i -politópicos de dimensión hasta k . ^[1]

Por ejemplo:

skel ₀ (cubo) = 8 vértices

skel ₁ (cubo) = 8 vértices, 12 aristas

skel ₂ (cubo) = 8 vértices, 12 aristas, 6 caras cuadradas

La definición anterior del esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En pocas palabras, un conjunto simplicial puede describirse mediante una colección de conjuntos , junto con funciones de caras y degeneraciones entre ellos que satisfacen un número de ecuaciones. La idea del n -esqueleto es descartar primero los conjuntos con y luego completar la colección de los con hasta el conjunto simplicial "más pequeño posible" de modo que el conjunto simplicial resultante no contenga símplices no degenerados en grados .$Estilo de visualización K*$${\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}$${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$$Estilo de visualización K_{i}}$${\displaystyle i>n}$$Estilo de visualización K_{i}}$${\displaystyle i\leq n}$${\displaystyle i>n}$

Más precisamente, el funtor de restricción

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Conjuntos\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Conjuntos}$

tiene un adjunto izquierdo, denotado . ^[2] (Las notaciones son comparables con las de los funtores de imagen para haces ). El n -esqueleto de algún conjunto simplicial se define como${\displaystyle i^{*}}$${\displaystyle i^{*},i_{*}}$$Estilo de visualización K*$

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

Además, tiene un adjunto derecho . El n -cosesqueleto se define como${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle i^{!}}$

${\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

Por ejemplo, el 0-esqueleto de K es el conjunto simplicial constante definido por . El 0-cosqueleto está dado por el nervio de Cech.$Estilo de visualización K_{0}$

${\displaystyle \puntos \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(Los morfismos de límite y degeneración se dan mediante varias proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).

Las construcciones anteriores también funcionan para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos de fibra . El coesqueleto es necesario para definir el concepto de hipercubrimiento en álgebra homotópica y geometría algebraica . ^[3]

• Weisstein, Eric W. "Esqueleto". MathWorld .